Ein Skript von mir von einer Vorlesung in Hamburg.

36 BERND AMMANN, WS 2002/03
Wir zitieren zwei Sätze ohne Beweis.
SATZ 8.4. Sei M eine Mannigfaltigkeit. Dann sind äquivalent
(1) M ist orientierbar,
(2) w 1 (T M) = 0,
(3) es gilt dim M = 2 oder es gibt einen globalen Basisschnitt auf dem 1-Gerüst (M) 1 von M, d.h.
es gibt eine Funktion (M) 1 → P GL (M), so dass die Verkettung (M) 1 → P GL (M) → M die
Inklusion ist.
SATZ 8.5. Sei (M, ω) eine orientierte Mannigfaltigkeit. Dann sind äquivalent:
(1) auf (M, ω) existiert eine Spin-Struktur,
(2) w 2 (T M) = 0,
(3) es gilt dim M = 2 oder es gibt einen globalen Basisschnitt auf dem 2-Gerüst (M) 2 von M, d.h.
es gibt eine Funktion (M) 2 → P GL (M), so dass die Verkettung (M) 2 → P GL (M) → M die
Inklusion ist.
Wir wollen nun annehmen, dass eine Spin-Struktur existiert, und fragen uns dann, ob diese auch
eindeutig ist.
Sei
α : π 1 (M) → Z 2 ↩→ ker Θ ⊂ Spin(n).
Die universelle Überlagerung π : ˜M → M ist ein π 1 (M)-Hauptfaserbündel über M. Das assoziierte
Bündel
P α := ˜M × α Z 2 → M
ist ein Z 2 -Hauptfaserbündel über M. Sei nun P Spin eine Spin-Struktur. Das faserweise Produkt
P Spin × P α ist ein Spin(n) × Z 2 -Hauptfaserbündel. Wir schrieben
Dann ist
wieder eine Spin-Struktur über M.
m : Spin(n) × Z 2 → Spin(n),
P α spin := (P Spin × P α ) × m Spin(n)
m(g, h) = gh.
PROPOSITION 8.6. Falls eine Spin-Struktur P auf M existiert, so ist die Abbildung
Hom(π 1 (M), Z 2 ) → {Spin-Strukturen auf M}/Isomorphie
eine Bijektion.
α ↦→ P α spin
Der Beweis wird ausgelassen 7 .
Bemerkung 8.7. Es gilt Hom(π 1 (M), Z 2 ) = Hom(H 1 (M, Z), Z 2 ) = H 1 (M, Z 2 ).
7 Der Beweis ist nicht schwierig und wird zusammen mit der Isomorphie von Spin-Strukturen vielleicht noch
nachgeliefert.