Theoretische Physik I Mechanik nach Prof. Brand - Fachschaft ...

2.8 Bewegung im Zentralkraftfeld 21
Im Integral fehlt die untere Grenze 1 . Hierbei handelt es sich jedoch lediglich um einen konstanten
r0
Summanden, den man in φ0 hineinziehen kann.
Auflösen ergibt nun
wobei
cos(φ − φ0) =
p = L2 0
mκ
L 2
0 1
mκ r − 1
�
1 + 2L2 0E mκ2 und ε =
gesetzt wurde. Löst man nun nach r auf, erhält man schließlich
r =
�
=
p
1 + ε cos(φ − φ0)
p
r − 1
ε
1 + 2L2 0 E
mκ 2
(2.23)
In Abhängigkeit von ε ergeben sich also die verschiedenen Kegelschnitte. Die jeweilige Energie folgt aus
(2.23). Es ergibt sich
• für ε > 1, d.h. E > 0, eine Hyperbel
• für ε = 1, d.h. E = 0, eine Parabel
• für ε < 1, d.h. E < 0, eine Ellipse
Damit ist das erste Kepler-Gesetz hergeleitet: Die Planeten beschreiben Ellipsenbahnen, wobei die Sonne
in einem Brennpunkt der Ellipse steht.
Zusammenhang zwischen E, a und der Bahnform
Für ε < 1 ist
Setzt man p und ε aus (2.23) ein, erhält man
2a = rmin + rmax = p p 2p
+ =
1 − ε 1 + ε 1 − ε2 a = p
1 − ε2 = L2 �
0
−
mκ
mκ2
2L2 0E �
= κ
2|E|
Die kleine Halbachse b kann man mit (2.20) berechnen:
(2.24)
b 2 = a 2 (1 − ε 2 ) = κ2
4E2 �
− 2L20E mκ2 �
= L2 0
= ap (2.25)
2|E|m
(2.24) zeigt, daß die Bahnen gleicher Energie die gleiche große Halbachse haben:
ε = 0, 2
ε = 0, 5
..........
... .............
.
............. .
.. ....... .
ε = 0, 8
Klassische Mechanik c○Fachschaft Mathe/Physik Uni Bayreuth