Ein Skript von mir von einer Vorlesung in Hamburg.

20 BERND AMMANN, WS 2002/03
Nach [HS71, Satz 14.9] sind abgeschlossene Bälle in einem Hilbert-Raum schwach folgenkompakt.
Da W 1 ein Hilbert-Raum ist, und u ɛ beschränkt in W 1 ist, gibt es also eine Folge ɛ j → 0, so dass
u ɛj schwach 3 gegen ein ũ ∈ W 1 konvergiert. Für jedes glatte ϕ ist ( · , ϕ) 0 stetig auf L 2 und W 1 .
Es gibt also ein w ∈ W 1 mit ( · , ϕ) 0 = ( · , w) 1 , und somit gilt für alle glatten ϕ
(u ɛj − ũ, ϕ) 0 → 0.
Da u ɛj → u, folgt hieraus (u − ũ, ϕ) 0 = 0 für alle ϕ und somit u = ũ. ✷
Wir können hieraus den folgenden stärkeren Satz herleiten
SATZ 4.25 (Regularität der Lösungen). Sei W ein Clifford-Bündel über einer kompakten riemannschen
Mannigfaltigkeit M. Sind u ∈ L 2 (W ) und f ∈ W k (W ) und gilt Du = f schwach, dann gilt
u ∈ W k+1 .
Bemerkung 4.26. Man kann sogar auch zeigen, dass es eine Konstante C = C(M) gibt mit
‖u‖ k+1 ≤ C‖f‖ k .
Beweis. Für k = 0 haben wir es gezeigt. Wir wollen die Aussage durch Induktion über k zeigen.
Wir nehmen also nach Induktionsvoraussetzung an, dass der Satz für k − 1 gelte, k ≥ 1. Sei X ∈
Γ(T M). Man rechnet leicht nach, dass der Kommutator [∇ X , D] wieder ein Differentialoperator
erster Ordnung ist (entweder in lokalen Koordinaten oder indem man zeigt, dass die Hauptsymbole
von ∇ X und D kommutieren, denn das Hauptsymbol von ∇ X ist gegeben durch T ∗ M ∋ α ↦→
α(X) Id ∈ End(W )). Folglich sind [∇ X , D] und [∇ X , D] # = −[∇ # X
, D] Differentialoperatoren erster
Ordnung. Wir wissen bereits, dass u ∈ W k (W ) und somit ∇ X u ∈ W k−1 (W ). Für die schwache
Lösung Du = f gilt:
Wir rechnen dann nach
Also ist ∇ X u eine schwache Lösung von
(u, D∇ X ϕ) 0 = (f, ∇ X ϕ) 0 ϕ ∈ C ∞ (W ).
(∇ X u, Dϕ) 0 = (u, D∇ # X ϕ) 0 + (u, [∇ # X , D]ϕ) 0
= (∇ X f, ϕ) 0 − ([∇ X , D]u, ϕ)
} {{ }
∈W k−1 (W )
D(∇ X u) = ∇ X f − [∇ X , D]u ∈ W k−1 (W ),
und somit nach Induktionsvoraussetzung ∇ X u ∈ W k (W ). Da dies für alle Vektorfelder X gilt,
folgt u ∈ W k+1 (W ).
✷
3 Die schwache Konvergenz ist definiert als: Für alle w ∈ W 1 gilt (u ɛj − ũ, w) 0 → 0 für j → 0.