Theoretische Physik I Mechanik nach Prof. Brand - Fachschaft ...

4.3 Bewegungen auf der rotierenden Erde 41
Wir erhalten also eine Ostablenkung. Dies stimmt mit der Drehimpulserhaltung überein: Während des
Fallens verkleinert sich der Radius der Kreisbahn unseres Steines. Also muß die Winkelgeschwindigkeit
des Steines zunehmen. Diese war zu Beginn so groß wie die der Erde, beim Fallen ist sie also größer als
die der Erde.
Für h = 125m ist t = 5s, und wir erhalten eine Ostablenkung von etwa 1, 25cm. Hieraus schloß Galilei
auf die Erddrehung.
4.3.2 Horizontale Bewegung
Wir zerlegen die Winkelgeschwindigkeit der Erde in eine Komponente parallel zur Erdoberfläche und
eine senkrecht dazu:
ω = ωv + ωh
. .
.
.........
.
ψ
ωh
.
.
. ω
. . . . .
......
.
.
ωv
4.3.3 Das Foucault’sche Pendel
.
Damit läßt sich die Corioliskraft wie folgt schreiben:
KCo = 2m(v × ωv) + 2m(v × ωh)
Der erste Term beschreibt unabhängig von der Richtung unserer
horizontalen Bewegung auf der Nordhalbkugel eine Rechtsablenkung
(Auf der Südhalbkugel zeigt ωv in Richtung Erdmittelpunkt,
wir erhalten eine Linksablenkung). Der zweite Term liefert bei v ′ s
mit Ost-West-Komponente eine Kraft in vertikaler Richtung.
Foucault gelang 1851 durch ein im Pantheon aufgehängtes Pendel der Nachweis der Erdrotation 2 .
Wir wollen nun die Bewegung des Pendels berechnen. Es handelt sich um ein mathematisches Pendel
auf der rotierenden Erde.
Für ein Kugelpendel gilt
f = x 2 + y 2 + z 2 − l 2 = 0
Die Lagrange-Gleichungen erster Art lauten hier
¨r = −g − 2ω × ˙r + λ∇f
Setzt man ω = (0, ω cos ψ, ω sin ψ) = (0, ωh, ωv)
ein, erhält man
¨x = 2ωv ˙y − 2ωh ˙z + λx
¨y = −2ωv ˙x + λy
¨z = −g + 2ωh ˙x + λz
l
.
.............................................
z
.
..
... .
m
Zur Vereinfachung wollen wir annehmen, daß das Pendel nur wenig ausgelenkt ist. Dann ist x y
l ≪ 1, l ≪ 1,
˙x ≈ 0, und der Massenpunkt bewegt sich annähernd auf der Ebene z = −l, d.h. ˙z ≈ 0 und ¨z ≈ 0.
2 Das Pendel dreht sich wirklich, ich hab’s gesehen!
Nach Auskunft von Prof. Brand kann dieser Versuch auch im Deutschen Museum in München besichtigt werden
Klassische Mechanik c○Fachschaft Mathe/Physik Uni Bayreuth
..
..
y
x