Ein Skript von mir von einer Vorlesung in Hamburg.

30 BERND AMMANN, WS 2002/03
6.2. Lie-Gruppen und Ihre Darstellungen. Wir wollen ein paar Definitionen und Sachverhalte
über Lie-Gruppen zusammentragen, die wir im folgenden brauchen werden. Man beachte auch die
Ergänzungen in Abschnitt 14.4.
Definition 6.10. Eine Lie-Gruppe ist ein Gruppe G zusammen mit einer Mannigfaltigkeitsstruktur
auf G, so dass die Multiplikation G × G → G und die Inversenabbildung G → G glatte
Abbildungen sind.
Beispiele. GL(n, R), SO(n), SU(m), GL(m, C). Man kann zeigen [War83, Theorem 3.42], dass
jede abgeschlossene Untergruppe von GL(n, R) eine Untermannigfaltigkeit ist und deswegen ist es
eine Lie-Gruppe. Es gibt aber auch Lie-Gruppen, die man nicht als abgeschlossene Untergruppe
eines GL(n, R) erhält.
SATZ 6.11. Ist G eine Lie-Gruppe, so trägt die universelle Überlagerung ˜G eine eindeutige Gruppenstruktur,
so dass ˜G → G ein glatter Gruppenhomomorphismus ist.
Beweisskizze siehe Vorlesung.
Definition 6.12. Eine reelle (oder komplexe) Darstellung einer Lie-Gruppe G besteht aus einem
reellen (oder komplexen) Vektorraum V zusammen mit einem glatten Gruppenhomomorphismus
ρ : G → GL(V ).
Wir wollen uns hier auf endlich-dimensionale Darstellung beschränken. 5
Beispiele. (1) Die triviale Darstellung: V = R, ρ(g) = Id für alle g ∈ G.
(2) Sei G eine Untergruppe von GL(V ). Dann ist (V, ρ) mit ρ(g) = g die kanonische Darstellung
von G.
(3) Die Adjungierte Darstellung aus Abschnitt 14.4
Als Literatur zu Lie-Gruppen ist [War83] zu empfehlen. Wer noch mehr über Darstellungstheorie
wissen will, kann auch in [Hum80] und [BtD95] viel Interessantes finden.
6.3. Die Spin-Gruppe. Die Lie-Gruppe SO(n) ist für n ≥ 2 nicht einfach zusmmenhängend.
die Dimension n = 2 ist hierbei ein Spezialfall: SO(2) ∼ = U(1) ∼ = S 1 , also π 1 (SO(2)) ∼ = Z. Die
universelle Überlagerung von SO(2) ist R.
Für n ≥ 3 gilt hingegen π 1 (SO(n)) = Z/(2Z).
Wir konstruieren nun für alle n ≥ 2 die Spin-Gruppe Spin(n), und zeigen anschließend, dass es
eine zweifache zusammenhängende Überlagerung ist. Hieraus folgt dann direkt, dass Spin(n) für
alle n ≥ 3 die universelle Überlagerung von SO(n) ist.
5 In der Quantenmechanik sind auch unendlich-dimensionale Darstellungen sehr wichtig.