PHYSIK MECHANIK - Abteilung für Didaktik der Physik

Diskussion der Lösung
Schwingungsform und Frequenz
Der Massenpunkt (genauer: seine Ortskoordinate) schwingt harmonisch mit derselben Frequenz
wie der "Erreger" ( x Q bzw. F Q ).
Amplitude x 0 (Abb. 10.13 oben)
2
Für kleine Werte von ω ist x0 = F0 /(m ω0 ) = F0 /D. Die Amplitude hängt in diesem Fall bei der
rechten Anordnung nur von der Kraftamplitude F0 und der Federkonstante D ab, bei der linken
ist x0 = |xQ0 |, d. h. der Massenpunkt und die entspannte Feder bewegen sich genauso wie der Anschluß
der Quelle. Für zunehmendes ω wächst x0 und erreicht ein Maximum: Das System "Massenpunkt
+ Feder" ist mit dem Erreger in Resonanz.
2
ω r = ω −
k
0
2
2m 2
ist die Resonanzfrequenz. Sie liegt bei schwacher Dämpfung dicht unter ω 0 . Für ω → ∞ geht x 0
gegen Null.
Phase (Abb. 10.13 unten)
Der Masssenpunkt schwingt gegenüber dem Erreger im Allgemeinen phasenverschoben. Für
ω = 0 ist ϕ = 0. Erreger und Massenpunkt sind "in Phase". Mit zunehmender Erregerfrequenz
ω wächst auch ϕ. Für ω = ω 0 ist tan ϕ = ∞ und ϕ = π/2. Für ω → ∞ geht ϕ gegen π.
Eine wichtige Größe ist das zeitliche Mittel der Stromstärke der im Widerstand dissipierten Energie:
P = x .
. 2
⋅ ( − F ) = kx R
Mit
x . = ωx 0 cos (ωt − ϕ )
erhält man
P = kω 2 x 0 2 cos 2 (ωt - ϕ )
Da der zeitliche Mittelwert von cos 2 (ωt - ϕ )
gleich 1/2 ist, ergibt sich für das Zeitmittel der
Energiestromstärke:
P = 1
2 kω 2 x 0 2
Wir setzen für x 0 den früher berechneten Ausdruck
ein und erhalten:
P (ω ) = F 2
0
2
kω 2
m 2 2 2 2 2 2
(ω − ω ) + ω k
0
Das Maximum dieser Funktion liegt bei ω 0 .
Im Gegensatz zu x 0 (ω) geht P(ω) für ω → 0
gegen Null.
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Abb. 10.13. Je kleiner die Dämpfung k ist, desto schmaler ist
die Spitze der Resonanzkurve x 0 (ω) und desto steiler die
Stufe in der ϕ(ω )-Kurve.