Ein Skript von mir von einer Vorlesung in Hamburg.

32 BERND AMMANN, WS 2002/03
Sei nun J : Λ 2 R n → Cl(R n ), J(e i ∧ e j ) = (1/2)e i · e j . Wir wählen zunächst eine Umgebung U 1 von
0 ∈ T 1 SO(n) so klein, dass die Exponential-Abbildung von Matrizen
∞∑
T 1 SO(n) ∋ A ↦→ exp SO(n) 1
(A) :=
k! Ak ∈ SO(n)
ein Diffeomorphismus von U 1 auf das Bild ist. Sei außerdem
∞∑
Cl(R n ) ⊃ Ũ ∋ B ↦→ ) ∗ 1
(B) :=
expCl(Rn k! Bk ∈ Cl(R n ) ∗
LEMMA 6.15. Es gilt
und
k=0
k=0
exp Cl(Rn ) ∗ ◦J(A) ∈ Spin(n)
Θ ◦ exp Cl(Rn ) ∗ ◦J(A) = exp SO(n) A.
Beweis des Lemmas. Nach einer euklidischen Koordinatentransformation hat A die Gestalt
[n/2]
∑
j=1
a j e 2j−1 ∧ e 2j ,
also J(A) = B = (1/2) ∑ j a je 2j−1 · e 2j . Daraus folgt dann
exp Cl(Rn ) ∗ (B) = ∏ (
e 2j−1 cos a j
2 e 2j−1 + sin a )
j
2 e 2j .
Die ist offensichtlich ein Element von Spin(n) und das Lemma folgt dann durch eine kurze Überlegung.
✷
Also ist
eine Abbildung, die das Gewünschte liefert.
f := exp Cl(Rn ) ∗ ◦J ◦
(exp SO(n)) −1
✷
Aus dem Beweis folgt auch direkt:
FOLGERUNG 6.16. Spin(n) ist eine Untermannigfaltigkeit von Cl(R n ) und somit eine Lie-
Gruppe. Es gilt
T 1 Spin(n) = span {e j · e k | 1 ≤ j < k ≤ n} .
Man sieht leicht, dass Spin(n) für alle n ≥ 2 zusammenhängend ist.
Beispiele.
(1) Spin(2) ∼ = S 1 ∼ = U(1), ϑ : S 1 → S 1 , z ↦→ z 2 ,