Ein Skript von mir von einer Vorlesung in Hamburg.

16 BERND AMMANN, WS 2002/03
die Krümmung des Bündels den Eichfeldern entpricht. Auch in dieser Vorlesung werden sie noch
wichtig werden.
LEMMA 4.13 (Twist mit dem Tangentialbündel). Sei W → M ein Clifford-Bündel und D der
Dirac-Operator. Sei D W ⊗T ∗M der Dirac-Operator des mit T ∗ M getwisteten Clifford-Bündels. Dann
gilt
n∑
D W ⊗T ∗M ◦ ∇ϕ − ∇ ◦ Dϕ = e b i · R W (e i , e j )ϕ ⊗ e b j
für einen lokalen orthonormalen Rahmen e 1 , . . . , e n .
Die rechte Seite der Gleichung ist zunächst nur lokal definiert. Man sieht aber leicht durch Nachrechnen,
dass der Ausdruck der rechten Seite nicht von der Wahl des orthonormalen Rahmens
abhängt, also global definiert ist. Etwas eleganter sieht man dies, indem man R W als Element von
T ∗ M ⊗ T ∗ M ⊗ W → W interpretiert. Dann ist
n∑
T ∗ M ⊗ W ∋ (id ⊗cl) ◦ R W = e b i ⊗ (e b j · R W (e i , e j ))
bis auf ein Vorzeichen und Vertauschung der Reihenfolge gleich der rechten Seite. Offensichtlich
ist (id ⊗cl) ◦ R W unabhängig von der Wahl der e i .
Beweis des Lemmas. Nach dem soeben gesagten können wir annehmen, dass e 1 , . . . , e n ein orthonormaler
Rahmen ist, der in p ∈ M synchron ist. Wir rechnen für ϕ ∈ C ∞ (W )
D W ⊗T ∗M ◦ ∇ϕ − ∇ ◦ Dϕ = ∑ i
i,j=1
i,j=1
D W ⊗T ∗M (∇ ei ϕ ⊗ e b i) − ∑ j
∇(e b j · ∇ ej ϕ)
= ∑ i,j
(
(e
b
j · ∇ ej ∇ ei ϕ) ⊗ e b i − e b j · ∇ ei ∇ ej ϕ ⊗ e b i)
= ∑ i,j
e b j · R W (e j , e i )ϕ ⊗ e b i
Man beachte, dass diese Gleichungskette nur im Punkt p gilt.
✷
Ende des Einschubes
Sei nun W → M ein Clifford-Bündel über der kompakten riemannschen Mannigfaltigkeit M. Den
dazugehörigen (verallgemeinerten) Dirac-Operator bezeichnen wir mit D.
PROPOSITION 4.14 (Gårding-Ungleichung). Es existiert eine Konstante C > 0, so dass
‖ϕ‖ 1 ≤ C (‖ϕ‖ 0 + ‖Dϕ‖ 0 ) ∀ϕ ∈ C ∞ (W ).
Beweis. Aus der Bochner-Formel
D 2 ϕ = ∇ # ∇ϕ + Kϕ