Theoretische Physik I Mechanik nach Prof. Brand - Fachschaft ...

3.4 d’Alembertsches Prinzip und Lagrange-Gleichungen 2.Art 29
3.4 d’Alembertsches Prinzip und Lagrange-Gleichungen 2.Art
Wie stellen die Newtonschen Bewegungsgleichungen (3.2) für die eingeschränkte Bewegung um:
m¨r − K = K ′
Die linke Seite bezeichnet die verlorene Kraft, also derjenige Teil der äußeren Kraft, der keine Beschleunigung
leistet und von der Zwangskraft im Geichgewicht gehalten wird. Da die Zwangskraft K ′ senkrecht
auf die möglichen infinitesimalen Bewegungen δr steht, verschwindet das Skalarprodukt:
(m¨r − K) δr = 0 d’Alembertsches Prinzip (3.13)
Der Massenpunkt bewegt sich so, daß die virtuelle Arbeit der verlorenen Kraft zu jeder Zeit
veschwindet.
Für mehrere Massenpunkte wird die Gleichung zu
3.4.1 Einführung generalisierter Koordinaten
�
(mi¨ri − Ki) δri = 0 (3.14)
i
Allerdings sind die virtuellen Verrückungen i.a. nicht unabhängig voneinander. Sie müssen ja schließlich
den Zwangsbedingungen genügen1 . Deshalb führt man generalisierte Koordinaten qi ein. Die Zwangsbedingungen
sind dann automatisch durch eben diese generalisierten Koordinaten erfüllt, wir können die
qi’s also frei variieren. Unser nächstes Ziel ist es, Gleichung (3.13) in die generalisierten Koordinaten zu
übertragen. Dazu werden wir zuerst �
i Kiδri und dann �
i mi¨riδri berechnen.
ri = ri(q1, . . . , qs, t)
s� ∂ri
˙ri = ˙qj +
∂qj
∂ri
∂t = ˙ri(q1, . . . , qs, ˙q1, . . . , ˙qs, t) (3.15)
j=1
Bei der Ableitung wurde die Kettenregel verwendet. Aus (3.15) folgt insbesondere
∂ ˙ri
∂ ˙qj
= ∂ri
∂qj
Für die virtuellen Verrückungen gilt ebenfalls nach der Kettenregel
Die Arbeit der eingeprägten Kräfte wird zu
N�
N�
δWK = Kiδri =
i=1
i=1
Ki
δri = � ∂ri
δqj
∂qj
j
s� ∂ri
δqj =
∂qj
j=1
s�
j=1
� N�
∂ri
Ki
�
δqj =
∂qj
i=1
� �� �
=Qj
s�
Qjδqj
j=1
(3.16)
(3.17)
Die Qj sind die Komponenten der generalisierten Kraft. Da die qj nicht notwendigerweise Längen sind
(wir hatten z.B. auch schon oft Winkel), haben die Qj nicht unbedingt die Dimension einer Kraft, aber
qjQj hat immer die Dimension einer Energie.
1 Es gilt z.B. für die Bewegung auf der Fläche aus Beispiel 4: δz = tan αδy.
Klassische Mechanik c○Fachschaft Mathe/Physik Uni Bayreuth