Ein Skript von mir von einer Vorlesung in Hamburg.

50 BERND AMMANN, WS 2002/03
Beweis. Wir rechnen in Koordinaten und v i = w i .
⎛ ⎞
D ⎝ ∑ s j v j
⎠ = ∑ e b α · ∇ eα (s j v j )
j
j,α
= ∑ j,α
(
e
b
α · (∂ eα s j )v j + s j e b α · ∇ eα v j
)
= ∑ j
(ds j · v i + s j Dv j )
σ ξ (D) =
(
v j ↦→
α=1
= ∑ j,α
∑
k
k
A (α)
jk
∂s j
∂ψ α dxα · v i + 0. Ordnung
= dxα · v j
n∑ ∑
iA (α)
jk ξ αv j = i
)
n∑
ξ α dx α · v j = ξ · v j .
α=1
✷
14.3. Ideale in Algebren.
Definition 14.6. Sei A eine Algebra (wie immer assoziativ, mit 1). Eine Teilmenge I heißt Ideal,
falls gilt:
(1) I ist Untervektorraum
(2) für i ∈ I und a ∈ A gilt ai ∈ I und ia ∈ I.
Ist f : A → B ein Algebren-Homomorphismus, und I ⊂ B ein Ideal in B, so ist auch f −1 (I)
ein Ideal. Unter anderem ist der Kern eines Algebren-Homomorphismus ein Ideal. Umgekehrt, ist
I ⊂ A ein Ideal , so trägt der Quotientenvektorraum A/I eine eindeutige Algebren-Struktur, so
dass π : A → A/I ein Algebren-Homomorhpismus ist und der Kern hiervon ist I.
Es gilt auch die folgende universelle Eigenschaft: Ist f : A → B ein Algebren-Homomorphismus und
I ein Ideal in A, das im Kern von f enthalten ist, so läßt sich f auf eindeutige Art als Verkettung
f : A π → A/I → B schreiben.
Jedes Ideal ist auch eine Unteralgebra. Aber Achtung: ist I ein Ideal in A und J ein Ideal in I, so
folgt i.a. nicht, dass J ein Ideal in A ist. Der Schnitt von beliebig vielen Idealen in A ist wieder ein
Ideal.
Definition 14.7. Sei S ein Teilmenge von A. Dann ist das von S erzeugte Ideal definiert als
I S :=
⋂
I,
I Ideal
S ⊂ I