Theoretische Physik I Mechanik nach Prof. Brand - Fachschaft ...

3.4 d’Alembertsches Prinzip und Lagrange-Gleichungen 2.Art 31
Für ein konservatives Systems mit holonomen Zwangsbedingungen gelten die Lagrange-
Gleichungen 2 .Art:
d ∂L
dt ∂ ˙qj
− ∂L
∂qj
= 0 für j = 1, . . . , s (3.21)
wobei L = L(q1, . . . , qs, ˙q1, . . . , ˙qs, t) = T (q1, . . . , qs, ˙q1, . . . , ˙qs, t) − V (q1, . . . , qs).
(3.21) sind s Differentialgleichungen zweiter Ordnung, wir benötigen also 2s Anfangsbedingungen. Die
Zwangsbedingungen treten nicht mehr auf.
Statt der Newtonschen Mechanik mit den Vektoren Kraft und Impuls haben wir es in der Lagrange-
Mechanik mit den Skalaren Energie und Arbeit zu tun 2 .
3.4.2 Kochrezept...
...für Probleme mit konservativen Kraftfeldern mit holonomen Zwangsbedingungen:
a.) Bestimme die Zahl s der Freiheitsgrade und wähle entsprechende generalisierte Koordinaten q1, . . . , qs.
b.) Bestimme T, V und L = T − V als Funktionen der qi, ˙qi.
c.) Stelle die Lagrange-Gleichungen d
Beispiel 5: Kugelpendel
∂L
dt ∂ ˙qi
− ∂L
∂qi
= 0 auf und löse sie.
Wir wählen die beiden Winkel ϕ und ϑ der Polarkoordinaten als generalisierte Koordinaten. Wenn wir ϑ und ϕ um
sehr kleine Beträge dϑ und dϕ ändern, bewegt sich der Massenpunkt um Rdϑ in Richtung Süden und um R sin ϑdϕ
nach Osten. Das sind gerade die Richtungen von êθ und êϕ, also gilt in Polarkoordinaten
dr = R dϑêϑ + R sin ϑ dϕêϕ
Die Einheitsvektoren sind orthogonal, also gilt für die Geschwindigkeit der Satz des Pythagoras:
weiterhin ist
und damit
Die Lagrange-Gleichungen lauten:
„ « 2
dr
= R
dt
2
⇒ T = m
2
„dϑ
dt
V = mgR cos ϑ
« 2
+ sin 2 ϑ
„ « !
2
dϕ
dt
„ « 2
dr
=
dt
mR2
2 ( ˙ ϑ 2 + sin 2 ϑ ˙ϕ 2 )
L = T − V = mR2
2 ( ˙ ϑ 2 + sin 2 ϑ ˙ϕ 2 ) − mgR cos ϑ
2 Allerdings kann man den Lagrange-Formalismus nicht auf Reibungskräfe anwenden.
Klassische Mechanik c○Fachschaft Mathe/Physik Uni Bayreuth