Ein Skript von mir von einer Vorlesung in Hamburg.

42 BERND AMMANN, WS 2002/03
Beweis. kommt noch ✷
Für k ∈ N sei R k (R) die Menge aller Funktionen f : R → C, so dass
für alle x ∈ R. Zusammen mit der Norm
ist R k (R) ein Banachraum.
|f(x)| ≤ C k (1 + |x|) −k
‖f‖ k := sup |f(x)|(1 + |x|) k
x∈R
Ferner sei R ∞ (R) := ⋂ k Rk (R). Dies ist mit den obigen Normen ein Frechet-Raum.
Beispiel. f t : λ ↦→ e −tλ2 und alle Ableitungen von f t nach t sind in R k (R) für alle k ∈ N und
t > 0.
f ∈ R k (R) ist äquivalent zu λ ↦→ f(λ), . . . , λ ↦→ |λ| k f(λ) ∈ R 0 (R).
Seien B(B 1 , B 2 ) die beschränkten Abbildungen vom normierten Raum B 1 ind B 2 . Man sieht dann
analog zu den vorigen Überlegungen:
PROPOSITION 9.12. die Restriktion von ι D ist eine stetige lineare Abbildung von R k (R) nach
B(L 2 (W ), W k (W )). Falls f t und alle seine Ableitungen nach t in R k (R) liegen, so ist t → f t (D)
eine glatte Abbildung von I → B(L 2 (W ), W k (W )).
Beweis. Geht ähnlich wie vorhin. ✷
Durch Komposition mit dem Sobolevschen Einbettungssatz erhalten wir auch diesselbe Proposition,
wenn wir W k durch C r mit r < k − (n/2) ersetzen.
FOLGERUNG 9.13. Der Operator e −tD2 bildet für alle t > 0 die Funktionen L 2 (W ) stetig in
W k (W ) und in C r (W ) ab, also insbesondere für t > 0
e −tD2 (L 2 (W )) ⊂ C ∞ (W ).
Bemerkung 9.14. Man kann sogar nachprüfen, dass e −tD2 ist für t > 0 ein Friedrichs-Glätter
ist.
Wenden wir Proposition 9.9 auf A = e −tD2 /2 an, so sehen wir dass A 2 = e −tD2 für jedes t > 0
einen Integrationskern k t ∈ C ∞ (W ⊠ W ∗ ) besitzt. Die Familie k t heißt Wärmeleitungskern oder
kürzer Wärmekern. Wir wollen nun zeigen, dass k t auch glatt in t ist.
PROPOSITION 9.15. Für jedes f ∈ R ∞ (R) hat f(D) einen glatten Integrationskern, also ist
f(D) ein Glättungs-Operator. Weiterhin ist die Abbildung
R ∞ (R) → C ∞ (W ⊠ W ∗ )
die jedem f ∈ R ∞ (R) den Integrationskern von f(D) zuordnet, ist stetig.