Ein Skript von mir von einer Vorlesung in Hamburg.

48 BERND AMMANN, WS 2002/03
LEMMA 13.6. Hat Q Getzler-Ordnung ≤ m dann existiert
σ m (Q) = lim λ m R λ ◦ Q ◦ R −1
λ ,
λ→0
wobei die Konvergenz C ∞ -Konvergenz der Koeffizienten des Differentialoperators ist. Außerdem
ist σ· eine Symbolabbildung.
Beweis D. ie Existenz des Limes für F ∈ End Cl (W p ), γ X und ∇ X haben wir bereits im letzten
Lemma gezeigt. Sind σ k (Q 1 ) und σ l (Q 2 ) definiert, so ist auch σ k+l (Q 1 ◦ Q 2 ) definiert und es gilt
σ k+l (Q 1 ◦ Q 2 ) = σ k (Q 1 )σ l (Q 2 ).
Hieraus folgt rekursiv, dass σ k auf den Operatoren von Getzler-Grad ≤ k wohldefiniert ist, und es
folgt die multiplikative Eigenschaft von σ·.
✷
13.3. Getzler-Symbole von Fundamentallösungen. Sei A = ⊕ k∈Z Ak eine graduierte Algebra.
Dann sei A −∗ bzw. A −∗/2 die graduierte Algebra A mit der Graduierung, so dass Elemente
in A k Grad −k bzw. −2k haben.
Wir fixieren ein y ∈ M. Sei s ∈ Γ(W ⊠ W ∗ y ), z.B. s(x) = k t (x, y), wobei k t der Wärmekern
ist. Wir trivialisieren W in einer Gaußschen Normalkoordinaten-Umgebung von p mit Hilfe von
Paralleltransport wntlang radialer Geodätischer. Dann gilt
(13.7)
Γ(W ⊠ W ∗ y → U) ∼ = C ∞ (U, R) ⊗ End(W p ) = C ∞ ⊗ Cl(T ∗ p M) ⊗ End Cl (W p ).
Dies sind also genau die Restriktionen der Elemente von F.
C ∞ (U, R) trage die Filtrierung, dass f Grad ≤ −k, k ∈ Z hat, falls f mindestens von der Ordnung
k in p verschwindet.
C ∞ (U, R) −k := ∑
x α C ∞ (U, R) ∀k ∈ Z, k > 0
|α|≤k
C ∞ (U, R) k := C ∞ (U, R). ∀k ≥ 0
Die Getzler-Filtrierung auf Γ(W ⊠W ∗ p ) ist die Produkt-Filtrierung dieser Filtrierung auf C ∞ (U, R)
der Clifford-Filtrierung auf Cl(T p M) und der trivialen 9 Filtrierung auf End Cl (W p ).
Die Algebra
R[T p M] −∗ ⊗ Λ ∗ T p M ⊗ End Cl (W p )
trage auf aänhliche Art und Weise die Produkt-Graduierung. Wir erhalten eine Symbol-Abbildung
σ (p)
l
: Γ(W ⊠ W ∗ y → U) l → ( R[T p M] −∗ ⊗ Λ ∗ T p M ⊗ End Cl (W p ) ) l
,
indem wir den kanonischen Vektorraum-Isomorphismus Cl(T ∗ p M) → Λ ∗ T ∗ p M auf das Taylor-
Polynom der Ordnung l von s ∈ Γ(W ⊠ W ∗ y → U) l anwenden.
9 Eine Graduirung ist trivial, falls A k = {0} für k ≠ 0. Eine Filtrierung ist trivial, wenn sie von der trivialen
Graduierung herkommt.