Theoretische Physik I Mechanik nach Prof. Brand - Fachschaft ...

3.3 Gleichgewicht des Massenpunktes, Prinzip der virtuellen Arbeit 27
m¨x = 0 ⇒ x = x0 + v0t
m¨y = mg sin α cos α ⇒ y = g
2 t2 sin α cos α + u0t + y0
m¨z = mg(1 − cos 2 α) = mg sin 2 α ⇒ z = g
2 t2 sin 2 α + (u0t + y0) tan α
x0, y0, v0, u0 sind die Integrationskonstanten. Die Bewegung in z-Richtung ist dann nicht mehr beliebig, weil ja die
Zwangsbedingung f(y, z) = 0 erfüllt sein muß. Die x-Koordinate kommt nur in den x-Gleichungen vor; die x-Bewegung
ist also unabhängig von den anderen beiden, wir werden sie nicht mehr berücksichtigen.
Wie weit ist unser Punkt zur Zeit t die schiefe Ebene hinuntergerutscht? Gesucht ist die Bewegung in Richtung ˆs.
ist dies:
Wegen s = y
cos α
s = g
2 t2 sin α + w0t + s0, wobei w0 = u0
cos α
Dies ist eine Bewegung mit um sin α reduzierter Schwerkraft.
Wie groß ist die Zwangskraft?
K ′ = λ∇f = −mg cos 2 α (0, − tan α, 1) = ` 0, mg sin α cos α, −mg cos 2 α ´
|K ′ | = mg cos α
K ′ · ˆs = K ′ (ˆy cos α + ˆz sin α) = mg cos 2 α sin α − mg cos 2 α sin α = 0
Die letzte Zeile ist wichtig. ˆs ist der Einheitsvekor in Richtung der Bewegung und die Zwangskraft steht senkrecht
darauf. Die Zwangskraft leistet also keine Arbeit: dW = K ′ dr = K ′ (ˆxdx + ˆsds) = 0.
Das letzte Ergebnis des Beispiels gilt auch allgemein:
Bei stationärer Fläche/Kurve leisten die Zwangskräfte keine Arbeit:
dW = K ′ dr = 0
Da nur die eingeprägte Kraft zur Arbeit beiträgt bleibt der Energiesatz für Bewegungen auf ruhenden
Flächen/Kurven gültig, wenn die eingeprägte Kraft konservativ ist.
3.3 Gleichgewicht des Massenpunktes, Prinzip der virtuellen Arbeit
Win untersuchen das Gleichgewicht des Massenpunkes, d.h. ¨r = 0. Dies ist ein Zustand der Ruhe (oder
der geradelinigen, gleichförmigen Bewegung). Es muß gelten:
m¨r = 0, also K + K ′ = 0
Speziell gilt für den an eine Fläche gebundenen Massenpunkt, der ruht:
K + λ∇f = 0
f(r, t) = 0
An der ersten Gleichung sieht man, daß K muß senkrecht zur Oberfläche gerichtet sein muß.
Beispiel 5: Massenpunkt auf Kugeloberfläche
(3.10)
Wir betrachten die Bewegung im Schwerefeld, also ist die Kraft K = (0, 0, −mg). Unsere Zwangsbedingung lautet
|r| 2 = a 2 , also
Klassische Mechanik c○Fachschaft Mathe/Physik Uni Bayreuth