PHYSIK MECHANIK - Abteilung für Didaktik der Physik

zeigt, daß die Bewegung, sowie die Energie- und Impulsströme einfacher sind, als es den Anschein
hat. Wir wenden die Kontinuitätsgleichung für den Impuls auf die beiden gestrichelt umrandeten
Bereiche in Abb. 10.15 an:
dp 1
Mit
erhält man die beiden gekoppelten Differentialgleichungen:
Durch Addition (I) + (II) und Subtraktion (I) - (II) erhält man zwei neue Differentialgleichungen:
Wir führen die neuen Koordinaten
q 1 = x 1 + x 2
und
q 2 = x 1 - x 2
ein. Die alten Koordinaten hängen von den neuen ab gemäß
x 1 = (1/2)(q 1 + q 2 )
bzw.
∑
dt = F 1i
i
x 2 = (1/2)(q 1 - q 2 ).
In den neuen Koordinaten lauten die Differentialgleichungen
mq .. 1 + D 'q = 0 1
mq ..
2 + (2D + D ' )q = 0 2
dp 2
p 1 = mx . 1 , p 2 = mx. 2 , F 1a = − D ' x 1 , F 1b = − D (x 1 − x 2 ), F 2 b = − D (x 2 − x 1 ), F 2 c = − D ' x 2
(I) mx .. 1 + D (x 1 − x 2 ) + D ' x = 0 1
(II) mx ..
2 + D (x 2 − x 1 ) + D ' x = 0 2
m (x .. 1 + x.. 2 ) + D ' (x 1 + x ) = 0 2
m (x ..
− x.. 1 2 ) + 2D (x 1 − x 2 ) + D ' (x 1 − x ) = 0 2
Sie sind entkoppelt und können daher unabhängig voneinander gelöst werden. Wir übernehmen
die Lösung aus Abschnitt 10.3:
q 1 (t ) = q 10 sin (ω 1 t + ϕ 1 ) mit ω 1 =
q 2 (t ) = q 20 sin (ω 2 t + ϕ 2 ) mit ω 2 =
D '
m
2D + D '
m
Hieraus können die alten Koordinaten berechnet werden:
∑
dt = F 2i
i
51
x 1 (t ) = (1/2)[q 10 sin (ω 1 t + ϕ 1 ) + q 20 sin (ω 2 t + ϕ 2 )]
x 2 (t ) = (1/2)[q 10 sin (ω 1 t + ϕ 1 ) - q 20 sin (ω 2 t + ϕ 2 )]
Die Schwingung jeder der Koordinaten ist also stets eine Überlagerung von zwei harmonischen
Schwingungen mit den Frequenzen ω 1 und ω 2 .