Ein Skript von mir von einer Vorlesung in Hamburg.

12 BERND AMMANN, WS 2002/03
Daraus folgt nun die Aussage wie folgt im Fall k = 0:
‖f‖ 2 0 = ∑
∫
|f ξ | 2 = (2π) −n
ξ∈Z n
T n |f| 2 ≤ ‖f‖ 2 C 0.
Wenn f im Kern liegt, so folgt daraus ∫ |f| 2 = 0, und da f stetig ist, bedeutet dies f ≡ 0. Die
Injektivität folgt somit für k = 0 und deswegen auch für alle k.
Für den Fall k > 0 berechnen wir zunächst
( ∫
∂f
=
∂x j )ξ
Durch Induktion zeigen wir daraus:
wobei ξ α := ξ α1
1 · · · ξαn n .
Somit
(4.6)
∑
|α|≤k
∑
|α|≤k
T n
= −(2π) −n ∫
= iξ j f ξ
∂f
∂x j (x)e−i〈x,ξ〉
( ∂
|α|
∂x
)ξ
α f = ξ α i |α| f ξ ,
T n f(x)(−iξ j )e −i〈x,ξ〉
|ξ 2α | ≤ (1 + |ξ| 2 ) k ≤ C k
∑
∥ ∂ |α| ∥∥∥
2
∥∂x α f
0
≤
|α|≤k
(2π) −n ‖f‖ 2 k
≤ C k
∑
≤
|α|≤k
∑
C k
′ |α|≤k
≤ C ′′
k ‖f‖ 2 C k
|ξ 2α |.
∥ ∂ |α| ∥∥∥
2
∥∂x α f
0
∥ ∂ |α| ∥∥∥
2
∥∂x α f
Aus dem Beweis können wir sogar noch einige Folgerungen ziehen:
FOLGERUNGEN 4.7. 1.) C ∞ (T n ) liegt dicht in H s
2.) H 0 = L 2 (T n )
3.) Für k ∈ N ist ‖ · ‖ k äquivalent zu ∑ |α|≤k ∥ ∂|α|
∂x
f∥ .
α L 2
4.) Ist P : C ∞ (T n ) → C ∞ (T n ) ein Differentialoperator der Ordnung k, dann setzt sich P zu einer
beschränkten linearen Abbildung H s → H s−k fort (für alle s ∈ R).
C 0
✷