Theoretische Physik I Mechanik nach Prof. Brand - Fachschaft ...

3 Lagrangesche Mechanik
Inhalt
3.1 Zwangsbedingungen und generalisierte Koordinaten . . . . . . . . . . . . 23
3.1.1 Arten von Zwangsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.2 Generalisierte Koordinaten (q1, . . . , qf ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Eingeschränkte Bewegung eines Massenpunktes, Lagrange-Gleichungen
1.Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.1 Zwangskräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.2 Bewegung auf ruhender Fläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Gleichgewicht des Massenpunktes, Prinzip der virtuellen Arbeit . . . . . 27
3.3.1 Andere Form der Gleichgewichtsbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3.2 Gleichgewicht des unfreien Massenpunktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4 d’Alembertsches Prinzip und Lagrange-Gleichungen 2.Art . . . . . . . . 29
3.4.1 Einführung generalisierter Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4.2 Kochrezept... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.5 Einbeziehung anholonomer Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1 Zwangsbedingungen und generalisierte Koordinaten
Bisher haben wir die Bewegungsgleichungen aus den Kräften mit den Newtonschen Gesetzen abgeleitet.
Probleme mit sogenannten Zwangs- oder Nebenbedingungen lassen sich aber damit nur umständlich
lösen. Für eingeschränkte Bewegungen von Massenpunkten hat man daher einen eigenen Formalismus
entwickelt - die Lagrangeschen Gleichungen.
Zuerst einige Beispiele für Zwangsbedingungen:
Beim Pendel muß sich die Pendelmasse stets so bewegen, daß
gilt.
(x − x0) 2 = l 2
Bewegt sich der Massenpunkt auf oder über der Oberfläche
eines ” Hügels”, dessen Höhe durch die Gleichung z = f(x, z)
gegeben ist, so gilt die Zwangsbedingung
z ≥ f(x, y)
z
l
.. .
f(x, y)
Und beim starren Körper müssen schließlich die Abstände zwischen je zwei Punkten konstant sein:
|x (i) − x (j) | = r ij = const.
Klassische Mechanik c○Fachschaft Mathe/Physik Uni Bayreuth
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