Ein Skript von mir von einer Vorlesung in Hamburg.

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44 BERND AMMANN, WS 2002/03 13. Atiyah-Singer-Satz und Getzler-Formailsmus 13.1. Filtrierte und graduierte Algebren. Cl(V ): nicht komplexifizierte Clifford-Algebra Cl(V ): komplexifizierte Clifford-Algebra Wir wollen einen Formalismus entwickeln, mit dem wir str(Φ n/2 ) berechnen können. Definition 13.1. Filtrierte und graduierte Algebren, Symbolabbildung, assoziierte graduierte G(A) LEMMA 13.2. Sei A eine filtrierte Algebra und G eine graduierte Algebra, und σ· : A → G eine Symbol-Abbildung, so dass (1) σ k (A k ) = G k , (2) ker σ k = A k−1 . Dann ist G = G(A). Beweis. ... ✷ Beispiel. Sei V eine euklidischer Vektorraum. Die Abbildungen σ k : Cl(V ) k → Λ k V, v 1 · . . . · v k ↦→ v 1 ∧ . . . ∧ v k sind wohldefiniert und bilden eine Symbol-Abbildung, die die obigen Eigenschaften (1) und (2) erfüllen. Somit gilt Λ ∗ (V ) = G(Cl(V )). 13.1.1. Reskalierungen. Als Vorstufe zum Verständnis der Getzler-Reskalierung wollen wir zeigen wie durch Reskalierung eine filtrierte Algebra zu seiner assoziierten graduierten Algebra konvergiert. LEMMA 13.3. Sei A eine filtrierte Algebra, A = ⋃ A l , so dass es Vektorräume C l , l ∈ Z gibt, so dass als Vektorräume gilt A k = ⊕ l≤k C l . Wir definieren auf C l R λ | Cl := λ −l Id Cl und setzen es linear zu einem Vektorraum-Endomorphismus von A fort, der die Algebra-Struktur i.a. nicht erhält. Wir existiert für a und b und (A, •) ist algebra-isomorph zu G(A). a • b := lim λ→0 R λ (R −1 λ (a)R λ(b) −1 )
ANALYSIS AUF MANNIGFALTIGKEITEN, INDEXTHEORIE UND SPIN-GEOMETRIE 45 Beweis. Sei σ· die kanonische Symbol-Abbildung A → G(A). Wir setzen τ| Cl σ l : C l → G(A) l zu einer linearen Abbildung A → G(A) fort. Man sieht, dass τ bijektiv ist. Es bleibt zu zeigen, das τ die Multiplikation erhält. Wegen Linearität reicht zu zeigen, dass Wir zerlegen ab in seine C j -Komponenten: Dann gilt Und somit Es ergibt sich τ(a • b) = τ(a)τ(b) ∀a ∈ C k , b ∈ C l . ab = c k+l + . . . + c k+l−s c j ∈ C j . R −1 λ (R λ(a)R λ (b)) = c k+l + λc −1 k+l . . . + λs c k+l−s . a • b := lim R λ (R −1 λ (a)R−1 λ (b)) = c k+l. λ→0 τ(a • b) = σ k+l (a • b) = σ k+l (c k+l ) = σ k+l (ab) = σ k (a)σ l (b) = τ(a)τ(b). Identifizieren wir Cl(V ) ∼ = Λ ∗ V als Vektorraum, dann konvergiert die Clifford-Multiplikation gegen die äußere Multiplikation ∧. Man sieht dies auch direkt, da ι X gegen Null konvergiert, wenn wir die Metrik g auf V durch λ 2 g ersetzen und den Limes λ → 0 betrachten. 13.2. Getzler-Symbole von Differential-Operatoren. Die Idee des Getzler-Formalismus ist nun, sowohl die Zeitkoordinate als auch die Raumrichtung im Wärmekern so zu reskalieren, dass die wichtigen Terme im Limes überleben. Die filtrierte Algebra der Differentialoperatoren auf Γ(W ) konvergiert hierbei gegen eine graduierte Algebra konvergiert. Der Filtrierungs-Grad ist dabei die Summe der Differentiationsordnung und des Filtrierungs-Grad des Clifford-Elements. 8 Sei W → M ein Clifford-Bündel über einer Mannigfaltigkeit M gerader Dimension n = 2m. Wir definieren End Cl = {A ∈ End C (W ), so dass A(X · ϕ) = X · A(ϕ) ∀X ∈ Γ(T M), ϕ ∈ Γ(W )} Es gilt kanonisch End C (W ) = Cl(T M)⊗ R End Cl (W ). Die Algebra D(W ) der Differentialoperatoren auf Γ(W ) wird deswegen von den folgenden Operatoren erzeugt (1) Schnitte von Γ(End Cl (W )) (2) Clifford-Multiplikationen γ X = X b·, wobei X ein beliebiges Vektorfeld ist, (3) kovarianten Ableitungen ∇ X , wobei X ein beliebiges Vektorfeld ist. 8 Allerdings werden wir in dieser Idee nicht strikt folgen, um die Darstellung einfach zu halten. U.a. arbeiten wir mit einer Symbolabbildung an Stelle der oben erwähnten graduierten Algebra. ✷
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