Ein Skript von mir von einer Vorlesung in Hamburg.

18 BERND AMMANN, WS 2002/03
Bemerkung 4.18. Sei P ein Differentialoperator der Ordnung k. Dann ist der Sobolevraum W k
im Definitionsbereich des Abschlusses von P enthalten.
Ein Unterraum eines vollständigen metrischen Raumes ist genau dann abgeschlossen, wenn er
vollständig in der induzierten Metrik ist. Sei A : D ⊂ H 1 → H 2 ein unbeschränkter Operator.
Wir folgern, dass A genau dann abgeschlossen ist, wenn der Graph in der induzierten Topologie
vollständig ist. Vermöge des Isomorphismus D → Γ A definiert die induzierte Norm eine Norm auf
D, die Graphen-Norm auf D
‖ϕ‖ 2 A := ‖ϕ‖ 2 H 1
+ ‖Aϕ‖ 2 H 2
.
Beispiel. Die Gårding-Ungleichung für Dirac-Operatoren besagt, dass die Graphen-Norm äquivalent
zur W 1 -Norm ist. Insofern ist die stetige Fortsetzung von D zu einer Abbildung W 1 (W ) →
L 2 (W ) ein abgeschlossener Operator, und stimmt deswegen mit dem Abschluss von D überein,
also D D
= W 1 (W ) ⊂ L 2 (W ).
Definition 4.19. Sei M eine kompakte Mannigfaltigkeit. Sei P ein Differentialoperator der Ordnung
m, der Schnitte von E → M auf Schnitte von F → M abbildet. Sei f ∈ L 2 (F ). Man sagt,
die Differentialgleichung P u = f ist
(a) im klassischen Sinn erfüllt, falls u ∈ C m (E), f ∈ C 0 (F ), und P u = f,
(b) im starken Sinn erfüllt, falls es u j ∈ C m (E) gibt mit u j → u und P u j → f in L 2 ,
(c) im schwachen Sinn erfüllt, falls (u, P # ϕ) 0 = (f, ϕ) 0 für alle ϕ ∈ C ∞ (F ).
Offensichtlich ist (b) äquivalent zu (u, f) ∈ Γ P , oder anders ausgedrückt: (b) besagt, dass u im
Definitionsbereich des Abschlusses von P liegt, und der Abschluss von P die Funktion u auf f
abbildet. Es ist deswegen klar, dass aus der Gültigkeit im klassischen Sinn, die Gültigkeit im
starken Sinn folgt. Ist andererseit u eine starke Lösung, so folgt
Also ist auch u eine schwache Lösung.
(u, P # ϕ) 0 ← (u j , P # ϕ) 0 = (P u j , ϕ) 0 → (f, ϕ) 0 .
Wir wollen nun umgekehrt zeigen, dass im Falle des Dirac-Operators jede schwache Lösung u von
Du = f bereits eine starke Lösung ist.
PROPOSITION 4.20. Ist für u, f die Gleichung Du = f im schwachen Sinn erfüllt, so ist sie
auch im starken Sinn erfüllt.
Definition 4.21. Sei M kompakt. E, F Bündel über M. Sei π 1/2 : M × M → M die Projektion
auf die erste bzw. zweite Komponente. Eine lineare Abbldung
A : L 2 (E) → L 2 (F )
heißt Glättungs-Operator, falls es einen glatten Schnitt k von π1F ∗ ⊗ π2E ∗ ∗ gibt mit
∫
(Aϕ)(x) = k(x, y)ϕ(y) dvol(y).
Solch ein k heißt Glättungskern.
M