Theoretische Physik I Mechanik nach Prof. Brand - Fachschaft ...

5.1 Grundlagen 47
Wie in den Anmerkungen auf Seite 9 schon erwähnt hängen die Kräfte - und damit auch die jeweiligen
Potentiale - nur von ganz wenigen Koordinaten ab. Deshalb lassen sich die äußeren Kräfte schreiben als:
⎛ ⎞
F (e)
i
∂
= − U
∂ri
(e)
i (ri) = −
⎜
⎝
∂
∂xi
∂
∂yi
∂
∂zi
⎟
⎠ U (e)
i (xi, yi, zi)
(Ui hängt nur von ri ab.) Die inneren Kräfte lassen sich schreiben als
Fij = ri − rj
|ri − rj| fij(|ri − rj|) = −Fji
Hierbei ist fij nur eine Funktion des Abstandes zwischen den beiden Punkten. Wählt man nun das
Potential Uij so, daß U ′ ij = −fij gilt, so erhalten wir wegen ∂|x|
∂x
Fij = − ∂
Uij(|ri − rj|)
∂ri
In diesem Uij ist dann sowohl die Kraft Fij als auch Fji enthalten.
= x
|x| :
Das Gesamtpotential ist nun einfach die Summe aus allen Einzelpotentialen. Bei den Potentialen der
Inneren Kräfte muß man beachten, daß jedes Uij zwei Kräfte beschreibt.
U(r1, . . . , rN) =
Probe: Ableiten sollte die Kräfte liefern:
mi¨ri = − ∂U
= −
∂ri
∂U (e)
i
∂ri
− �
l>i
N�
k=1
U (e)
k (rk) +
N�
k, l = 1
k < l
ri − rl
|ri − rl| U ′ li (|ri − rl|) − �
Ukl(|rk − rl|)
k