Theoretische Physik I Mechanik nach Prof. Brand - Fachschaft ...

3.4 d’Alembertsches Prinzip und Lagrange-Gleichungen 2.Art 33
Das Problem besteht lediglich darin, daß man das auftretende
Integral nicht geschlossen lösen kann. Offenbar kann sich der
Punkt nur in solchen Bereichen bewegen, in denen Γ(z) ≥ 0
ist. Da für L0 �= 0 Γ(±R) < 0 ist, kann das Pendel die Pole
nicht erreichen, wenn der Drehimpuls ungleich Null ist. Es gilt
−R < z1 ≤ z ≤ z2 < R
Die erlaubten Bereiche kann man sich veranschaulichen, indem
2
man die Kurve mR2 (E − mgz)(R 2 − z 2 ) mit der Waagrech-
ten L2 0
m 2 R 2 schneidet. Für kleine E hat die Kurve zwischen den
beiden stets vorhandenen Nullstellen bei ±R noch eine dritte
dazwischen, für große E ähnelt sie einer Parabel mit den bei-
den Nullstellen ±R. Erlaubt ist dann jeweils der Bereich mit
” Kurve > Gerade” (Siehe nebenstehende Abbildung).
Beispiel 6: Pendel mit gleitender Aufhängung im Schwerefeld
Wir wählen als generalisierte Koordinaten ϕ und ξ. Es gilt:
x (1) = (ξ, 0)
x (2) = (ξ + l sin ϕ, −l cos ϕ)
Jetzt geht’s weiter nach Kochrezept:
−R
x (2)
T = m1
2 ˙ ξ 2 + m2
“
(
2
˙ ξ + l cos ϕ ˙ϕ) 2 + (l sin ϕ ˙ϕ) 2”
= m1
2 ˙ ξ 2 + m2
“ ”
ξ˙ 2 2 2
+ l ˙ϕ + 2l ˙ϕ ξ˙ cos ϕ
2
V = −m2gl cos ϕ
L = T − V
ξ ist wieder eine zyklische Variable, die zugehörige Lagrange-Gleichung lautet
Für ϕ ergibt sich
0 = d ∂l
dt ∂ ˙ ξ
− ∂L
∂ξ
d
“
= m1
dt
˙ ξ + m2 ˙ ”
ξ + m2l ˙ϕ cos ϕ
←−−−−−− ξ −−−−−−→
großes E
kleines E
0 = d ∂L ∂L d
“
− = m2l
dt ∂ ˙ϕ ∂ϕ dt
2 ˙ϕ + m2l ˙ ” “
ξ cos ϕ − −m2l ˙ϕ ˙ ”
ξ sin ϕ − m2gl sin ϕ
= m2l 2 ¨ϕ + m2l ¨ ξ cos ϕ − m2l ˙ ξ sin ϕ ˙ϕ + m2l ˙ϕ ˙ ξ sin ϕ + m2lg sin ϕ
.
. m1
.
.
.
.
.
. ϕ .
.
.
.
.
. l .
großes L0
.
kleines L0
. ...
.
R
.
z
m2
x (1)
(3.22)
= m2l 2 ¨ϕ + m2l ¨ ξ cos ϕ + m2lg sin ϕ (3.23)
Jetzt linearisieren wir die Gleichung. Dazu nehmen wir an, daß ϕ, ˙ϕ und ξ klein sind, so daß man Produkte aus diesen
Größen, die ja dann noch viel kleiner sind, vernachlässigen kann. Weiterhin gilt für kleine ϕ auch
sin ϕ ≈ ϕ und cos ϕ ≈ 1
In Gleichung (3.22) muß der Ausdruck in der runden Klammer konstant sein.
Wir nennen diese Konstante (m1 + m2)v0:
Klassische Mechanik c○Fachschaft Mathe/Physik Uni Bayreuth