Ein Skript von mir von einer Vorlesung in Hamburg.

38 BERND AMMANN, WS 2002/03
Bemerkung 8.12. Man kann zeigen [Sem99], dass für alle Spinoren (∇ϕ, ∇ϕ) ≥ 1 n
(Dϕ, Dϕ),
wobei n = dim M. Hieraus folgt die folgende stärkere Abschätzung von Thomas Friedrich [Fri80].
λ 2 ≥
n s 0
n − 1 4 .
Diese Abschätzung ist scharf, (das heißt die Konstante kann nicht ohne weitere Annahmen verbessert
werden), da für den betragsmäßig kleinsten Eigenwert λ 1 des klassischen Dirac-Operators auf
S n (mit Standardmetrik) gilt
λ 2 1 =
n
n − 1
scal
4 .
9. Wärmeleitungs- und Wellen-Geichung
In diesem Abschnitt sei W immer ein Clifford-Bündel über M und D der verallgemeinerte Dirac-
Operator auf W Ziel dieses Abschnittes ist es, Lösungen der Wärmeleitungsgleichung
∂s
∂t + D2 s = 0 s : M × [0, ∞) → W, s( · , t) =: s t ∈ Γ(W )
und der Wellengleichung
∂s
∂t − iDs = 0 s : M × R → W, s( · , t) =: s t ∈ Γ(W )
zu finden zu vorgegebenem Anfangswert s 0 ∈ Γ(W ).
Wir müssen zunächst definieren, wie wir D in beschränkte Funktionen einsetzen können.
Wir definieren
CB(spec(D)) := {f | f : spec(D) → C beschränkt.}
Diese Raum ist zusammen mit der Supremumsnorm ein Banachraum. Sei H ein Hilbert-raum, z.B.
H = L 2 (W ) oder H = W k (W ), dann schreiben wir:
B(H) := {A : H → H | A beschränkt, }.
Versehen mit der Operator-Norm ist B(H) ein Banachraum.
Für f ∈ CB(spec(D)) sei f(D) die eindeutige beschränkte lineare Abbildung f(D) : L 2 (W ) →
L 2 (W ), so dass
f(D)| Eλ = λ Id | Eλ .
PROPOSITION 9.1. (1) ι D : CB(spec(D)) → B(L 2 (W )), f ↦→ f(D) ist ein unitärer ∗-Ring-
Homomorphismus
(2) ι D ist stetig.
(3) D kommutiert mit f(D).
(4) f(D) bildet die C ∞ (W ) auf C ∞ (W ) ab.
(5) Ist f reell-wertig, so ist f(D) selbstadjungiert.
Beispiele. Die Funktionen λ ↦→ e −tλ2 , t ≥ 0 und λ ↦→ e itλ , t ∈ R, sowie alle ihre Ableitungen
nach t sind Elemente von CB(spec(D).