Ein Skript von mir von einer Vorlesung in Hamburg.

6 BERND AMMANN, WS 2002/03
Wir wollen div X in p ∈ M berechnen. Dazu nehmen wir einen orthonormalen Rahmen e 1 , . . . , e n
in einer kleinen Umgebung von p mit (∇ ei e j ) p = 0. Wir rechnen dann
Wir setzen ω = e b i
∂ ei (ω(X)) = (∇ ei ω)(X) + ω(∇ ei X).
und berechnen die Divergenz in p
div X = ∑ e b i(∇ ei X) = ∑ ⎛
= ∑ ∂ ei 〈e b i · ϕ, ψ〉
⎞
⎝∂ ei (e b i(X)) − (∇ ei e b i)(X)
⎠
} {{ }
0
= ∑ 〈e b i · ∇ ei ϕ, ψ〉 + ∑ 〈e b i · ϕ, ∇ ei ψ〉
= ∑ 〈e b i · ∇ ei ϕ, ψ〉 − ∑ 〈ϕ, e b i · ∇ ei ψ〉
= 〈Dϕ, ψ〉 − 〈ϕ, Dψ〉.
Man beachte, dass die Endterme dieser Gleichungeskette unabhängig von der Wahl des synchronen
Rahmens sind. Insofern gilt div X = 〈Dϕ, ψ〉 − 〈ϕ, Dψ〉 in allen Punkten von M.
Wenden wir nun den Divergenzsatz
∫
∫
div X dvol g =
an, so folgt die Behauptung.
Ω
∂Ω
ν b (X) dvol g
✷
FOLGERUNG 2.7. Das Kodifferential δ ist formal adjungiert zu d. Auf k-Formen einer n-dimensionalen
Mannigfaligkeit gilt deswegen δ = (−1) nk+n+1 ∗ d∗. 1
Beweis. Das Kodifferential δ bildet k-Formen auf (k − 1)-Formen ab. Schreiben wir d + δ in
Blockmatrix-Gestalt, wobei die Zeilen und Spalten den Formen-Graden entsprechen, so gilt
⎛
⎞
⎛
⎞
0 δ
0 d #
d 0 δ
δ # 0 d #
d + δ =
d 0
⎜ · · ·
(d + δ) # =
δ # 0
⎟
⎜
· · ·
.
⎟
⎝
· · · δ⎠
⎝
· · · d # ⎠
d 0
δ # 0
Da verallgemeinerte Dirac-Operatoren formal selbstadjungiert sind, folgt δ = d # = (−1) nk+n+1 ∗
d∗.
✷
1 Vorzeichen!!