Ein Skript von mir von einer Vorlesung in Hamburg.

10 BERND AMMANN, WS 2002/03
Definition 4.1. Sei Γ C k(M, W ) der Vektorraum der k-mal stetig differenzierbaren Schnitte von
W . Wir schreiben auch oft C k (M, W ) oder C k (W ), falls aus dem Kontext heraus klar ist, dass
Schnitte von W → M gemeint sind. Für ϕ ∈ C k (M, W ) definieren wir
‖ϕ‖ C k := max
max
j=0,...,k p∈M
j−mal
{ }} {
∣
∣ ∇ . . . ∇ ϕ(p) ∣.
Bemerkung 4.2. Ist P ein Differentialoperator der Ordnung m ∈ N, dann ist
beschränkt.
C k (M, W ) → C k−m (M, W )
(C k (M, W ), ‖ · ‖ C k) ist ein Banach-Raum. Es wird aber hilfreich sein, mit Hilberträumen zu
arbeiten. Wir führen deswegen die Sobolevräume W s ein. Wir werden hierfür zunächst auf dem
n-dimensionalen Standard-Torus arbeiten, Sobolevräume H s definieren, und wichtige Sätze zeigen,
und diese Definitionen und Sätze dann auf beliebige kompakte riemannsche Mannigfaltigkeiten
hinüber transportieren. Wir betrachten nun den Standard-Torus T n = R n /(2π Z) n . Die von den
Standard-Koordinaten des R n induzierten Koordinaten nennen wir x 1 , . . . , x n .
Definition 4.3. Eine formale Fourier-Reihe ist eine Familie {u ξ | ξ ∈ Z n }, u ξ ∈ C, die wir in der
Form
u = ∑
ξ∈Z n u ξ e i〈x,ξ〉
schreiben und interpretieren wollen.
Wir definieren das Sobolev-s-Skalarprodukt für s ∈ R
(u, v) s := ∑
ξ∈Z n (
1 + |ξ|
2 ) s
uξ v ξ ,
das für alle formalen Fourier-Reihen u, v definiert ist, für die die Reihe konvergiert.
Die Sobolev-s-Norm ist dann definiert als
‖u‖ s := √ (u, u) s ∈ R ≥ ∪ {∞}.
Der Sobolev-Raum H s auf T n ist die Menge aller formalen Fourier-Reihen u auf T n , für die
‖u‖ s < ∞.
LEMMA 4.4. (H s , ‖ · ‖ s ) ist vollständig.
Beweis.
Sei (u k ) k eine Cauchy-Folge in H s . Für jedes ɛ > 0 gibt es also ein N > 0, so dass
Für festes ξ ∈ Z n gilt somit:
‖u k − u l ‖ s < ɛ ∀k, l ≥ N.
|u k,ξ − u j,ξ | ≤ ‖u k − u l ‖ s
(1 + |ξ| 2 ) s/2 < ɛ
(1 + |ξ| 2 ) s/2