Theoretische Physik I Mechanik nach Prof. Brand - Fachschaft ...

5.2 Das Zweikörperproblem 49
Beispiel : Ein Elektron im E- und B-Feld
Für unser Elektron gilt
F = e(E + ˙r × B)
Wie Ihr im fünften Semester erfahren werdet, gibt es ein Vektorfeld A = A(r, t) und ein skalares Feld Φ = Φ(r, t),
so daß gilt
B = rotA E = −∇Φ − ∂A
∂t
Damit können wir unser Potential hinschreiben:
U(r, ˙r, t) = eΦ(r, t) − eA(r, t) · ˙r
Wie so oft besteht der Beweis aus Nachrechnen. Bei der folgenden Rechnung ist r = (x1, x2, x3):
− ∂U
+
∂xi
d ∂U
dt ∂ ˙xi
5.2 Das Zweikörperproblem
= −e ∂Φ
+ e ˙xj
∂xi
= −e ∂Φ
„
+ e
∂xi
=
∂
Aj + d
(−eAi(r, t))
dt
∂xi
∂Aj
˙xj −
∂xi
∂Ai
˙xj −
∂xj
| {z }
∂Ai
«
∂t
=(˙r×(∇×A)) i
„ „
−e ∇Φ + ∂A
« «
+ e˙r × B
∂t
Nun wollen wir uns auf den Fall N = 2 konzentrieren. Wir hatten es schon beim Kepler-Problem mit
zwei Teilchen (naja, eher Sonne und Planet) zu tun. Damals haben wir stillschweigend angenommen,
daß die Sonne ruht. Nun wollen wir diese Annahme begründen:
5.2.1 Reduzierung auf Einkörperproblem bei Abwesenheit äußerer Kräfte
Bei Abwesendheit äußerer Kräfte hängt das Potential nur vom Betrag des Differenz-Vektors |r1 − r2|
ab 2 . Die Lagrange-Funktion lautet also
L = m1
2 ˙r2 m2
1 +
2 ˙r2 2 − V (|r1 − r2|)
Wir wählen nun den Schwerpunkt als Ursprung unseres Koordinatensystems. Durch diese Translation
wird weder r1 − r2 noch ˙ri geändert, die Lagrange-Funktion ändert sich also auch nicht. Dann gilt
R = m1r1 + m2r2
m1 + m2
Ferner führen wir den Abstandsvektor ˜r = r1 − r2 ein. Aus (5.6) folgt
also:
−r2 = m1
m2
r1 ⇒ ˜r = r1 − r2 = r1 + m1
r1 =
m2
m1 + m2
i
= 0 (5.6)
r1 ⇒ ˜r =
m2
m1 + m2
m2
2 Hier offenbaren sich tiefe Zusammenhänge. Würde das Potential von den absoluten Koordinaten ri abhängen, so wären
verschiedene Raumpunkte nicht gleichberechtigt. Die Homogenität des Raumes wäre verletzt. Würde der Differenzvektor
eingehen und nicht nur der Betrag, so wären verschiedene Richtungen nicht mehr gleichwertig. Die Isotropie
wäre verletzt.
Klassische Mechanik c○Fachschaft Mathe/Physik Uni Bayreuth
˜r
r1,