Defaults in deduktiven Datenbanken

iiiDanksagungIch möchte Herrn Prof. Dr. Udo W. Lipeck für viele hilfreiche Hinweise und fruchtbareDiskussionen während der letzten dreieinhalb Jahre danken.Herrn Prof. Dr. Hans-Dieter Ehrich möchte ich für die Übernahme des Zweitgutachtensdanken, sowie für die Betreuung meiner Diplomarbeit, durch die ich zu einer intensiverenBeschäftigung mit dem Themenkreis Logik und Datenbanken“ gefunden habe.”Kommentare zu Vorversionen und andere nützliche Hinweise habe ich bekommenvon: Dr. Gerhard Brewka, Arno Brinkmann, Dr. François Bry, Dr. Bernhard Convent,Dr. Hendrik Decker, Francisco Miguel Dionisio, Jürgen Dix, Dr. Klaus Drosten,Michael Gertz, Prof. Dr. Ralf Hartmut Güting, Gerhard Koschorreck, Prof. Dr. GeorgLausen, Prof. Dr. Wiktor Marek, Dr. Mark Ryan, Prof. Dr. Yehoshua Sagiv, Prof. Dr. PeterH. Schmitt, Prof. Dr. Bernhard Thalheim und Heinz Uphoff. Dafür möchte ich andieser Stelle noch einmal herzlich danken.Nützlich waren auch die Kontakte in der Forschungsgruppe IS-CORE ( Information”Systems — COrrectness and REusability“, koordiniert von Prof. Dr. Amílcar Sernadas).

Inhaltsverzeichnis1 Einführung 12 Deduktive Datenbanken 112.1 Die verwendete Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Intendierte Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3 Anfragen und Antworten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 Anwendungsbeispiele 493.1 Implizite Negation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2 Vererbung in objekt-orientierten Ansätzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.3 Formalisierung von Änderungsoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644 Eigenschaften von Vervollständigungen 714.1 Folgerungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.2 Modelltheoretische Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.3 Vervollständigungen als Semantik von Defaults . . . . . . . . . . . . . . . . 835 Semantik von Defaults 895.1 Minimale Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.2 Die vorsichtige CWA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.3 Weitere Semantiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206 Berechnung von Antworten 1256.1 Bottom-Up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266.2 Top-Down . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1517 Ausblick 167Symbolverzeichnis 171Literaturverzeichnis 175Index 193v

Kapitel 1EinführungZiel dieser Arbeit ist es, deduktive Datenbanken um Defaults zu erweitern. Damit ist sieim Zwischenfeld der Theorie von Datenbanken, der logischen Programmierung und derkünstlichen Intelligenz einzuordnen.Deduktive Datenbanken [Rei78, GMN84, Rei85, Ull88, Ull89] dienen dazu, logischeFormeln abzuspeichern. Die Anfragebeantwortung geschieht dann mit Techniken des automatischenBeweisens. Typischerweise läßt man nur eingeschränkte Formeln zu (etwaHornklauseln), so daß die Anfragebeantwortung hinreichend effizient möglich ist.Defaults [Rei80, Bes88, Bre91] erlauben die Annahme von Formeln, sofern nichtsGegenteiliges bekannt ist. So ist es etwa üblich, bei der Anfragebeantwortung davonauszugehen, daß nicht ableitbare Fakten falsch sind [Rei78, Cla78]. Daher muß man nurdie positive Information explizit repräsentieren, die im allgemeinen wesentlich kürzer undeinfacher zu notieren ist als die gesamte, bei der Anfragebeantwortung zu verwendendeInformation. Außerdem kann man nur so die bewährten relationalen Datenbanken als aufatomare Formeln beschränkte deduktive Datenbanken verstehen. Defaults wurden alsoschon immer in deduktiven Datenbanken verwendet. Dabei waren die zu verwendendenDefaults aber fest in die Anfragebeantwortung eingebaut, und es handelte sich um dieklassische Annahme von Negationen.Ziel dieser Arbeit ist es, die explizite Angabe beliebiger Defaults zu erlauben, undsowohl ihre Semantik zu untersuchen (was ist eine korrekte Antwort?) als auch passendeAntwortalgorithmen anzugeben (wie berechnet man korrekte Antworten?).Damit einher geht die Erweiterung deduktiver Datenbanken auf beliebige Klauseln(anstelle der eingeschränkten Hornklauseln); denn gerade hier sind explizite Defaultsbesonders wichtig. Läßt man nämlich auch Disjunktionen zu, etwa um unvollständigeInformation darzustellen, so ist die Semantik der impliziten Negation keineswegs mehrklar [Min82, MP84, YH85, GP86, GPP86, BH86, RT88, Dec91]. Defaults erlauben demDatenbankentwerfer nun, die gewünschte Art der Negation zu spezifizieren [BL89].Defaults sind aber nicht nur für die implizite Negation nützlich, wenn dies auch bisherihre wichtigste Anwendung war. In letzter Zeit wird aber eine Integration von deduktivenund objekt-orientierten Datenbanken angestrebt [KNN90, KLW90]. Hier kann dieVererbung von Informationen ganz direkt mit Defaults formalisiert werden [BL91].1

2 KAPITEL 1. EINFÜHRUNGNatürlich sind allgemeine Defaults an sich keine neue Erfindung. Sie wurden auchschon in der künstlichen Intelligenz untersucht bei dem Versuch, Schlußweisen des gesundenMenschenverstandes zu formalisieren [McC80, Rei80, Moo85, McC86]. Allerdingswerden dort meist recht komplizierte Arten von Defaults betrachtet oder neue Logiken,was zu zahlreichen Problemen führt. Im Datenbankbereich scheinen dagegen einfacheprädikatenlogische Formeln als Defaults auszureichen [Poo88, BL89], und durch dieseBeschränkung wird alles wesentlich einfacher und übersichtlicher. Dagegen haben sichPrioritäten zwischen den Defaults als sehr nützlich erwiesen. Sie erlauben, zu spezifizieren,welcher Default vorgezogen werden soll, wenn ein Konflikt zwischen zwei Defaultsbesteht.Ein Ziel der vorliegenden Arbeit ist es nun, für solche einfachen Defaults mit Prioritäteneine Semantik zu entwickeln. Dazu werden mehrere Vorschläge untersucht undverglichen: In der Hauptsache sind dies die minimale Modelle“-Semantik [McC80] verallgemeinertauf partiell geordnete Defaults, und eine neue vorsichtige CWA“, die die””GCWA [Min82] als Spezialfall enthält. Außerdem wird gezeigt, daß die konstruktive Semantik[Bre91] bei partiell geordneten Defaults nicht mehr äquivalent zu den minimalenModellen ist (ein etwas überraschendes Ergebnis). Auch eine passend verallgemeinerteVersion der originalen CWA [Rei78] wird zum Vergleich herangezogen.Es sollen aber nicht nur diese vier Semantiken einfacher Defaults untersucht werden,sondern es soll ein Überblick über alle denkbaren Semantiken gewonnen werden. Der semantischeBereich für Defaults sind Vervollständigungen, die das explizit aufgeschriebeneWissen um implizite Annahmen erweitern. Sie können auf drei Arten formalisiert werden:als Auswahlfunktion auf den Modellen, als syntaktische Erweiterung der Formelmenge,oder als neue Folgerungsrelation. Auch dieser allgemeine Rahmen für die Untersuchungvon Default-Semantiken ist ein wesentlicher Beitrag der vorliegenden Arbeit.Natürlich gibt es in der künstlichen Intelligenz schon Untersuchungen über abstrakte,nicht-monotone Folgerungsrelationen, etwa [Gab85, Mak89, KLM90, Dix91]. Der dieserArbeit zugrunde liegende Ansatz [Bra90a] unterscheidet sich davon hauptsächlich in derBetonung des modelltheoretischen Aspektes. Die hier betrachteten Folgerungsrelationensind gegenüber denen in der Literatur so eingeschränkt, daß es möglich ist, sie äquivalentdurch Auswahlfunktionen auf prädikatenlogischen Modellen zu beschreiben. Dies isteinerseits wesentlich übersichtlicher, da im Datenbankbereich modelltheoretische Sichtweisenja ohnehin üblicher sind (etwa beim relationalen Datenmodell).Andererseits sind solche Auswahlfunktionen aber auch in der mathematischen Theorieder Wahlverfahren ausführlich untersucht worden (eine Übersicht gibt [Mou85]). Es istüberraschend, daß trotz des gänzlich anderen intuitiven Hintergrunds in den beiden Gebietenviele äquivalente Eigenschaften untersucht worden sind. Durch den hier angegebenenallgemeinen Rahmen ist es möglich, zwischen beiden Formulierungen umzurechnen, undes wird auf diesem Wege insbesondere eine Charakterisierung der minimale Modelle“-”Vervollständigungen gewonnen [Bra90a]. In der Literatur sind bisher Resultate aus derTheorie der Wahlverfahren nur sehr vereinzelt herangezogen worden [DW91].Neben den speziellen Default-Semantiken und dem allgemeinen Rahmen ist der dritte

3Beitrag dieser Arbeit eine Untersuchung der Grundlagen von Antwortalgorithmen. Dennnatürlich sollen Defaults auch praktisch bei der Anfragebearbeitung in deduktiven Datenbankenverwendet werden. Hierfür werden zwei Algorithmen vorgeschlagen: Einerseitsein ”top-down“ Verfahren [Bra92b], das im Unterschied zu Beweisern für die Circumscription[Prz89, Gin89, BG89] die Anwendbarkeit von Defaults so früh wie möglich prüft. Damithat es eine gewisse Ähnlichkeit mit der in der logischen Programmierung bewährtenSLDNF-Resolventenmethode [Cla78, Llo87], so daß man auf deutliche Effizienzgewinnehoffen kann. Andererseits wird auch ein ”bottom-up“ Verfahren vorgeschlagen [BL92], mitdem man das bei deduktiven Datenbanken wichtige mengenorientierte Verhalten erhält.Warum sind deduktive Datenbanken wünschenswert?Zunächst einmal sind deduktive Datenbanken eine Verallgemeinerung der relationalenDatenbanken, die sich in der Praxis bewährt haben. Eine relationale Datenbank läßt sichganz direkt in eine Faktenmenge übersetzen [Rei78, GMN84, Rei85].Daneben können deduktive Datenbanken aber auch Regeln enthalten. Um die Nützlichkeitvon Regeln einzusehen, vergleiche man etwa die Regel ”der Intercity von Hannovernach Dortmund fährt von 7 01 bis 21 01 jede Stunde“ mit einem entsprechenden Fahrplanauszug.Regeln mit Ausnahmen können sehr einfach mit Defaults dargestellt werden.Außerdem hat sich gezeigt, daß die Darstellung von unvollständiger Information (etwaNullwerten) in relationalen Datenbanken schwierig ist: Es gibt sehr viele unterschiedlicheVorschläge für die Semantik solcher Nullwerte und die Antwortalgorithmen sind sounübersichtlich, daß auch nach einer ganzen Zeit noch Fehler gefunden werden [Kle91].Die Auffassung des Datenbankzustands als Formelmenge liefert dagegen eine solide theoretischeGrundlage für die Behandlung von unvollständiger Information.Ein weiterer Vorteil deduktiver Datenbanken ist, daß man in der Logik eine einheitlicheSprache für Daten, Programme, Anfragen, Sichten und Integritätsbedingungen hat.Damit lösen deduktive Datenbanken in eleganter Weise das bekannte ”impedance mismatchproblem“ beim Übergang von der mengenorientierten, relationalen Darstellung zueiner tupelweisen Verarbeitung in Anwendungsprogrammen.Schließlich sei noch bemerkt, daß die Logik ja ein vergleichsweise sehr alter Formalismuszur Wissensrepräsentation ist. Sie verfügt damit über ein ausgereiftes theoretischesFundament, so daß es sich anbietet, auch andere Formalismen zur Wissensrepräsentationin die Sprache der Logik zu übersetzen, um einen gemeinsamen Bezugspunkt für einenVergleich zu haben. Passend verallgemeinerte deduktive Datenbanken können dann auchdie Grundlage von Expertensystemen bilden [App85, Pup91].Warum braucht man Defaults zur Negation?Mit Defaults werden die Formulierungen einfacher und natürlicher, insbesondere auch für

4 KAPITEL 1. EINFÜHRUNGNicht-Logiker. Es ist etwa naheliegend, eine Tabelle als Menge von Fakten zu notieren:bestellung(meier, taschenlampe).bestellung(schmidt, radio).bestellung(schmidt, batterien).Angenommen, man fragt nun nach den Kunden, die eine Taschenlampe, aber keine Batterienbestellt haben:bestellung(X, taschenlampe) ∧ ¬bestellung(X, batterien).Logisch gesehen würde diese Aussage für X = meier nicht folgen. Dazu müßte manerst spezifizieren, daß die explizit angegebenen Tupel die einzigen sind, also das positiveWissen über die Tabelle vollständig ist.Natürlich kann man das in der Logik formulieren, es ist nur etwas komplizierter:bestellung(X, Y ) ↔ X = meier ∧ Y = taschenlampe∨ X = schmidt ∧ Y = radio∨ X = schmidt ∧ Y = batterien.Diese Formulierung ist allerdings tatsächlich noch nicht ausreichend. Man muß erst nochangeben, daß je zwei verschiedene Namen auch verschiedene Objekte bezeichnen, also daßetwameier ≠ schmidt.Dies ist, obwohl prinzipiell möglich, doch praktisch etwas mühsam (die Anzahl der Formelndieser Art wächst quadratisch in der Anzahl der Konstanten).Natürlich könnte man Abkürzungen verwenden. Die einfachste Abkürzung wäre wohl,für alle nicht explizit genannten Paare von Kunden und Waren die entsprechende Negationzu ergänzen, also z.B.¬bestellung(meier, batterien).Aber das wäre ja gerade wieder ein Default.Warum sollten Defaults explizit spezifiziert werden?Nachdem man sich von der Nützlichkeit der Negations-Defaults überzeugt hat, könnteman sie natürlich einfach fest in den Antwortalgorithmus einbauen (das ist die momentanübliche Lösung). Allerdings ist die genaue Semantik nicht mehr so klar, wenn man denBereich der Hornklauseln verläßt. Es reicht dann nämlich nicht mehr aus, einfach dieNegation jedes nicht implizierten Faktums anzunehmen. Dies würde zu Widersprüchenführen [Rei78]. Ein Beispiel istkann fliegen(X) ← vogel(X) ∧ ¬ausnahme(X).vogel(tweety).Hier folgt weder kann fliegen(tweety) (tweety könnte eine Ausnahme sein, beispielsweiseein Pinguin) noch ausnahme(tweety) (darüber ist in der Datenbank nichts gesagt). Trotzdemkann man nicht gleichzeitig ¬kann fliegen(tweety) und ¬ausnahme(tweety) annehmen,denn dies widerspricht der angegebenen Regel.

5Prolog löst dieses Problem, indem es die Schreibweise der Regel auswertet und demNegationsdefault für das im Kopf auftretende Prädikat geringere Priorität gibt als denender Rumpfprädikate. In diesem Fall würde sich also ¬ausnahme(tweety) durchsetzen.Hätte man die Regel dagegen in der logisch äquivalenten Schreibweiseausnahme(X) ← vogel(X) ∧ ¬kann fliegen(X)formuliert, so wäre es gerade umgekehrt, es würde ausnahme(tweety) angenommen.Es findet also auch bisher schon eine Spezifikation der Defaults statt, wenn auch nurihrer Prioritäten. Diese Spezifikation ist aber implizit und in den Regeln verborgen, redundantund möglicherweise inkonsistent. Dabei ist es doch eher dem Prädikat ausnahmezuzuordnen, daß Ausnahmen eben selten sind. Die zweite Schreibweise sollte dem keinenAbbruch tun.Wesentlich größer sind die Schwierigkeiten bei der Darstellung von unvollständigerInformation. Es gibt eine ganze Reihe unterschiedlicher Vorschläge für die Semantik derimpliziten Negation. Explizite Defaults helfen nun einerseits, diese Vorschläge zu erklärenund miteinander zu vergleichen, und andererseits, dem Benutzer oder Datenbankentwerferdie Wahl zu lassen, welche Vervollständigung er verwenden will (entsprechend derjeweiligen Anwendung).Wozu sind Defaults noch nützlich?Die implizite Negation ist aber keineswegs die einzige Anwendung von Defaults.Defaults können etwa auch ein Mittel zur Erklärung sein. Es ist ja durchaus üblich,erst die allgemeine Regel anzugeben, und dann die Ausnahmen. So sagt man etwa ”Vögelkönnen fliegen“:kann fliegen(X) ← vogel(X).Das ist natürlich eine stark vergröberte Aussage, da es zahlreiche Ausnahmen gibt:¬kann fliegen(X) ← pinguin(X).¬kann fliegen(X) ← strauss(X).¬kann fliegen(X) ← flügel gebrochen(X).Trotzdem ist die Trennung in die allgemeine Regel und in ihre Ausnahmen sehr hilfreichfür die Darstellung (vermutlich sind die genannten Ausnahmen ja noch nicht einmalvollständig). Mit Defaults kann man dieses Beispiel so aufschreiben wie hier gezeigt. Manhat nur darauf zu achten, daß eine Ausnahme eine höhere Priorität als die allgemeine Regelhat, so daß sie sich durchsetzt, wenn beide anwendbar sind.Wenn man nun nicht mehr die einzelnen Regeln betrachtet, sondern die spezifiziertenObjekte, so entspricht dies einer Spezialisierung. Man geht aus von einer einfachenSpezifikation eines ”typischen Vogels“ und verfeinert sie schrittweise zu einem typischenPinguin, zu einem typischen Neuseeländischen Goldschopfpinguin, und schließlich zu einemspeziellen Exemplar dieser Art.

6 KAPITEL 1. EINFÜHRUNGIn objekt-orientierten Sprachen wurde zur Unterstützung solcher Vorgehensweisender Mechanismus der Vererbung eingeführt. Die Klasse der Pinguine sollte etwa vonder Oberklasse der Vögel die Eigenschaft erben, Federn zu haben. Dagegen wird dieEigenschaft, fliegen zu können, überschrieben“.”Allerdings ist die Programmierung in objekt-orientierten Systemen doch eher operational,und es fehlt eine formale Semantik. Daher besteht der Wunsch, die deklarativeVorgehensweise deduktiver Datenbanken mit den Strukturierungsmöglichkeiten objektorientierterSysteme zu kombinieren. Als formale Semantik für die Vererbung bieten sichdabei Defaults an.Ein weiterer Anwendungsbereich ist die Formalisierung von Änderungs-Operationen.Wenn man die Auswirkung einer Aktion beschreibt, erklärt man natürlich nur die Änderung,und geht davon aus, daß alle nicht erwähnten Dinge unverändert bleiben (Rahmenregel).Eine genaue Formalisierung ist aber überraschend schwierig, und hier könnenDefaults mit einer präzisen Semantik eine große Hilfe sein.Defaults unterscheiden sich von normalen Formeln darin, daß auch inkonsistente Mengenoder triviale Folgerungen noch einen Informationsgehalt haben. Auf diese Weise kannman Vorkehrungen zur Fehlertoleranz treffen. Ein Beispiel wären die beiden Aussagen” Der Zug aus Dortmund kommt in Hannover um 959 an“ und Falls der Zug aus Dortmund”nicht um 9 59 ankommt, wartet der Anschlußzug nach Braunschweig maximal 10 Minuten“.Logisch gesehen wäre die zweite Aussage redundant. Handelt es sich aber um Defaults,enthält sie eine wesentliche Information für den Fall, daß die erste Aussage überschriebenwird.Auch im Zusammenhang mit unvollständiger Information sind Defaults wichtig. Hierist es ja häufig nötig, Folgerungen zu ziehen und tätig zu werden, obwohl man sich nichtdavon überzeugen kann, daß die Ausnahmen tatsächlich nicht zutreffen. Vielleicht kenntman nicht einmal alle Ausnahmen.Warum sollte man allgemeine Vervollständigungen betrachten?Sobald man mehr als eine Semantik für Defaults kennt, ist die Frage naheliegend, ob esnoch weitere gibt, die vielleicht in irgendeinem Sinne besser sind.Die einzige systematische Art, an diese Frage heranzugehen, ist doch offenbar zunächstden ganzen Bereich zu betrachten, aus dem die Semantiken stammen können, eben dieVervollständigungen. Diesen Bereich muß man nun mit Hilfe von Eigenschaften ”filtern“,bis nur noch wenige Vervollständigungen übrig bleiben, oder man zumindest einen gewissenÜberblick gewonnen hat.Solche Eigenschaften können darüber hinaus auch nützlich sein, die bekannten Semantikenzu bewerten oder zu vergleichen.Schließlich kann man sich aber auch umgekehrt die Frage stellen, ob die hier betrachtetenDefaults überhaupt das geeignete Mittel sind, Vervollständigungen zu beschreiben.Man kann ja auch Vervollständigungen als den grundlegenderen Begriff ansehen, dennsie beschreiben direkt, wie die Anfragen beantwortet werden sollen. In dieser Sichtweise

7wären die Defaults ein bloßes Mittel, um Vervollständigungen aufzuschreiben. Es stellensich dann solche Fragen wie ”Können alle vernünftigen Vervollständigungen durch Defaultsbeschrieben werden?“ Dies ist insbesondere interessant, weil in der Literatur auchandere Formalismen für nichtmonotones Schließen vorgeschlagen wurden, die nicht aufDefaults in dem hier zugrundegelegten Sinn basieren.Ist diese Theorie auch praktisch einsetzbar?Lange Zeit schien es so, als wäre der praktische Einsatz allgemeiner Formeln und Defaultsaufgrund des viel zu hohen Aufwands unmöglich. Auf der anderen Seite haben sicheingeschränkte Formeln und Defaults bei deduktiven Datenbanken und in der logischenProgrammierung bewährt. Daraus ergeben sich zwei mögliche Lösungsansätze:Einerseits kann man allgemeine Formeln und Defaults als Mittel der Spezifikationansehen. Durch die mächtigen Ausdrucksmöglichkeiten werden die Formulierungen wesentlicheinfacher, so daß es sich also auszahlt, beim Entwurf deduktiver Datenbanken oderanderer wissensbasierter Systeme mehrstufig vorzugehen: Zuerst entwirft man das Systemin einer mächtigen Logik. Nachdem die mit dem Anwendungsbereich zusammenhängendenProbleme gelöst sind, kann man sich auf die Implementierung konzentrieren. Diegeschieht in einer effizienten Logik. Es ist dabei nur sicherzustellen, daß die Transformationzwischen den beiden Ebenen die Bedeutung erhält. Ein entsprechender Ansatz zurÜberwachung temporaler Integritätsbedingungen wurde in [Lip89] vorgeschlagen. Ein ersterVersuch, allgemeine Klauseln und eine mächtigere Vervollständigung nach Prolog zuübersetzen, ist [GL89]. Allerdings ist dieser Ansatz noch recht eingeschränkt. Trotzdemist klar, daß eine solche Transformation prinzipiell möglich sein muß; schlimmstenfalls istdas Transformationsergebnis ein allgemeiner Beweiser, formuliert in Prolog, zusammenmit den unveränderten Klauseln als Eingabedaten. Von hier aus kann man jetzt versuchen,den Beweiser immer weiter auf die tatsächliche Eingabe zu spezialisieren (partielleAuswertung).Der andere Lösungsansatz ist, Antwortalgorithmen zu entwickeln, die den bewährtenAnsätzen aus der logischen Programmierung und den deduktiven Datenbanken möglichstähnlich sind. Tatsächlich werden ja auch in einer Logik mit den erweiterten Möglichkeitengroße Teile der Spezifikation aus den Standard-Hornklauseln bestehen. Ziel muß esalso sein, daß der Antwortalgorithmus für die eingeschränkte Logik kaum Mehraufwandbedeutet, und eine sparsame Verwendung der neuen Möglichkeiten auch nur geringe Effizienzverlustemit sich bringt ( Stetigkeit“).”In der vorliegenden Arbeit wird dieser zweite Lösungsansatz angestrebt. Es gibt aberenge Beziehungen zwischen beiden Vorgehensweisen: Hat man einen Algorithmus, der dieAnteile der einfachen Logik effizient behandelt, so müßte man nicht die ganze Spezifikationtransformieren, sondern könnte sich je nach Effizienzanforderung auf die wichtigsten Teilebeschränken. Außerdem bleibt die Spezifikation nach jeder Teiltransformation ausführbarund kann damit gestestet werden. Andererseits wäre eine automatische Transformationnach Prolog natürlich ein Algorithmus im Sinne des zweiten Lösungsansatzes.

8 KAPITEL 1. EINFÜHRUNGNatürlich können hier nur einige Grundlagen entwickelt werden, da es bis zum skizziertenZiel vermutlich noch ein weiter Weg ist.Konkret werden hier zwei Algorithmen vorgeschlagen: Der erste ist der bottom-up“”Methode der Anfrageauswertung in deduktiven Datenbanken recht ähnlich, insbesonderegeht er also mengenorientiert vor und vermeidet dadurch Mehrfacharbeit. Im Gegensatzzur klassischen bottom-up“ Methode arbeitet er aber mit allgemeinen Klauseln und”expliziten Defaults.Der zweite Algorithmus ist ein top-down“ Beweiser, arbeitet also zielgerichtet. Er”weist gewisse Ähnlichkeiten zur SLDNF-Resolventenmethode von Prolog auf. In der Literaturgibt es schon einige vergleichbare Algorithmen [Prz89, Gin89, BG89]. Der hier vorgeschlageneAnsatz hat den Vorteil, die Anwendbarkeit der Defaults so früh wie möglichzu testen (entsprechend der Auswertung der Negationen in Prolog). Dies ist auch nötig,um disjunktive Antworten berechnen zu können, denn diese Antworten können geradedurch Fallunterscheidungen bei den Defaults zustande kommen. Außerdem ist der hierangegebene Algorithmus auch auf die vorsichtige CWA“ anwendbar, und es wird skizziert,wie er sich auf partiell geordnete Defaults erweitern läßt.”Von dem top-down“ Ansatz gibt es schon erste Implementierungen [Ern92, Bra92a],”eine Implementierung des bottom-up“ Verfahrens ist momentan in der Entstehung begriffen[Bri92]. Eine Untersuchung anderer nichtmonotoner Beweissysteme [DDFM90]”zeigt, daß solche Implementierungen dringend nötig sind, denn bisher scheint die Praxishinter der Theorie doch deutlich zurück zu sein.Gliederung der ArbeitIm Kapitel 2 werden Grundbegriffe verallgemeinerter deduktiver Datenbanken eingeführt.Es werden dabei häufig auch Alternativen diskutiert, um den hier verfolgten Ansatz ineinen größeren Rahmen einzubetten. Für die Semantik der Defaults wird der Begriff derVervollständigung mit drei äquivalenten Formalisierungen eingeführt. Die Frage, welcheVervollständigungen einer gegebenen Menge von Defaults zugeordnet werden soll, istgerade der Gegenstand späterer Untersuchungen.Kapitel 3 enthält einige Anwendungsbeispiele für Defaults aus den drei Bereichenimplizite Negation, Vererbung in objekt-orientierten Ansätzen und Semantik von Änderungsoperationen.Damit soll motiviert werden, daß Defaults in deduktiven Datenbankenund ihren Erweiterungen nützlich sind. Außerdem wird klar werden, daß es mehr als einevernünftige Semantik von Defaults gibt, so daß also eine echte Auswahl möglich ist, dieeinen genaueren Vergleich erfordert.In Kapitel 4 werden zunächst abstrakt alle denkbaren Semantiken von Defaults betrachtet,und einige Anforderungen an vernünftige Semantiken aufgestellt. So wird manetwa wünschen, daß typische Ableitungsregeln der logischen Folgerung gültig bleiben.Auch gibt es einige unstrittige Eigenschaften für die Berücksichtigung von Defaults.In Kapitel 5 werden dann im wesentlichen zwei Semantiken für Defaults vorgeschlagen,die minimale Modelle“-Semantik und die vorsichtige CWA“. Es werden die Eigenschaf-” ”

9ten dieser Semantiken untersucht und ihre Beziehung zueinander geklärt. Zum Vergleichwerden schließlich auch noch weitere Semantiken definiert, unter anderem eine Verallgemeinerungder originalen CWA.Im Kapitel 6 werden zwei Antwort-Algorithmen vorgestellt, wobei einer ”top-down“arbeitet (entsprechend Prolog) und einer ”bottom-up“ (wie üblich bei deduktiven Datenbanken).Diese Algorithmen sind sowohl auf die ”minimale Modelle“-Semantik als auchdie ”vorsichtige CWA“ anwendbar.Schließlich werden in Kapitel 7 einige Perspektiven für die zukünftige Arbeit aufgezeigt.Allgemeine LiteraturhinweiseLehrbücher der mathematischen Logik sind etwa [BN77, EFT86, Sch87, BW91]. Grundkenntnisseim automatischen Beweisen werden in [CL73, Sch87, HK89] vermittelt.Übersichtsartikel und Lehrbücher zu deduktiven Datenbanken sind [GMN84, Rei84,Ull88, Ull89, HPRV89, NT89, CGT90, Gog90].Die Grundlagen des logischen Programmierens finden sich in [Llo87, She88], etwasknapper auch in manchen Prolog-Lehrbüchern, z.B. [NM90]. Die neueren Vorschläge zurSemantik der Negation sind etwa in [VGRS91, Prz91] beschrieben.Zu den verschiedenen Formalismen des nichtmonotonen Schließens gibt es inzwischeneine ganze Reihe von Monographien [Rei85, Bes88, Bra88, Eth88, ̷Luk90, Bre91]. Allediese Bücher basieren aber nicht auf einem solchen abstrakten Ansatz, wie er hier verfolgtwird. Die Zielsetzung ist auch eine andere: In der vorliegenden Arbeit wird kein Überblicküber die bekannten nichtmonotonen Logiken angestrebt, sondern es wird eine Semantikfür einfache Defaults gesucht.

Kapitel 2Deduktive DatenbankenZiel dieses Kapitels ist es, Syntax und Semantik eines erweiterten deduktiven Datenbanksystemszu beschreiben. Im einzelnen sind also Begriffe wie Signatur, Formel, Default,Anfrage und korrekte Antwort zu definieren.Für die Semantik der Defaults wird hier mit dem Begriff der Vervollständigung nurein allgemeiner Rahmen angegeben, der dann als Grundlage für die Untersuchungen inspäteren Kapiteln dient. Es ist ja gerade der Gegenstand dieser Arbeit, verschiedeneSemantiken von Defaults zu vergleichen.2.1 Die verwendete LogikBei einer deduktiven Datenbank sind fast alles logische Formeln: die Axiome, die Defaultsund die Anfragen. Daher muß zunächst geklärt werden, welche Logik diesen Formelnzugrunde liegen soll.Die Auswahl ist hier inzwischen recht groß, insbesondere in den Bereichen komplexeObjekte [NT89, GZC89, HS90, Kos90], Typ-Systeme [KW91, YS91], Dynamik[Lip89, BRL91, Ger91], epistemische Quantoren ( es ist bekannt, . . .“) [Moo85, Rei88]”und deontische Konstrukte ( es ist erlaubt, . . .“) [MWW89, FM91].”Ziel dieser Arbeit ist allerdings die Untersuchung von Defaults, und nicht von besondersmächtigen oder benutzerfreundlichen Logiken. Daher wurde eine weitgehendklassische“ Logik gewählt, nämlich mehrsortige Prädikatenlogik, eingeschränkt auf quantorenfreieFormeln ohne Funktionssymbole, aber mit eingebauten“ Prädikaten wie =“” ””und

12 KAPITEL 2. DEDUKTIVE DATENBANKENdaß sie zumindest zum jetzigen Zeitpunkt noch keine stabile Basis für Erweiterungendarstellen.Eine Alternative wäre natürlich gewesen, Defaults unabhängig von der verwendetenLogik zu untersuchen, so wie das etwa in [BRL91] geschehen ist. Diese Allgemeinheitmuß aber mit Einschränkungen in anderer Hinsicht erkauft werden: So kann man etwanicht voraussetzen, daß die Logik über Junktoren wie ∧“ und ∨“ verfügt, die aber für” ”die Eigenschaften in Kapitel 4 dringend benötigt werden. Außerdem basieren die Deduktionsalgorithmen,die in Kapitel 6 zur Anfrage-Auswertung eingesetzt werden, auf derPrädikatenlogik. Natürlich könnte man versuchen, die Eigenschaften und die Algorithmenentsprechend zu parametrisieren, aber die größere Allgemeinheit würde keineswegszu einer größeren Übersichtlichkeit beitragen.Der Verzicht auf Funktionssymbole ist im Datenbankbereich nicht unüblich. DasHauptproblem von Funktionssymbolen ist, daß sie zu unendlichen Bereichen führen. Dannist aber nicht mehr jede Menge von Interpretationen durch eine Formelmenge zu beschreiben,was zu Schwierigkeiten bei der modelltheoretische Sichtweise einer Vervollständigungführt. Die eigentlich wesentlichen Ergebnisse würden dann durch viele Zusatzannahmenverschleiert. Auch bei der Anfrage-Auswertung käme es zu zahlreichen Schwierigkeiten;so wären etwa die korrekten Antworten ohne weitere Einschränkungen nicht mehr rekursivaufzählbar. Eine Einschränkung der zulässigen Axiome, Defaults und Anfragenkann sicherlich viele dieser Probleme ausschließen. Für Prolog existieren schon zahlreicheentsprechende Vorschläge, wie z.B. [Plü90].In einigen Punkten geht die hier verwendete Logik aber auch über das Mindestmaßhinaus. Zunächst sind beliebige Klauseln zugelassen (sogar beliebige quantorenfreie Formeln),nicht nur definite Hornklauseln wie in reinem Prolog. Der Grund hierfür ist, daßDisjunktionen zur Repräsentation von unvollständiger Information nötig sind, außerdemkönnen auch rein negative Klauseln sehr natürlich sein (z.B. Pinguine können nicht fliegen“).Schließlich sind Defaults nur interessant, wenn sie den Axiomen und anderen”Defaults widersprechen können. Eine Menge von definiten Hornklauseln ist aber immerkonsistent.Die zweite Erweiterung ist die Mehrsortigkeit, die zumindest im Datenbankbereichüblich ist. Sie erlaubt eine einfache syntaktische Typprüfung, reduziert also das Risiko vonEingabefehlern. Es ist auch möglich, stattdessen Typprädikate“ zu verwenden [Llo87],”die Mehrsortigkeit ist also keine echte Steigerung der Ausdrucksfähigkeit. Aber es isteinfacher, einen speziellen Mechanismus für die Typprüfung zu verwenden als sich auf dieallgemeine Deduktion abstützen zu müssen. Außerdem führt sie zu keinen zusätzlichenSchwierigkeiten.Die dritte Erweiterung ist die Berücksichtigung von Datentypen und eingebautenPrädikaten, insbesondere der Gleichheit. Einerseits sind Datentypen wichtig, wenn manin den deduktiven Datenbanken eine direkte Verallgemeinerung der relationalen sehenwill. Standardprädikate wie

2.1. DIE VERWENDETE LOGIK 13Zahlen). Hier hilft eine Einschränkung der zulässigen Anfragen, Axiome und Defaults aufsogenannte bereichsbeschränkte“ Formeln. Dies ist im Datenbankbereich üblich, aber”dieser Begriff muß hier natürlich an die Erweiterung auf quantorenfreie Formeln undallgemeine Defaults angepaßt werden. Im Endeffekt kann man dann beweisen, daß esgenügt, Herbrandmodelle über den aktuell vorkommenden Konstanten zu betrachten.Damit ist die Einführung der Datentypen keine echte Verallgemeinerung, aber doch vongroßem praktischen Nutzen.Die Gleichheit wird hier als eingebautes Prädikat behandelt. Sie ist wichtig, umSchlüsselbedingungen formulieren zu können. In relationalen Datenbanken ist diese Formvon Integritätsbedingungen ja vielfach bewährt, und natürlich sind sie in deduktiven Datenbankenmindestens ebenso nützlich. Man erhält so die Möglichkeit, nicht-generierendeFunktionssymbole (etwa vater von“) durch Prädikate zu simulieren. Es sei an dieser”Stelle noch bemerkt, daß Defaults die Berücksichtigung von Integritätsbedingungen auchbei der Anfrage-Auswertung erfordern, nicht nur bei Änderungsoperationen. Der Grundist, daß Defaults Integritätsbedingungen widersprechen können, und dann natürlich nichtangenommen werden dürfen. Bisher werden Integritätsbedingungen höchstens im Rahmender Optimierung [Wüt91] bei der Anfrageauswertung berücksichtigt.Natürlich wäre es auch möglich, ein benutzerdefiniertes Prädikat equal“ einzuführen,”dem mit Axiomen die Bedeutung der Gleichheit gegeben wird. Dies führt aber zu erheblichemAufwand bei der Anfrageauswertung, so daß das Gleichheitsprädikat in automatischenBeweisern normalerweise mit einer speziellen Deduktionsregel behandelt wird, derParamodulation [CL73]. Außerdem vereinfacht es die Spezifikationsarbeit, wenn ein gewisserGrundstock fest interpretiert wird, also nicht durch Formeln unabsichtlich geändertwerden kann. Aus demselben Grund ist hier die Sortierung der Prädikate und Konstantenin die Logik eingebaut.Eine Logik hat im allgemeinen vier Komponenten [GB84]: die Signaturen, die Interpretationen,die Formeln, und die erfüllt“-Relation zwischen Interpretationen und”Formeln. Diese Komponenten sollen nun für die hier verwendete Logik definiert werden,wobei besonders auf die Bedeutung aus Datenbanksicht eingegangen wird.SignaturenIn den Formeln einer deduktiven Datenbank kommen Bezeichner wie angestellter“ vor,”mit denen der Bezug zur Anwendungswelt hergestellt werden soll. Die Deklaration dieserBezeichner geschieht in Form einer Signatur. Zur Vereinfachung der Definitionen enthaltendie Signaturen hier auch die vordefinierten Symbole der Datentypen. Natürlichwürden diese in einer praktischen Spezifikationssprache nicht explizit deklariert.In der Prädikatenlogik muß eine Signatur offensichtlich mindestens die Prädikate (Relationssymbole)festlegen, die in den Formeln verwendet werden können. Dies ist auchbei einem relationalen Datenbanksystem erforderlich. Dagegen werden hier keine Attributnamenbenötigt, weil die Argumente der Prädikate wie im Bereichskalkül über ihrePosition identifiziert werden.

14 KAPITEL 2. DEDUKTIVE DATENBANKENNatürlich können in den Formeln Konstanten auftreten, wie etwa Zeichenketten oderZahlen. Neben diesen Datentyp-Konstanten ist es möglich, Konstanten für Objekte derAnwendungswelt einzuführen (etwa für Personen, Waren, usw.). Dies ist im relationalenModell nicht vorgesehen und entspricht der Möglichkeit des Entity-Relationship“-”Modells, über diese Objekte selbst reden zu können und nicht nur über ihre Namen.Solche Konstanten können zu Sorten wie person“ oder ware“ zusammengefaßt werden.Zusammen mit den für die Prädikate spezifizierten Argumentsorten ist so eine” ”Typprüfung möglich. Zur Vereinfachung ist hier für jedes Prädikat nur eine Sortenangabezulässig, praktische Implementierungen werden wohl überladene Bezeichner anbieten.Es werden hier nur bereichsbeschränkte“ Formeln (s.u.) zugelassen, um nur endliche”Modelle betrachten zu müssen. Für ihre Definition ist die Unterscheidung zwischen positiv,negativ oder gar nicht bindenden Prädikaten nötig. Der klassische Fall sind dabeidie positiv bindenden Prädikate — sie können so interpretiert werden, daß sie höchstensfür die explizit vorkommenden Konstanten wahr sind. Ein Beispiel für ein nicht bindendesPrädikat wäre

2.1. DIE VERWENDETE LOGIK 15Umgekehrt könnte man die in der Datenbank abgespeicherten Formeln (s.u.) alsDatenbankzustand“ ansehen. Aber auch das ist nur bedingt richtig, denn normalerweisewerden sich nur die Fakten ändern, die Regeln für abgeleitete Prädikate bleiben”meist konstant. Die Unterscheidung zwischen Schema und Zustand kann also nur vomDatenbankentwerfer vorgenommen werden.Definition 2.1.3 (Teilsignatur): Eine Signatur Σ 1 = 〈S 1 , C 1 , P 1 , γ 1 , π 1 , β 1 〉 heißtTeilsignatur einer Signatur Σ 2 = 〈S 2 , C 2 , P 2 , γ 2 , π 2 , β 2 〉 (Σ 1 ⊆ Σ 2 ) genau dann, wenn• S 1 ⊆ S 2 , C 1 ⊆ C 2 , P 1 ⊆ P 2 ,• γ 1 (c) = γ 2 (c) für alle c ∈ C 1 ,• π 1 (p) = π 2 (p) für alle p ∈ P 1 und• β 1 (p) = β 2 (p) für alle p ∈ P 1 .Zwei Signaturen Σ 1 und Σ 2 heißen kompatibel, wenn es eine gemeinsame Teilsignatur Σvon Σ 1 und Σ 2 gibt mit(S ∪ C ∪ P ) = (S 1 ∪ C 1 ∪ P 1 ) ∩ (S 2 ∪ C 2 ∪ P 2 ).Dann heißt Σ der Schnitt von Σ 1 und Σ 2 .Es sei nun eine Signatur Σ D der Datentyp-Konstanten und Prädikate gegeben, wobei allePrädikate den Bindungstyp ”∗“ haben (sie beschreiben ja normalerweise auch unendlicheRelationen).Im folgenden kann davon ausgegangen werden, daß alle auftretenden Signaturen Σmit Σ D kompatibel sind (die Resultate gelten sowohl mit dieser Einschränkung als auchohne sie).Naheliegender wäre die Forderung Σ D ⊆ Σ. Dies ist aber problematisch, da Σ Dtypischerweise unendlich ist und man insbesondere die endliche Signatur der explizit vorkommendenKonstanten betrachten möchte.InterpretationenDie Semantik einer Signatur Σ ist die Menge der Interpretationen von Σ, die den Zeichender Signatur eine Bedeutung zuordnen. Dabei werden wie üblich Sorten als Mengeninterpretiert, Konstanten als Elemente dieser Mengen und Prädikate als Relationen aufdiesen Mengen.Unter den Interpretationen sollten sich auch die Entsprechungen zu Zuständen desAusschnitts der realen Welt befinden, der mit der Datenbank modelliert werden soll.Interpretationen, die keinem möglichen Zustand der realen Welt entsprechen, könneneventuell noch über Integritätsbedingungen ausgeschlossen werden (s.u.).

16 KAPITEL 2. DEDUKTIVE DATENBANKENDefinition 2.1.4 (Interpretation):Eine Σ-Interpretation I bestimmt• eine Menge I [s] für jede Sorte s ∈ S, wobei I [s 1 ] ∩ I [s 2 ] = ∅ für s 1 ≠ s 2 ,• ein Element I [c] ∈ I [s] für jede Konstante c ∈ C mit γ(c) = s — dabei sei für zweiverschiedene Konstanten c 1 , c 2 ∈ C auch I [c 1 ] ≠ I [c 2 ] — und• eine Relation I [p] ⊆ I [s 1 ]×· · ·×I [s n ] für jedes Prädikat p ∈ P mit π(p) = s 1 . . . s n .Man beachte, daß nicht (wie sonst in der Logik üblich) gefordert wird, daß die Mengen I [s]nichtleer sind. Es ist ja im Datenbankbereich sehr wohl möglich, daß zunächst noch garkeine Personen oder Waren eingetragen sind. Allerdings muß man dann berücksichtigen,daß bestimmte Schlüsse nicht mehr möglich sind. So ist etwa {p(X), ¬p(X)} nicht mehrinkonsistent, sondern kann von einem Modell mit leerem Individuenbereich erfüllt werden.Hier hilft aber die Bereichsbeschränkung (s.u.), die gerade solche Fälle verbietet.Von den Konstanten wird verlangt, daß sie als verschiedene Elemente interpretiert werden,d.h. es werden eindeutige Namen vorausgesetzt (UNA, ”unique names assumption“).Dies ist in erster Linie eine Hilfe bei der Spezifikation, um so bestimmte Überraschungenim Zusammenspiel mit den Defaults auszuschließen. Bei Nullwerten oder Skolemkonstantengilt diese Annahme allerdings nicht, hier kann man sich mit einem benutzerdefiniertenGleichheitsprädikat helfen.Eine letzte Forderung in der Definition von Interpretation ist schließlich noch, daßdie Sorten disjunkt sind. Der Grund hierfür ist, daß man nur so Formeln mit Typfehlernwirklich als sinnlos zurückweisen kann.Da nur Allaussagen betrachtet werden (s.u.), brauchen nur Herbrand-Interpretationenbetrachtet werden, bei denen die Interpretation der Sorten und Konstanten fest vorgegebenist. Es ist jedoch trotzdem nützlich, den allgemeinen Begriff der Interpretation zukennen, da nur diese direkt den Situationen in der Anwendungswelt entsprechen.Definition 2.1.5 (Herbrand-Interpretation): Eine Interpretation I heißt Herbrand-Interpretation, wenn• I [s] = {c ∈ C | γ(c) = s} für alle s ∈ S, und• I [c] = c für alle c ∈ C.Die Menge aller Herbrand-Interpretationen über Σ wird mit I Σ bezeichnet.Herbrand-Interpretationen lassen also nur die Interpretation der Prädikate offen. Dahier ohnehin eindeutige Namen vorausgesetzt werden, unterscheiden sich allgemeine Σ-Interpretation und Herbrand-Interpretation bis auf Isomorphie nur darin, daß allgemeineInterpretationen größere Individuenbereiche I [s] haben können.Für die Folgerungsbeziehung und die Konsistenz von Formelmengen reicht es aus,nur Herbrand-Interpretationen zu betrachten. Der Grund hierfür ist die Einschränkungauf quantorenfreie Formeln (also Allaussagen) — schränkt man die Individuenbereicheeines Modells ein, so sind die Allaussagen ja erst recht erfüllt, man erhält also wieder einModell.Bei Herbrand-Interpretationen entspricht dies einer Einschränkung der Signatur:

2.1. DIE VERWENDETE LOGIK 17Definition 2.1.6 (Redukt von Herbrand-Interpretationen): Seien Σ ⊆ Σ ′ zweiSignaturen und I ′ eine Σ ′ -Herbrand-Interpretation. Das Σ-Redukt von I ′ ist die Σ-Herbrand-Interpretation I mitI [p] := { (c 1 , . . . , c n ) ∣ c i ∈ C, γ(c i ) = s i , (c 1 , . . . , c n ) ∈ I ′ [p] }für alle p ∈ P und s 1 . . . s n = π(p).Bei der Erweiterung der Individuenbereiche bzw. der Signatur werden dagegen nicht unbedingtaus Modellen wieder Modelle. Bei bereichsbeschränkten Formeln (s.u.) gilt diesaber, wenn man die positiv bindenden Prädikate für neue Konstanten als falsch und dienegativ bindenden Prädikate als wahr interpretiert.Definition 2.1.7 (Erweiterung von Herbrand-Interpretationen): Seien Σ ⊆ Σ ′zwei Signaturen und I eine Σ-Herbrand-Interpretation. Ein Σ ′ -Herbrand-Interpretation I ′heißt Σ ′ -Erweiterung von I genau dann, wenn das Σ-Redukt von I ′ gerade I ist.Eine Σ ′ -Erweiterung I ′ heißt Standard-Erweiterung genau dann, wenn für alle Predikatep ′ ∈ P ′ mit β ′ (p) = + und sortengerechte Konstanten c ′ 1, . . . , c ′ n ∈ C ′ gilt:c ′ i ∉ C für mindestens ein i =⇒ (c ′ 1, . . . , c ′ n) ∉ I ′ [p ′ ]und entsprechend für alle p ′ ∈ P ′ mit β ′ (p ′ ) = −:c ′ i ∉ C für mindestens ein i =⇒ (c ′ 1, . . . , c ′ n) ∈ I ′ [p ′ ].Natürlich sollten alle Interpretationen die Datentyp-Prädikate richtig interpretieren. Dazusei eine Σ D -Herbrand-Interpretation I D gegeben, die gerade die übliche Interpretationdieser Symbole beschreibt (bzw. ein isomorphes Bild). Es kann im folgenden von allenΣ-Herbrand-Interpretationen I vorausgesetzt werden, daß das Σ ∩ Σ D -Redukt von I mitdem Σ ∩ Σ D -Redukt von I D übereinstimmt.FormelnFormeln treten in deduktiven Datenbanken als Axiome (Fakten und Regeln), Defaults,Anfragen und Integritätsbedingungen auf.Es werden hier beliebige quantorenfreie Formeln zugelassen. Dies ist einerseits vonpraktischem Nutzen, andererseits aber auch für die in Kapitel 4 betrachteten Eigenschaftennötig (insbesondere die Umrechnung zwischen modelltheoretischer und syntaktischerFormulierung wäre sonst nicht möglich).Für die Algorithmen wird natürlich wird die übliche Klausel-Darstellung angestrebt,dazu ist allerdings bei Anfragen und Defaults eine Erweiterung der Signatur nötig (s.u.).Die Definitionen von Formeln und Klauseln folgen dem üblichen Aufbau. Dabei wirdversucht, zwischen der mathematischen Struktur ( ”abstrakte Syntax“) und der Repräsentationals Zeichenkette ( ”konkrete Syntax“) zu unterscheiden.Definition 2.1.8 (Variablendeklaration): Eine Variablendeklaration für X ⊆ A Veine Abbildung Ξ: X → S. Dabei sei X endlich.ist

18 KAPITEL 2. DEDUKTIVE DATENBANKENDefinition 2.1.9 (Term):• eine Konstante c ∈ C mit γ(c) = s oder• eine Variable X ∈ X mit Ξ(X) = s.Ein (Σ, Ξ)-Term der Sorte s ist entwederDefinition 2.1.10 (Atomare Formel): Eine (Σ, Ξ)-atomare Formel besteht aus einemPrädikat p∈P und einer Liste t 1 . . . t n von (Σ, Ξ)-Termen der Sorten s 1 . . . s n = π(p).Atomare Formeln werden meist in der Form p(t 1 , . . . , t n ) geschrieben. Bei eingebautenPrädikaten ist eine Infix-Darstellung üblicher, z.B. t 1 < t 2 oder t 1 = t 2 + t 3 . In objektorientiertenSprachen wird auch die Schreibweise t 1 .p(t 2 , . . . , t n ) verwendet, wobei derPräfix entfallen kann, wenn er aus dem Kontext bekannt ist.Definition 2.1.11 (Formel):• eine der logischen Konstanten true, false oder• eine atomare (Σ, Ξ)-Formel oderEine (Σ, Ξ)-Formel (der Stufe i ∈ IN) ist• eine negierte Formel, bestehend aus dem Junktor ¬ und einer (Σ, Ξ)-Formel (einerStufe < i) oder• eine zusammengesetzte Formel, bestehend aus einem der Junktoren ∧, ∨, →, ←, ↔und zwei (Σ, Ξ)-Formeln (einer Stufe < i).Eine Σ-Formel besteht aus einer Variablendeklaration Ξ und einer (Σ, Ξ)-Formel (einerStufe i ∈ IN).Die Menge aller Σ-Formeln wird mit L Σ bezeichnet, die Menge der variablenfreienΣ-Formeln mit L ∗ Σ .Man beachte, daß keine ∀, ∃-Quantoren zugelassen sind (alle Variablen sind implizit allquantifiziert).Die Stufung dient nur dazu, unendliche Formeln auszuschließen.Formeln werden aufgeschrieben, indem der Junktor bei zusammengesetzten Formelnzwischen die beiden Teilformeln gesetzt wird und sie gegebenenfalls in Klammern eingeschlossenwerden. Üblicherweise bindet ¬ am stärksten, danach ∧, anschließend ∨ undzuletzt →, ←, ↔. Die Variablendeklaration wird meist nicht explizit aufgeschrieben, wennsie sich aus der Verwendung der Variablen ergibt.Modell-BeziehungDie Modell-Beziehung zwischen Interpretationen und Formeln wird wie üblich definiert:Definition 2.1.12 (Variablenbelegung): Eine Variablenbelegung zu einer VariablendeklarationΞ: X → S und einer Interpretation I ist eine Abbildung α, die jeder VariablenX ∈ X einen Wert α(X) ∈ I [Ξ(X)] zuordnet.

2.1. DIE VERWENDETE LOGIK 19Definition 2.1.13 (Auswertung von Termen): Der Wert (I, α)[t] eines (Σ, Ξ)-Terms t in einer Interpretation I unter einer Variablenbelegung α ist• I [c], falls t eine Konstante c ist,• α(X), falls t eine Variable X ist.Definition 2.1.14 (Modell-Beziehung): Eine Interpretation I erfüllt eine (Σ, Ξ)-Formel ϕ unter der Variablenbelegung α ((I, α) |= ϕ) genau dann, wenn• falls ϕ eine logische Konstante ϕ 0 ist:(I, α) |= ϕ :⇐⇒ ϕ 0 = true,• falls ϕ eine atomare Formel mit Prädikat p und Argumentliste t 1 . . . t n ist:(I, α) |= ϕ :⇐⇒ ( (I, α)[t 1 ], . . . , (I, α)[t n ] ) ∈ I [p],• falls ϕ eine negierte Formel mit Teilformel ϕ 0 ist:(I, α) |= ϕ :⇐⇒ (I, α) ̸|= ϕ 0 ,• falls ϕ eine zusammengesetzte Formel mit Teilformeln ϕ 1 und ϕ 2 ist:ϕ 1 ϕ 2 ϕ 1 ∧ ϕ 2 ϕ 1 ∨ ϕ 2 ϕ 1 → ϕ 2 ϕ 1 ← ϕ 2 ϕ 1 ↔ ϕ 2— — — — • • •— • — • • — —• — — • — • —• • • • • • •( ”•“ bedeute, daß die angegebene Formel in I unter α gilt).Eine Σ-Formel ϕ gilt in I (I |= ϕ) genau dann, wenn (I, α) |= ϕ für alle Variablenbelegungenα zu der Variablendeklaration von ϕ.Definition 2.1.15 (Modellbeziehung, abgeleitete Begriffe):• I ist Modell einer Formelmenge Φ (I |= Φ) genau dann, wenn I |= ϕ für alle ϕ ∈ Φ.• Mit Mod(Φ) werde die Menge der Herbrand-Modelle von Φ bezeichnet.• Umgekehrt sei für eine Menge I von Herbrand-Interpretationen Th(I) die Mengeder variablenfreien Σ-Formeln Φ mit I |= Φ für alle I ∈ I.• Ist Σ endlich, so sei th(I) eine variablenfreie Σ-Formel ϕ mit Mod(ϕ) = I.• Eine variablenfreie Formel ψ folgt logisch aus einer Formelmenge Φ (Φ ⊢ ψ) genaudann, wenn I |= ψ für jedes Herbrand-Modell I von Φ.• Zwei Formeln oder Formelmengen Φ 1 und Φ 2 sind logisch äquivalent (Φ 1∼ = Φ2 )genau dann, wenn I |= Φ 1 ⇐⇒ I |= Φ 2 für alle Herbrand-Interpretationen I.• Eine Formelmenge Φ heißt konsistent genau dann, wenn Mod(Φ) ≠ ∅.Die syntaktische Entsprechung zu Variablenbelegungen sind Substitutionen:

20 KAPITEL 2. DEDUKTIVE DATENBANKENDefinition 2.1.16 (Substitution): Eine Σ-(Grund-)Substitution zu einer VariablendeklarationΞ: X → S ist eine Abbildung θ: X → C mit γ ( θ(X) ) = Ξ(X) für alle X ∈ X .Bei den hier betrachteten Herbrand-Interpretationen besteht zwischen Variablenbelegungenund Substitutionen eigentlich gar kein Unterschied. Allerdings werden Variablenbelegungenbei der Modellbeziehung berücksichtigt, während Substitutionen auf Formelnangewendet werden:Definition 2.1.17 (Anwendung einer Substitution): Sei ϕ eine (Σ, Ξ)-Formel und θeine Σ-Substitution zu Ξ. Dann ist das Ergebnis der Anwendung von θ auf ϕ, geschriebenϕθ definiert als:• Ist ϕ eine logische Konstante, so sei ϕθ := ϕ.• Ist ϕ eine atomare Formel mit Prädikat p und Argumentliste t 1 , . . . , t n , so sei ϕθ dieatomare Formel mit Prädikat p und Argumentliste t ′ 1, . . . , t ′ n, wobei{t ′ θ(Xi ) falls ti :=i eine Variable X i istsonst.t i• Ist ϕ eine negierte Formel mit Teilformel ϕ 0 , so sei ϕθ die negierte Formel mitTeilformel ϕ 0 θ.• Ist ϕ eine zusammengesetzte Formel mit Junktor ∗ und Teilformeln ϕ 1 und ϕ 2 , sosei ϕθ die zusammengesetzte Formel mit Junktor ∗ und Teilformeln ϕ 1 θ und ϕ 2 θ.Man kann nun zeigen, daß zwischen Variablenbelegungen und Substitutionen auch semantischkein wesentlicher Unterschied besteht, denn es gilt(I, α) |= ϕ ⇐⇒ I |= ϕθ,wenn α und θ dieselbe Abbildung sind.Bereichsbeschränkte FormelnEs ist aus verschiedenen Gründen nützlich, nur bereichsbeschränkte Formeln zuzulassen.So braucht man nur endliche Modelle zu betrachten, die Menge der korrekten Antwortenist immer endlich und unabhängig von der Signatur, und die Terminierung der Anfragebearbeitungkann sichergestellt werden.Technisch gesehen garantiert die Bereichsbeschränkung gerade, daß die oben angegebeneStandard-Erweiterung eines Herbrandmodells auf eine größere Signatur ein Modellbleibt.Die folgende Definition ist relativ aufwendig, weil sie auf beliebige quantorenfreie Formelnanwendbar sein muß. Im Fall von Prolog-Klauseln mit positiv bindenden Prädikatenist sie aber äquivalent zu der klassischen Definition, daß jede Variable in einem positivenRumpf-Literal vorkommt (s.u.).

2.1. DIE VERWENDETE LOGIK 21Definition 2.1.18 (Gebundene und ungebundene Variablen): Die Menge der ineiner Formel ϕ gebundenen Variablen, B + (ϕ)/B − (ϕ), und die Menge der in ϕ ungebundenenVariablen, U + (ϕ)/U − (ϕ), werden wie folgt definiert:• Ist ϕ eine logische Konstante, so sei:B + (ϕ) := ∅, B − (ϕ) := ∅, U + (ϕ) := ∅, U − (ϕ) := ∅.• Ist ϕ eine atomare Formel mit Prädikat p und Argumentliste t 1 . . . t n :{ { X falls β(p) = −X falls β(p) = +B + (ϕ) :=B − (ϕ) :=∅ sonst∅ sonst{ { ∅ falls β(p) = −∅ falls β(p) = +U + (ϕ) :=U − (ϕ) :=X sonstX sonstdabei sei X := {X i | t i ist eine Variable X i }.• Ist ϕ eine negierte Formel mit Teilformel ϕ 0 :B + (ϕ) := B − (ϕ 0 ), B − (ϕ) := B + (ϕ 0 ),U + (ϕ) := U − (ϕ 0 ), U − (ϕ) := U + (ϕ 0 ).• Ist ϕ eine zusammengesetzte Formel mit Junktor ∗ und Teilformeln ϕ 1 und ϕ 2 :∗ B + (ϕ)/B − (ϕ) U + (ϕ)/U − (ϕ)∧ B + (ϕ 1 ) ∩ B + (ϕ 2 ) U + (ϕ 1 ) ∪ U + (ϕ 2 )B − (ϕ 1 ) ∪ B − (ϕ 2 ) ( U − (ϕ 1 ) ∪ U − (ϕ 2 ) ) − ( B − (ϕ 1 ) ∪ B − (ϕ 2 ) )∨ B + (ϕ 1 ) ∪ B + (ϕ 2 ) ( U + (ϕ 1 ) ∪ U + (ϕ 2 ) ) − ( B + (ϕ 1 ) ∪ B + (ϕ 2 ) )B − (ϕ 1 ) ∩ B − (ϕ 2 ) U − (ϕ 1 ) ∪ U − (ϕ 2 )→ B − (ϕ 1 ) ∪ B + (ϕ 2 ) ( U − (ϕ 1 ) ∪ U + (ϕ 2 ) ) − ( B − (ϕ 1 ) ∪ B + (ϕ 2 ) )B + (ϕ 1 ) ∩ B − (ϕ 2 ) U + (ϕ 1 ) ∪ U − (ϕ 2 )← B + (ϕ 1 ) ∪ B − (ϕ 2 ) ( U + (ϕ 1 ) ∪ U − (ϕ 2 ) ) − ( B + (ϕ 1 ) ∪ B − (ϕ 2 ) )B − (ϕ 1 ) ∩ B + (ϕ 2 ) U − (ϕ 1 ) ∪ U + (ϕ 2 )Der Ausdruck für ”↔“ ergibt sich aus ϕ 1 ↔ ϕ 2∼ = (ϕ1 → ϕ 2 ) ∧ (ϕ 1 ← ϕ 2 ).Definition 2.1.19 (Bereichsbeschränkte Formel): Eine Formel ϕ heißt bereichsbeschränktgenau dann, wenn U + (ϕ) = ∅ ist. Die Menge der bereichsbeschränkten Σ-Formeln werde mit L + Σ bezeichnet.Eine Formel ϕ heißt stark bereichsbeschränkt bzw. negativ stark bereichsbeschränktgenau dann, wenn X ∈ B + (ϕ) bzw. X ∈ B − (ϕ) für jede in ϕ vorkommende Variable X.Der Unterschied zwischen bereichsbeschränkten und stark bereichsbeschränkten Formelntritt im klassischen Fall (Klauseln) nicht auf. Ein Beispiel ist etwa die Formelϕ := ( p 1 (X) ← p 2 (X) ) ∧ ( q 1 (Y ) ← q 2 (Y ) )(alle Prädikate seien positiv bindend). Diese Formel ist bereichsbeschränkt (U + (ϕ) = ∅),aber nicht stark bereichsbeschränkt (B + (ϕ) = ∅).

22 KAPITEL 2. DEDUKTIVE DATENBANKENIm wesentlichen garantieren bereichsbeschränkte Formeln, daß aus Modellen bei derStandard-Erweiterung wieder Modelle werden, während stark bereichsbeschränkte Formelnfür die neuen Konstanten auf jeden Fall gelten:Lemma 2.1.20: Seien Σ ⊆ Σ ′ , I eine Σ-Herbrandinterpretation und I ′ eine Standard-Erweiterung von I auf Σ ′ . Dann gilt für alle Σ-Formeln ϕ und I ′ -Variablenbelegungen α ′ :• Gibt es X ∈ B + (ϕ) mit α ′ (X) ∈ C ′ − C, so gilt (I ′ , α ′ ) |= ϕ.• Gibt es X ∈ B − (ϕ) mit α ′ (X) ∈ C ′ − C, so gilt (I ′ , α ′ ) ̸|= ϕ.Beweis: Der Beweis erfolgt durch Induktion über dem Aufbau von ϕ. Es wird jeweils nur derBeweis für den ersten Teil ausgeführt, der zweite Teil kann analog bewiesen werden.• Für logische Konstanten ist B + (ϕ) leer, die Voraussetzung der Behauptung ist also immerfalsch.• Für atomare Formeln ist B + (ϕ) nur dann nicht leer, wenn es sich um ein negativ bindendesPrädikat handelt. Dann stellt die Konstruktion von I ′ sicher, daß (I ′ , α ′ ) |= ϕ gilt.• Für negierte Formeln folgt die Behauptung direkt aus der Induktionsannahme.• Sei ϕ eine zusammengesetzte Formel mit Junktor ∧ und Teilformeln ϕ 1 und ϕ 2 . Gelte nunα ′ (X) ∉ C für ein X ∈ B + (ϕ). Wegen B + (ϕ) = B + (ϕ 1 ) ∩ B + (ϕ 2 ) ist X also in beidenMengen enthalten, und die Induktionsannahme liefert (I ′ , α ′ ) |= ϕ 1 und (I ′ , α ′ ) |= ϕ 2 .Daraus folgt die Behauptung (I ′ , α ′ ) |= ϕ.• Sei ϕ eine zusammengesetzte Formel mit Junktor ∨ und Teilformeln ϕ 1 und ϕ 2 und gelteα ′ (X) ∉ C ′ − C für ein X ∈ B + (ϕ). Da B + (ϕ) = B + (ϕ 1 ) ∪ B + (ϕ 2 ), ist X in einer derbeiden Mengen enthalten; gelte etwa X ∈ B + (ϕ 1 ). Dann liefert die Induktionsannahme(I ′ , α ′ ) |= ϕ 1 . Daraus folgt natürlich sofort (I ′ , α ′ ) |= ϕ.• Der Beweis für die anderen Junktoren verläuft analog.Lemma 2.1.21: Seien Σ ⊆ Σ ′ , I eine Σ-Herbrandinterpretation und I ′ eine Standard-Erweiterung von I auf Σ ′ . Dann gilt für alle Σ-Formeln ϕ und alle Variablenbelegungen αzu I und α ′ zu I ′ :• Gilt für alle X mit α ′ (X) ≠ α(X), daß X ∉ U + (ϕ) und α ′ (X) ∈ C ′ − C, dann gilt:(I, α) |= ϕ =⇒ (I ′ , α ′ ) |= ϕ.• Gilt für alle X mit α ′ (X) ≠ α(X), daß X ∉ U − (ϕ) und α ′ (X) ∈ C ′ − C, dann gilt:(I, α) ̸|= ϕ =⇒ (I ′ , α ′ ) ̸|= ϕ.Beweis: Die Behauptung wird mit Induktion über den Aufbau von ϕ bewiesen. Es wird jeweilsnur der Beweis der ersten Aussage ausgeführt, die zweite kann analog bewiesen werden.• Für logische Konstanten gilt die Behauptung trivialerweise.• Sei ϕ nun eine atomare Formel. Gilt α ′ (X) = α(X) für alle vorkommenden Variablen, sofolgt (I, α) |= ϕ ⇐⇒ (I ′ , α ′ ) |= ϕ.Andernfalls gibt es also eine in ϕ vorkommende Variable X mit α ′ (X) = α(X), unddaher X ∉ U + (ϕ). Für atomare Formeln impliziert das X ∈ B + (ϕ), die Folgerung(I ′ , α ′ ) |= ϕ gilt also nach Lemma 2.1.20.✷

2.1. DIE VERWENDETE LOGIK 23• Ist ϕ eine negierte Formel mit Teilformel ϕ 0 , so gilt(I, α) |= ϕ ⇐⇒ (I, α) ̸|= ϕ 0 =⇒ (I ′ , α ′ ) ̸|= ϕ 0 ⇐⇒ (I ′ , α ′ ) |= ϕ,wobei im mittleren Schritt gerade die Induktionsannahme verwendet wurde (es ist jaU − (ϕ 0 ) = U + (ϕ)).• Sei ϕ eine zusammengesetzte Formel mit Junktor ∧ und Teilformeln ϕ 1 und ϕ 2 . NachVoraussetzung gelten beide Teilformeln in (I, α). Ist X ∉ U + (ϕ), so ist wegenU + (ϕ) = U + (ϕ 1 ) ∪ U + (ϕ 2 )natürlich X ∉ U + (ϕ 1 ) und X ∉ U + (ϕ 2 ). Die Induktionsannahme kann dann ganz direktverwendet werden.• Sei ϕ nun eine zusammengesetzte Formel mit Junktor ∨ und Teilformeln ϕ 1 und ϕ 2 . NachVorausetzung gilt eine der beiden Teilformeln in (I, α), etwa ϕ 1 . Für alle Variablen Xmit α ′ (X) ≠ α(X) gilt nach Voraussetzung α ′ (X) ∈ C ′ − C und X ∉ U + (ϕ). Gilt auchX ∉ U + (ϕ 1 ) für alle solchen X, so kann man direkt die Induktionsannahme anwenden.Falls dies aber nicht gilt, so folgt X ∈ ( B + (ϕ 1 ) ∪ B + (ϕ 2 ) ) (nach der Definition von U + ).Nun liefert aber Lemma 2.1.20, daß die betreffende Teilformel in (I ′ , α ′ ) gilt, und damitnatürlich auch die Disjunktion.• Der Beweis für die übrigen Junktoren verläuft analog.Satz 2.1.22: Seien Σ ⊆ Σ ′ , Φ eine Menge von bereichsbeschränkten Σ-Formeln, I einΣ-Herbrandmodell von Φ und I ′ eine Standard-Erweiterung von I auf Σ ′ . Dann ist I ′ einModell von Φ.Beweis: Zu zeigen ist (I ′ , α ′ ) |= ϕ für alle ϕ ∈ Φ und alle Variablenbelegungen α ′ zu I ′ . Sei αeine Variablenbelegung zu I mit α(X) = α ′ (X) für alle X mit α ′ (X) ∈ C. Nach Voraussetzunggilt (I, α) |= ϕ und U + (ϕ) = ∅, daher liefert die erste Aussage von Lemma 2.1.21 die Behauptung(I ′ , α ′ ) |= ϕ. ✷Korollar 2.1.23: Sei Φ eine konsistente Menge bereichsbeschränkter Formeln und ψeine negativ stark bereichsbeschränkte Formel. Gilt Φ ⊢ ψ, so ist ψ variablenfrei.Beweis: Angenommen, ψ enthält eine freie Variable X. Dann ist nach VoraussetzungX ∈ B − (ψ). Als konsistente Menge quantorenfreier Formeln hat Φ ein Σ-Herbrandmodell I.Entstehe nun Σ ′ aus Σ durch Hinzufügen einer Konstante c. Nach Satz 2.1.22 ist die Standard-Erweiterung I ′ von I auf Σ ′ Modell von Φ. Sei α ′ nun eine beliebige Variablenblegung mitα ′ (X) := c. Dann gilt nach Lemma 2.1.20: (I ′ , α ′ ) ̸|= ψ. Vergißt“ man nun die Interpretation”von c, so hat man ein Σ-Modell von Φ (kein Herbrandmodell), das nicht Modell von ψ ist, undes folgt Φ ⊬ ψ.✷Natürlich ist der hier eingeführte Begriff von ”bereichsbeschränkter Formel“ nicht dieeinzige Möglichkeit, und in mancher Hinsicht ist er noch recht einschränkend. Verbesserungenhinsichtlich der Praxisnähe würden aber wohl zu noch komplizierteren Definitionenführen. In dieser Arbeit werden daher im folgenden nur einige Beispiele aufgelistet, diepraktische Systeme behandeln können sollten.✷

24 KAPITEL 2. DEDUKTIVE DATENBANKENEin erstes Beispiel ist die Regelequal(X, Y ) ← X = Y.Hiermit soll equal als Synonym für ”=“ eingeführt werden (dazu ist natürlich noch derDefault ¬equal(X, Y ) erforderlich). Natürlich muß equal dann auch als nicht-bindendesPrädikat deklariert werden. Trotzdem ist diese Klausel nicht bereichsbeschränkt, dennnach der Definition muß jede Variable gebunden sein. Man könnte auf die Idee kommen,nur zu verlangen, daß Variablen gebunden werden müssen, die in Literalen mit bindendemPrädikat vorkommen. Dies ist aber nicht mehr hinreichend für die Signatur-Unabhängigkeit,wie in Beispiel 2.3.3 gezeigt wird.Auch die folgende Regel zur Berechnung des Briefportos in Abhängigkeit vom Gewichtist nicht bereichsbeschränkt (X ist nicht gebunden):porto(X, 100) ← X < 20.Dabei wäre die Verwendung als ”Makro“ im Kontext einer bereichsbeschränkten Regeloder Anfrage problemlos.Zur Fortpflanzung von Variablenbindungen lassen sich Gleichungen wie Y = X leichtausnutzen (siehe [Ull88]). Schwieriger wird es bei Regeln, die neue Werte bzw. Konstantengenerieren:plusMwSt(X, Y ) ← Y = X ∗ 1.14.Dies sollte natürlich zulässig sein, denn entsprechende Anfragen oder Sichten sind inrelationalen Datenbanken auch möglich. Andererseits muß man verhindern, daß solcheRegeln rekursiv verwendet werden, denn sonst bekommt man sofort wieder unendlicheBereiche.Sind bei Prädikaten wie = ∗ zwei der Argumente schon gebunden, bindet diesesPrädikat das dritte Argument. Die einfache Dreiteilung in positiv, negativ oder überhauptnicht bindend reicht hier also nicht mehr aus. Eventuell könnte eine Verallgemeinerungdes Ansatzes aus [KRS88] helfen.KlausellogikFür automatische Beweiser ist nützlich, Formeln in eine einfache Normalform zu bringen.Bewährt hat sich hier besonders die Darstellung einer Formel als Menge von Klauseln:Definition 2.1.24 (Literal): Ein (Σ, Ξ)-Literal besteht aus einer atomaren Formel undeinem Vorzeichen (positives oder negatives Literal).Mit ∼ ϕ wird das Literal umgekehrten Vorzeichens zu ϕ bezeichnet.Ein Grundliteral ist ein Literal, das keine Variablen enthält.Wird die zugehörige atomare Formel ϕ als ϕ ′ repräsentiert, so wird das positive Literalebenfalls als ϕ ′ aufgeschrieben, das negative aber als ¬ϕ ′ .

2.1. DIE VERWENDETE LOGIK 25Definition 2.1.25 (Klausel): Eine Σ-Klausel besteht aus einer Variablendeklaration Ξund einer endlichen Menge von (Σ, Ξ)-Literalen.Die leere Klausel werde mit ✷ bezeichnet.Klauseln mit den Literalen ϕ 1 , . . . , ϕ n werden meist in folgender Form notiert:ϕ ′ 1 ∨ · · · ∨ ϕ ′ m ← ϕ ′ m+1 ∧ · · · ∧ ϕ ′ n,dabei sei ϕ ′ i die Repräsentation von ϕ i (1 ≤ i ≤ m) bzw. ∼ ϕ i (m + 1 ≤ i ≤ n).Hieran sieht man schon die Entsprechung zwischen Klauseln und Disjunktionen. BeliebigeFormeln können daher in eine Konjunktion oder Menge von Klauseln umgerechnetwerden:Definition 2.1.26 (Umrechnung von Formeln in Klauselmengen): Die KlauselmengeCl + (ϕ) zu einer (Σ, Ξ)-Formel ϕ und die Klauselmenge Cl − (ϕ) zu ¬ϕ werdenrekursiv entsprechend dem Aufbau von Φ definiert:• Ist ϕ die logische Konstante true, so sei Cl + (ϕ) := ∅, Cl − (ϕ) := {✷}.logische Konstante false sei Cl + (ϕ) := {✷} und Cl − (ϕ) := ∅.Für die• Ist ϕ eine atomare Formel, so bestehe Cl + (ϕ) aus der Klausel mit dem ϕ entsprechendenpositiven Literal und Cl − (ϕ) aus der Klausel mit dem negativen Literal.• Ist ϕ eine negierte Formel mit Teilformel ϕ 0 , so seiCl + (ϕ) := Cl − (ϕ 0 ), Cl − (ϕ) := Cl + (ϕ 0 ).• Ist ϕ eine zusammengesetzte Formel mit Junktor ∗ und Teilformeln ϕ 1 und ϕ 2 :∗ Cl + (ϕ) Cl − (ϕ)∧ Cl + (ϕ 1 ) ∪ Cl + (ϕ 2 ) Cl − (ϕ 1 ) ◦ Cl − (ϕ 2 )∨ Cl + (ϕ 1 ) ◦ Cl + (ϕ 2 ) Cl − (ϕ 1 ) ∪ Cl − (ϕ 2 )→ Cl − (ϕ 1 ) ◦ Cl + (ϕ 2 ) Cl + (ϕ 1 ) ∪ Cl − (ϕ 2 )← Cl + (ϕ 1 ) ◦ Cl − (ϕ 2 ) Cl − (ϕ 1 ) ∪ Cl + (ϕ 2 )(↔ Cl + (ϕ 1 ) ◦ Cl − (ϕ 2 ) Cl − (ϕ 1 ) ∪ Cl + (ϕ 2 ) )∪ Cl − (ϕ 1 ) ◦ Cl + (ϕ 2 ) ◦ ( Cl + (ϕ 1 ) ∪ Cl − (ϕ 2 ) )Dabei sei für zwei Klauselmengen Φ 1 und Φ 2 :Φ 1 ◦ Φ 2 := { (Ξ, ϕ 1 ∪ ϕ 2 ) ∣ ∣ (Ξ, ϕ 1 ) ∈ Φ 1 , (Ξ, ϕ 2 ) ∈ Φ 2}.Definition 2.1.27 (Modell-Beziehung für Klauseln): Eine Klausel mit VariablendeklarationΞ und Literalen {ϕ 1 , . . . , ϕ n } gilt in (I, α) genau dann, wenn es ϕ i gibt mit:• ϕ i ist ein positives Literal mit atomarer Formel ϕ ′ i und es gilt (I, α) |= ϕ ′ i.• ϕ i ist ein negatives Literal mit atomarer Formel ϕ ′ i und es gilt (I, α) ̸|= ϕ ′ i.Sie gilt in I genau dann, wenn sie für jede Variablenbelegung α zu Ξ in (I, α) gilt.Man kann nun zeigen, daß die Umrechnung zwischen Formeln und Klauseln verträglichmit der Modell-Beziehung ist, d.h. I |= ϕ ⇐⇒ I |= Cl + (ϕ).

26 KAPITEL 2. DEDUKTIVE DATENBANKENDefinition 2.1.28 (Bereichsbeschränkte Klausel): Eine Klausel heißt bereichsbeschränktgenau dann, wenn jede vorkommende Variable auch in einem negativen Literalmit positiv bindendem Prädikat vorkommt oder in einem positiven Literal mit negativbindendem Prädikat.Auch hier kann man eine Verträglichkeit mit der Umrechnung von Formeln in Klauselmengenzeigen, d.h. eine bereichsbeschränkte Formel liefert eine Menge bereichsbeschränkterKlauseln.2.2 Intendierte ModelleDas Ziel einer jeden Datenbank ist natürlich, Anfragen zu beantworten. Dazu muß dieDatenbank über ein mathematisches Modell des Bereichs verfügen, aus dem die Anfragenstammen können. In dem hier verfolgten Ansatz ist das eine Menge von Interpretationen,die den möglichen Situationen des zu modellierenden Ausschnitts der realen Welt entsprechen.Falls die zur Verfügung stehende Information vollständig ist, wird das bis aufIsomorphie nur eine Interpretation sein; sind dagegen gewisse Fakten unbekannt, kann dieDatenbank auch mehrere verschiedene Modelle enthalten.Die Struktur solcher Modelle wird beim Datenbankentwurf über eine Signatur Σ bestimmt;der Inhalt wird mit Axiomen und Defaults festgelegt, wobei die Semantik derDefaults eine Vervollständigung ist. Schließlich gibt es noch Integritätsbedingungen, diedazu dienen, Fehler in den Axiomen und Defaults zu erkennen.Eine deduktive Datenbank besteht also aus den vier Komponenten Signatur, Axiome,Vervollständigung (gegeben durch die Defaults) und Integritätsbedingungen. Diese legenzusammen die Menge der intendierten Modelle fest, die ein möglichst getreues Abbild derrealen Welt ist und als Grundlage für die Anfragebearbeitung dient.AxiomeDie Fakten und Regeln einer deduktiven Datenbank werden hier als Axiome bezeichnet,um sie von den Defaults abzusetzen (und um den Begriff Datenbankzustand“ zu vermeiden,s.o.). Sie müssen von den intendierten Modellen auf jeden Fall vollständig erfüllt”werden, während Defaults nur partiell, soweit wie möglich erfüllt werden.Es ist allerdings teilweise eine Stilfrage, was man als Default und was als Axiomnotiert. Im Extremfall könnte man alle angenommenen Defaults als Axiom angeben(sofern diese Menge nicht unendlich ist). Dies wäre natürlich sehr unbequem, zeigt aber,daß es nicht angemessen ist, Axiome als den gesicherten“ Anteil des abzuspeichernden”Wissens anzusehen, und Defaults nur für unsichere Informationen zu verwenden.Andererseits könnte man auch ganz ohne Axiome auskommen, und die Axiome alsDefaults (höchster Priorität) formulieren. Dies schlägt etwa Brewka in seinen Preferred ”Subtheories“ [Bre91] vor. Der Unterschied ist, daß eine Menge von Defaults im Gegensatz

2.2. INTENDIERTE MODELLE 27zu einer Menge von Axiomen durchaus inkonsistent sein kann; es werden dann eben nichtalle Defaults angenommen. Die Inkonsistenz einer Menge von Axiomen kann also dazudienen, Fehler zu erkennen. So können einige der klassischen Integritätsbedingungendurchaus als Axiom formuliert werden (s.u.).Es gibt aber noch andere Gründe für die Trennung in Axiome und Defaults: Einerseitswird die Berechnung korrekter Antworten vereinfacht, wenn Axiome ohne zusätzlichenTest angenommen werden können. Andererseits bestehen die typischen Änderungsoperationenim Einfügen und Löschen von Fakten, während die Defaults meist stabil sind.Vor diesem Hintergrund scheint die Zweiteilung in die vorgegebenen Fakten und die sichanpassenden Defaults sinnvoll.Zusammenfassend kann also gesagt werden, daß die Einteilung in Axiome und DefaultsGegenstand des Datenbankentwurfs ist (neben vielen anderen Fragen). Eine Faustregelist vielleicht, alles was sich einfach als Axiom formulieren läßt, auch als Axiom zuspezifizieren.Definition 2.2.1 (Axiomenmenge): Die Axiomenmenge Φ einer deduktiven Datenbankmit Signatur Σ ist eine endliche und konsistente Menge von bereichsbeschränktenΣ-Formeln.DefaultsDefaults haben syntaktisch dieselbe Struktur wie Axiome — es sind Formeln. Nur dieSemantik ist anders, sie müssen nicht unbedingt vollständig erfüllt werden, sondern nur,soweit es die Axiome und die anderen Defaults zulassen.Es ist natürlich eine wichtige Entscheidung, nur Defaults dieser Art zu betrachten.Die möglichen Alternativen sind zahlreich:Auf der einen Seite sind viele Ansätze stärker eingeschränkt, indem sie nur Negationenmit diversen Zusatzangaben betrachten. Diese Ansätze sind nahezu alle Spezialfälleder hier betrachteten Defaults, wie in Kapitel 3 näher erläutert wird. Die Vielzahl derverschiedenen Vervollständigungen dieser Art legt es natürlich nahe, nach einer gemeinsamenVerallgemeinerung zu suchen, so daß die einzelne Vervollständigung durch einenParameter spezifiziert werden kann. Das ist mit dem hier verfolgten Ansatz möglich.Auf der anderen Seite gibt es eine ganze Reihe von Vorschlägen für allgemeinereDefaults. So bestehen etwa Reiter’s Defaults [Rei80] aus drei Komponenten: Der Vorbedingungfür die Annahme des Defaults, der konsistent annehmbaren Rechtfertigung,und der Folgerung, die dann tatsächlich angenommen wird. Die hier betrachteten Defaultsentsprechen den ”supernormalen“ Defaults von Reiter, bei denen Rechtfertigungund Folgerung übereinstimmen, und die Vorbedingung leer (true) ist. Die größere Ausdrucksfähigkeithat aber einige unerwünschte Konsequenzen: So kann es etwa passieren,daß die Defaults zu Inkonsistenzen führen, oder Anomalien bei Einfügungen und Löschungenauftreten (Verletzung grundlegender Eigenschaften aus Kapitel 4). Es scheint auchso, als wäre dies kein Mangel in Reiter’s Semantik der Defaults, sondern ein inhärentes

28 KAPITEL 2. DEDUKTIVE DATENBANKENProblem der großen Ausdrucksfähigkeit. Eine gegensätzliche Meinung wird in [Bre91] vertreten;dort wird aber zur Lösung dieses Problems die zugrundeliegende Logik geändert.Ein anderer momentan viel beachteter Vorschlag, allgemeinere Default-Aussagen zuermöglichen, ist Moore’s autoepistemische Logik [Moo85]. Die hier betrachteten Defaultswürden in dieser Logik formuliert als ”wenn ich nicht weiß, daß der Default nichtgilt, dann gilt er“. Wie Konolige gezeigt hat [Kon88], ist diese Logik aber im wesentlichenäquivalent zu Reiter’s Default Logik (man kann die Formeln in autoepistemischerLogik in eine Normalform überführen, die Reiter’s Defaults entspricht). Daher ist esnicht überraschend, daß die autoepistemische Logik dieselben Probleme wie die Default-Logik hat.Man muß sich aber fragen, ob man die größere Ausdrucksfähigkeit überhaupt braucht,oder ob die zusätzlichen Probleme den Nutzen nicht überwiegen. Wie in Kapitel 3 belegtwird, kann man zumindest sehr viele Beispiele für die Anwendung von Defaults auch mitden hier betrachteten einfachen Defaults formulieren.Im Gegensatz dazu scheint die zusätzliche Ausdrucksfähigkeit gegenüber Systemen,die nur Negationen als Defaults zulassen, keine prinzipiellen Schwierigkeiten mit sich zubringen.Definition 2.2.2 (Defaults): Eine Menge von Defaults ∆ einer deduktiven Datenbankmit Signatur Σ ist eine endliche Menge von stark bereichsbeschränkten Σ-Formeln.Dabei darf es nicht δ 1 , δ 2 ∈ ∆, δ 1 ≠ δ 2 und Substitutionen θ 1 , θ 2 geben, so daßδ 1 θ 1 = δ 2 θ 2 (s.u.).Von großem praktischen Nutzen ist schließlich noch die Einführung von Prioritäten zwischenden Defaults. Defaults sind ja im wesentlichen Regeln mit Ausnahmen, und eskommt nun durchaus vor, daß man zu den Ausnahmen nochmals Ausnahmen spezifizierenmuß (das ist ja das Grundprinzip von Vererbungs-Hierarchien).Wenn ein Default einem Axiom widerspricht, setzt sich natürlich das Axiom durch.Aber was ist, wenn sich zwei Defaults wiedersprechen? Hier hat man die Gelegenheit, überPrioritäten zu spezifizieren, welcher Default angenommen und welcher verworfen werdensoll. Falls keine Prioritäten spezifiziert sind, spielt die genaue Semantik der Defaults (derVervollständigungsmechanismus) eine Rolle. Manche Vervollständigungen nehmen dannkeinen von beiden Defaults an, manche ihre Disjunktion.Die Prioritäten zwischen den Defaults können als partielle Ordnung ❁ spezifiziertwerden; dabei bedeute δ 1 ❁ δ 2 , daß δ 1 die höhere Priorität hat. Diese Richtung der Ordnungverlangt wohl noch einen Kommentar, da sie der Intuition zunächst zu widersprechenscheint. Aber sie stimmt mit der Subtypen/klassen-Beziehung in objekt-orientiertenAnsätzen überein (der wichtigsten Anwendung für partiell geordnete Defaults): Hier überschreibendie Regeln für Subsorten ja die ererbten Regeln.Häufig ist aber keine allgemeine partielle Ordnung nötig, sondern es reicht, die Defaultsin Prioritätsstufen einzuteilen, d.h. jedem Default δ eine natürliche Zahl l(δ) zuzuordnen.Auch hier sollen die kleineren Zahlwerte eine höhere Priorität bedeuten. Da-

2.2. INTENDIERTE MODELLE 29durch kann man die Stratifizierungsstufen einer stratifizierten Klauselmenge direkt alsPrioritätsstufen verwenden (siehe Beispiel 3.1.3 und die anschließende Diskussion).Definition 2.2.3 (Prioritäten):• Eine Prioritätsrelation ❁ auf ∆ ist eine beliebige (strikte) partielle Ordnung (transitivund irreflexiv).• Eine Stufeneinteilung von ∆ ist eine Abbildung l: ∆ → IN.• Die durch eine Stufeneinteilung l gegebene Prioritätsrelation ❁ istδ 1 ❁ δ 2 :⇐⇒ l(δ 1 ) < l(δ 2 ).In dieser Arbeit wird davon ausgegangen, daß Defaults höherer Priorität grundsätzlichVorrang vor beliebig vielen Defaults niedrigerer Priorität haben. Dies muß nicht unbedingtso sein, man könnte auch eher numerische Ansätze wählen.Default-AusprägungenBekanntlich können Defaults nicht immer vollständig erfüllt werden, der Default ¬p(X)etwa nicht für alle X, sondern nur für einige. Zum Verständnis von Default-Semantiken istdaher der Begriff der Default-Ausprägungen ( instances“) nützlich. Bei ¬p(X) könnten”die Ausprägungen etwa ¬p(c 1 ), ¬p(c 2 ), . . . sein. Diese Ausprägungen sind dann dieEinheiten für die Entscheidung, welche Teile einer Default-Regel“ aus ∆ angenommen”werden und welche nicht.Gewissermaßen legt der Ausprägungs-Mechanismus also die Granularität der Default-Regeln fest. Im Extremfall wäre p(X) selbst die einzige Ausprägung von p(X), dannkönnte der Default nur als Ganzes angenommen werden. Außer dieser Möglichkeit undder Ersetzung der Variablen durch Konstanten gibt es aber noch weitere. So könnteman etwa Disjunktionen der Ausprägungen zulassen. Auch die natural consequences“”von [Rya91] lassen sich als Ausprägungsmechanismus mit einer besonders feinen Granularitätverstehen.Ausprägungsmechanismen müssen nicht notwendigerweise syntaktisch sein, man kannauch Paare aus Formel und Variablenbelegung als Ausprägung verwenden [BL91]. Diesist besonders dann wünschenswert, wenn man die Annahme der eindeutigen Namen nichtverwendet oder keine Bereichsbeschränkung der Formeln voraussetzen kann.In dieser Arbeit wird allerdings nur der Ausprägungsmechanismus betrachtet, der dieVariablen durch Konstanten ersetzt. Tatsächlich würden aber die Definitionen und fastalle Resultate auch mit einem beliebigen anderen Ausprägungsmechanismus funktionieren,weil sie ohnehin nur auf die Menge der Default-Ausprägungen Bezug nehmen und nichtauf die Menge der Default-Regeln. In dieser Hinsicht kann man die Default-Regeln alsoals Abkürzung für die Menge ihrer Ausprägungen auffassen. Im folgenden wird das Wort” Default“ auch meist als synonym zu Default-Ausprägung“ verwendet. Die Antwortalgorithmenin Kapitel 6 funktionieren jedoch nur mit diesem Ausprägungsmechanismus,”denn sie müssen soweit wie möglich mit den Default-Regeln arbeiten.

30 KAPITEL 2. DEDUKTIVE DATENBANKENDefinition 2.2.4 (Default-Ausprägungen): Sei ∆ eine Menge von Defaults einerdeduktiven Datenbank mit Signatur Σ. Dann sei ∆ ∗ die Menge der variablenfreien Σ-Formeln, die aus Formeln aus ∆ entstehen, indem die Variablen durch Konstanten passenderSorte ersetzt werden.Die für die Default-Regeln spezifizierten Prioritäten werden auf die Ausprägungen vererbt.Dabei tritt noch das Problem auf, daß eine Default-Ausprägung zu mehreren Default-Regeln gehören kann, was eventuell die Eigenschaft der partiellen Ordnung zerstört. DerEinfachheit halber wurde dieser Fall hier ausgeschlossen (in Definition 2.2.2). Dies istkeine wesentliche Einschränkung, da man diese Bedingung etwa durch Anhängen von“∨false“ erreichen kann.Definition 2.2.5 (Prioritäten auf Default-Ausprägungen): Eine Prioritätsrelation❁ auf ∆ wird folgendermaßen auf ∆ ∗ erweitert: Sind δ1 ∗ und δ2 ∗ Ausprägungen von δ 1und δ 2 , so gelte δ1 ∗ ❁ δ2 ∗ ⇐⇒ δ 1 ❁ δ 2 .Man beachte, daß δ ∗ 1 und δ ∗ 2 nicht über dieselbe Substitution definiert sein müssen; dieVariablen werden also lokal zu den Defaults interpretiert. Es könnte allerdings nützlichsein, für bestimmte Variablen die gleiche Einsetzung auf beiden Seiten zu verlangen.Es ist auch nicht selbstverständlich, daß die Ausprägungen einer Default-Regel alledieselbe Priorität haben. So sollte die Rahmenregel bei zeitlichen Änderungen im Zweifelsfalleher für frühere Zustandsübergänge angenommen werden (siehe Kapitel 3).Modelltheoretische VervollständigungenDie Semantik einer Menge von Default-Regeln mit Prioritäten ist eine Vervollständigung.Die Abbildung von einer Default-Spezifikation auf eine bestimmte Vervollständigung istGegenstand späterer Kapitel (insbesondere Kapitel 5). In diesem Abschnitt soll nunzunächst der semantische Bereich aller Vervollständigungen untersucht werden.Was ist also eine Vervollständigung? Modelltheoretisch gesehen, beschreibt die Mengeder Axiome Φ eine Menge I von Σ-Interpretationen. Davon wählen die Defaults eineTeilmenge aus, die intendierten Modelle, die die Defaults am besten erfüllen.Wenn man die Semantik der Defaults unabhängig von den Axiomen beschreiben will,also die Axiome Φ als variabel ansieht, dann ist eine Vervollständigung eine Auswahlfunktionauf den Σ-Interpretationen: Die Eingabe sind die Modelle I von Φ, die Ausgabesind die intendierten Modelle:Eine modelltheoreti-Definition 2.2.6 (Modelltheoretische Vervollständigung):sche Vervollständigung ist eine Abbildung sel: 2 I Σ→ 2 I Σmit• sel(I) ⊆ I für alle I ⊆ I Σ ( kein Informationsverlust“).”

2.2. INTENDIERTE MODELLE 31Ein typisches Beispiel für eine modelltheoretische Vervollständigung ist die Auswahl vonminimalen Modellen bezüglich einer Präferenzrelation ≺ auf I Σ . Auch hier ist die Ordnungaus historischen Gründen ”verkehrt herum“: I 1 ≺ I 2 bedeutet, daß I 1 die Defaultsbesser als I 2 erfüllt. Die ≺-minimalen Elemente der Modellmenge I von Φ erfüllen dieDefaults dann also am besten (unter den durch Φ gegebenen Einschränkungen). DieseArt von Vervollständigungen wird noch ausführlich in Kapitel 5 untersucht.Solche Auswahlfunktionen sind natürlich besonders übersichtlich, wenn I Σ endlich ist,was hier durch die Beschränkung auf Herbrandinterpretationen und die Signatur aus dentatsächlich vorkommenden Symbolen erreicht wird (s.u.).Dann läßt sich jede Vervollständigung als eine Tabelle beschreiben, in der für jedeTeilmenge von I Σ die ausgewählten Modelle angegeben werden. Natürlich ist dies nur fürsehr kleine Signaturen Σ praktisch durchführbar, denn für eine Signatur mit n Aussagenvariablenhat I Σ schon 2 n Elemente (mögliche Interpretationen). Dann gibt es also 2 2nTeilmengen von I Σ , d.h. Eingaben I für sel (die nicht-äquivalenten Axiomenmengen Φentsprechen).Wenn die Signatur etwa zwei Aussagenvariablen p und q enthält, so gibt es vier Herbrandmodelle:[pq] (p und q sind wahr), [p¯q] (p wahr, q falsch), [¯pq] (umgekehrt) und [¯p¯q](beide falsch). In der tabellarischen Darstellung sind nun für jede der 16 Teilmengen Ijeweils die intendierten Modelle (sel(I)) mit • und die übrigen Modelle (I − sel(I))mit ◦ gekennzeichnet. Zur besseren Übersicht sind zusätzlich noch Formelmengen Φ mitMod(Φ) = I und comp(Φ) mit Mod ( comp(Φ) ) = sel(I) angegeben, diese sind natürlichnur bis auf Äquivalenz eindeutig.So könnte man die minimalen Modelle (siehe Kapitel 5) mit den Defaults ¬p und ¬qdurch folgende Tabelle beschreiben:Φ [pq] [p¯q] [¯pq] [¯p¯q] comp(Φ)falsefalse¬p, ¬q • ¬p, ¬q¬p, q • ¬p, q¬p ◦ • ¬p, ¬qp, ¬q • p, ¬q¬q ◦ • ¬p, ¬qp ↔ ¬q • • p ↔ ¬q¬p ∨ ¬q ◦ ◦ • ¬p, ¬qp, q • p, qp ↔ q ◦ • ¬p, ¬qq ◦ • ¬p, q¬p ∨ q ◦ ◦ • ¬p, ¬qp ◦ • p, ¬qp ∨ ¬q ◦ ◦ • ¬p, ¬qp ∨ q ◦ • • p ↔ ¬qtrue ◦ ◦ ◦ • ¬p, ¬q✓ ✏[pq]✒✁ ✁ ✑❆❆✓✁✏ ✓❆[¯pq] [p¯q]✒ ✑ ✒✁ ❆❆ ✁✓ ❆ ✁✏[¯p¯q]✒ ✑✏✑

32 KAPITEL 2. DEDUKTIVE DATENBANKENSo hat etwa Φ := {p} die beiden Herbrandmodelle [pq] und [p¯q]. Von diesen beidenModellen wird [p¯q] ausgewählt, während [pq] nicht intendiert ist; dies entspricht der Formelmengecomp(Φ) := {p, ¬q}.Man kann nun auch einfache Aufzählungsprogramme schreiben, die alle Vervollständigungenzu einer gegebenen (sehr kleinen) Signatur auf bestimmte Eigenschaften prüfen.Wenn man vorher mit vielen einzelnen Vervollständigungen gearbeitet hat, ist es schon begeisternd,plötzlich alle Vervollständigungen in diesem Sinn im Griff zu haben. Natürlichfunktioniert das nur bei ”Spielzeug-Signaturen“, aber wenn man sich für die Eigenschaftenvon Vervollständigungen und die Zusammenhänge dazwischen interessiert, ist das schoneine große Hilfe.Wie oben erläutert, legen die Vervollständigungen bei n-Aussagenvariablen 2 2n Funktionswertefest. Wie viele Vervollständigungen gibt es aber nun?Satz 2.2.7: Es gibt 2 2(2n +n−1)verschiedene modelltheoretische Vervollständigungen beieiner Signatur mit n Aussagenvariablen. Davon haben2 n ∏k=1(2 k − 1 ) ( 2n k )die Eigenschaft, daß sel(I) = ∅ nur für I = ∅ gilt (Konsistenzerhaltung).Beweis: Eine Vervollständigung legt zu jeder Teilmenge I der 2 n Interpretationen I Σ eineTeilmenge sel(I) ⊆ I fest. Es gibt ( )2 n k Teilmengen I von IΣ der Größe k. Ist so ein I derGröße k gegeben, so hat man 2 k Möglichkeiten, sel(I) auszuwählen. Damit ergibt sich:2 n ∏k=0(2k ) ( 2n k) =2 n ∏k=0∑2 n k∗(2 (k∗2n k ) 2n k )= 2 k=0 .Der Exponent kann nun vereinfacht werden zu:∑2 n ( ) 2n ∑2 n (k ∗ = k ∗ 2n 2 n )kk ∗ − 1= 2 n ∗k − 1k=0k=12∑n −1k ′ =0( 2 n )− 1k ′ = 2 n ∗ 2 2n−1 = 2 2n +n−1 .Die Behauptung über die Anzahl konsistenzerhaltender Vervollständigungen ergibt sich ganzdirekt aus demselben Ansatz, man hat bei k-elementigen I (k > 0) allerdings eine Möglichkeitweniger für sel(I).✷Diese Zahl ist natürlich auch für Aufzählungsprogramme zu groß, selbst bei sehr kleinemn. Für n = 2 gibt es 2 32 Vervollständigungen, davon sind 26 254 935 konsistenzerhaltend(diese Zahl liegt zwischen 2 24 und 2 25 ). Glücklicherweise ergibt sich eine drastischeReduzierung, wenn man weitere Mindestanforderungen an die Vervollständigungenstellt. So gibt es (für n = 2) nur noch 71 638 kumulierende und konsistenzerhaltendeVervollständigungen (die Kumulation wird in Kapitel 4 erklärt). Davon lassen sich 219durch Präferenzrelationen auf den Modellen beschreiben und 749 als CWA (diese Zahlenwurden mit einem solchen Aufzählungsprogramm ermittelt).

2.2. INTENDIERTE MODELLE 33Offene Frage 2.2.8: Kann man einen geschlossenen Ausdruck für die Anzahl derkumulierenden und konsistenzerhaltenen Vervollständigungen angeben? Die gleiche Fragestellt sich natürlich auch für andere Kombinationen von Eigenschaften aus Kapitel 4 oderRepräsentations-Formalismen aus Kapitel 5.Es ist im Prinzip denkbar, solche Aufzählungsprogramme für den Entwurf von Vervollständigungendurch Beispiele einzusetzen. Hat man etwa für einige AxiomenmengenΦ die intendierten Modelle ausgezeichnet, und setzt man darüber hinaus eine gewisseStruktur der Vervollständigung voraus, so führt das zu einer drastischen Einschränkungder möglichen Vervollständigungen. Betrachtet man etwa nur Vervollständigungen vomTyp minimale Modelle“, so ist die obige Vervollständigung eindeutig durch die Angaben”der folgenden Beispiele bestimmt:Φ comp(Φ)∅ ¬p, ¬qp p, ¬qq q, ¬pp ∨ q p ∨ q, ¬p ∨ ¬qMindestens für besonders kritische Teile des Entwurfs, wo die verwendeten Defaults nichtoffensichtlich sind, könnte eine solche Vorgehensweise hilfreich sein. Sie ist also demWissenserwerb und dem maschinellen Lernen zuzurechnen. Auch zur Überprüfung einerVervollständigung, d.h. der Auswahl von Testfällen Φ, könnten solche Überlegungenbeitragen.Solche Auswahlfunktionen haben eine einfache mathematische Struktur und treten nichtnur bei Vervollständigungen auf. Insbesondere sind sie schon in der Theorie der Wahlverfahren( social choice theory“) untersucht worden, einem gemeinsamen Teilgebiet von”Mathematik, Wirtschafts- und Sozialwissenschaften [Mou85].Hier wird statt I Σ eine beliebige Menge von möglichen Alternativen betrachtet. Dieskönnten etwa Personen sein, die für ein Amt in Frage kommen, oder Rechnermodelle,von denen eines beschafft werden soll (es müssen ja ständig irgendwelche Entscheidungengetroffen werden).Zur Auswahl steht aber jeweils nicht die ganze Menge der möglichen Alternativen,sondern nur eine Teilmenge. In den Beispielen wären das die Menge der Personen, dietatsächlich kandidieren, oder die Menge der Rechnermodelle, die unter einer gewissenPreisgrenze liegen. Zu jeder solchen Kandidatenmenge bestimmt die Auswahlfunktionwieder eine Teilmenge, nämlich die Alternativen, zu deren Gunsten die Entscheidungfällt. Da im allgemeinen nur eine Alternative realisiert werden kann, muß bei Bedarf dasLos geworfen werden.Diese Theorie untersucht nun einen speziellen Aspekt solcher Entscheidungsprozesse,nämlich die Abhängigkeit der Entscheidung von der Kandidatenmenge. So wäre es dochetwa unlogisch, wenn dadurch, daß ein Verlierer seine Kandidatur zurückzieht, sich das

34 KAPITEL 2. DEDUKTIVE DATENBANKENErgebnis der Wahl ändern würde. In dem Beispiel mit der Rechnerauswahl liegen diegenaue Preisgrenze und andere Mindestanforderungen ja auch nicht von vorneherein fest,und trotzdem könnte man sagen wenn ich die Auswahl zwischen den Rechnern A, B”und C hätte, dann würde ich A oder B wählen, aber nicht C“.Die Ähnlichkeit zu den modelltheoretischen Vervollständigungen ist offensichtlich: dieKandidaten entsprechen den Modellen I der Axiome Φ und die Gewinner den intendiertenModellen sel(I). Obwohl der intuitive Hintergrund zunächst also recht unterschiedlich ist,stimmen die beiden Begriffe formal überein. Und es wird sich zeigen, daß sich tatsächlichviele der Eigenschaften und Ergebnisse der Theorie der Wahlverfahren auch auf Vervollständigungenübertragen lassen. So sind dort etwa Eigenschaften, die der Kumulationentsprechen, schon untersucht worden, bevor sie unabhängig davon für Vervollständigungenentdeckt wurden.In [Bra90a] wurde auf die Ähnlichkeit zwischen beiden Gebieten hingewiesen, und eswurden systematisch Eigenschaften und Ergebnisse umformuliert. Insbesondere konntedadurch eine Charakterisierung der minimale Modelle“-Vervollständigungen gewonnen”werden. In [DW91] wurde dieser Zusammenhang auch ausgenutzt, allerdings nur derbekannte Satz von Arrow.Andere Formalisierungen des Begriffs der VervollständigungEine Vervollständigung läßt sich aber nicht nur als Auswahlfunktion auf den Modellenbeschreiben. Als Alternative zu diesen ”modelltheoretischen Vervollständigungen“ sollennun die ”syntaktischen Vervollständigungen“ und die ”vervollständigten Folgerungsrelationen“eingeführt werden. Selbstverständlich sind die drei Formalisierungen äquivalent,d.h. man kann zwischen ihnen umrechnen, ohne daß sich der Begriff der korrekten Antwort(s.u.) ändert. Diese verschiedenen Blickrichtungen auf denselben Gegenstand tragenaber sicher zu einem besseren Verständnis bei.Außerdem lassen sich die bekannten Vervollständigungen in unterschiedlichen Formalismenverschieden gut beschreiben. Obwohl die Umrechnung dazwischen immer möglichist, führt sie nicht notwendigerweise zu einem einfachen und übersichtlichen Ergebnis.Die Eigenschaften in Kapitel 4 werden auch jeweils für alle drei Arten von Vervollständigungenformuliert. Man kann sich dann die für die betrachtete Vervollständigungpassendste Formulierung aussuchen; außerdem gilt auch hier wieder, daß verschiedeneäquivalente Beschreibungen hilfreich für das Verständnis sind.Die drei Formalisierungen von Vervollständigungen mit den Umrechnungen dazwischenwurden in [Bra90a] eingeführt; natürlich gab es davor schon Beispiele für jede derdrei Arten von Vervollständigungen [Rei78, McC80, Rei80], und auch Versuche einer allgemeinenTheorie von Folgerungsrelationen [Gab85].Häufig werden Vervollständigungen die Axiomenmenge Φ einfach um die angenommenenDefault-Ausprägungen aus ∆ ∗ erweitern, und so eine Obermenge comp(Φ) ⊇ Φ konstruieren,die als Grundlage der Anfragebearbeitung dient (so wie die intendierten Modelle bei

2.2. INTENDIERTE MODELLE 35modelltheoretischen Vervollständigungen). Allgemein muß comp(Φ) nicht eine Teilmengevon Φ ∪ ∆ ∗ sein; schon deswegen nicht, weil die verschiedenen Vervollständigungen unterschiedlicheAusprägungsmechanismen verwenden können. Das Ziel von comp ist jedochimmer gleich, nämlich die impliziten Annahmen bei der Anfrageauswertung explizit zumachen.Beispiele für Vervollständigungen dieser Art sind etwa die CWA-Vervollständigungen[Rei78, Min82, YH85, GP86] und die verschiedenen Versionen der ”first-order“-Circumscription[McC80, Lif85, McC86].Eine syntaktische Vervoll-Definition 2.2.9 (Syntaktische Vervollständigung):ständigung ist eine Abbildung comp: 2 L Σ→ 2 L Σmit• Φ ⊆ comp(Φ) für alle Φ ⊆ L Σ ( ”kein Informationsverlust“),• comp(Φ 1 ) und comp(Φ 2 ) sind äquivalent für jedes Paar Φ 1 , Φ 2 von äquivalentenAxiomenmengen ( Äquivalenzerhaltung“).”Die erste Forderung Φ ⊆ comp(Φ)“ ist wohl unstrittig, sie entspricht gerade sel(I) ⊆ I“” ”bei modelltheoretischen Vervollständigungen. Höchstens wenn man von Vervollständigungenerwartet, daß sie inkonsistente Formelmengen reparieren“, könnte man auf diese”Eigenschaft verzichten.Die zweite Forderung Φ ” 1∼ = Φ2 =⇒ comp(Φ 1 ) ∼ = comp(Φ 2 )“ ist jedoch schon einschränkender:Prolog-Semantiken erfüllen diese Forderung nicht, weil dort die Regelngerichtet sind, also außer ihrem logischen Inhalt noch weitere Informationen tragen. Sobedeuten etwa p ← ¬q und q ← ¬p etwas ganz unterschiedliches, obwohl beide Regelnlogisch äquivalent zu p ∨ q sind (was man in Prolog nicht aufschreiben kann). Einanderes Beispiel ist p(X) ← p(X), was logisch äquivalent zu true ist, aber nach derCDB-Semantik [Cla78] verhindert, daß Negationen über p angenommen werden können.Bei Prolog ist das Problem, daß die Vervollständigung über die Schreibweise der Regelnimplizit mitspezifiziert wird (zusammen mit anderen Steuerinformationen). Demhier verfolgten Ansatz liegt jedoch die Annahme zugrunde, daß es besser ist, den logischenGehalt, die Vervollständigung und die Steuerinformation explizit und getrenntvon einander zu spezifizieren. Dann könnte ein intelligenter Optimierer das überflüssigeAxiom p(X) ← p(X) weglassen oder beliebige andere logische Umformungen vornehmen.Dies war ja wohl auch der ursprüngliche Sinn einer Verwendung der Logik, von der mansich dann aus Effizienzgesichtspunkten doch recht weit entfernt hat.Allerdings ist auch bei Prolog-Semantiken eine Entwicklung in Richtung des hier verfolgtenAnsatzes zu erkennen. Neuere Semantiken behandeln die Regel p(X) ← p(X)tatsächlich wie true, und bei stratifizierten Klauselmengen läßt sich die in den Regelnverborgene Zusatzinformation für die Vervollständigung (die Stratifizierung) leicht mechanischextrahieren. Falls man also eine entsprechende Umschreibphase vorschaltet, passenProlog-Semantiken doch in den hier angegebenen allgemeinen Rahmen. Eine Möglichkeithierzu ist auch, Prädikatsymbole zu verdoppeln, also etwa zu jedem Prädikat p einPrädikat not p einzuführen [Prz91]. Auf diese Weise können sogar Semantiken behandelt

36 KAPITEL 2. DEDUKTIVE DATENBANKENwerden, die eigentlich auf einer dreiwertigen Logik basieren.Ein technischer Grund für die Forderung nach Äquivalenzerhaltung ist schließlichnoch, daß nur so die syntaktischen Vervollständigungen äquivalent zu den modelltheoretischensind: Die modelltheoretischen Vervollständigungen bekommen die Axiome Φ jagar nicht mehr zu sehen, sondern nur ihre Modelle. Daher können sie natürlich keinenUnterschied zwischen logisch äquivalenten Formulierungen machen.Die dritte Art von Vervollständigungen sind schließlich die vervollständigten Folgerungsrelationen⊢ c . Ihnen liegt der Gedanke zugrunde, daß Vervollständigungen ja eigentlichnur dazu verwendet werden, die korrekten Antworten zu bestimmen. Für boolesche Anfragenψ (eine variablenfreie Formel) wird man die Antwort ja“ als logisch korrekt ansehen,”wenn Φ ⊢ ψ gilt. Nun berücksichtigt dies freilich noch nicht die Defaults, so daß dieAntwort ja“ häufig intuitiv korrekt, aber nicht logisch korrekt ist. Da beliebige Anfragen”auf solche booleschen Anfragen zurückgeführt werden können (s.u.), liegt es nahe, einfachden Begriff der Folgerungsrelation zu verallgemeinern. Dafür gibt es eine ganze Reihe vonVorschlägen [Gab85, KLM90]. Die hier angegebene Definition hat den Vorteil, äquivalentzu den anderen Arten von Vervollständigungen zu sein:Definition 2.2.10 (Vervollständigte Folgerungsrelation):Folgerungsrelation ist eine Relation ⊢ c ⊆ 2 L Σ× L ∗ Σ mit• Φ ⊢ ψ =⇒ Φ ⊢ c ψ ( kein Informationsverlust“),”• Φ ⊢ c ψ 1 , Φ ⊢ c ψ 2 =⇒ Φ ⊢ c ψ 1 ∧ ψ 2 ( Abschluß unter ∧“),”• Φ ⊢ c ψ, {ψ} ⊢ ψ ′ =⇒ Φ ⊢ c ψ ′ ( Abschluß unter ⊢“),”• Φ 1 ⊢ c ψ, Φ 1∼ = Φ2 =⇒ Φ 2 ⊢ c ψ ( Äquivalenzerhaltung“).”Eine vervollständigteAls Folgerungen sind hier nur Formeln ohne Variablen interessant, da Antworten immeralle Variablen der Anfragen binden sollen (aufgrund der Bereichsbeschränkung könntenandere Antworten zumindest niemals logisch korrekt sein, siehe Korollar 2.1.23). Eswürden sich auch wesentliche technische Schwierigkeiten ergeben, da es zur Folgerungvon Formeln mit Variablen nicht mehr ausreicht, nur Herbrand-Modelle zu betrachten.Die Forderungen kein Informationsverlust“ und Äquivalenzerhaltung“ wurden oben” ”schon kommentiert.Die Forderung nach dem Abschluß unter ∧“ ist eigentlich auch sehr naheliegend:”Wenn ψ 1 und ψ 2 einzeln mit ja“ beantwortet werden, dann sollte auch ψ ” 1 ∧ ψ 2 mit ja“ ”beantwortet werden — dies ist schließlich die intuitive Semantik der Konjunktion. DieseForderung wurde schon in [BS85] aufgestellt.Sie gilt aber nicht für alle in der Literatur vorgeschlagenen Default-Semantiken. Sonimmt der leichtgläubige“ ( credulous“) Ansatz einfach eine konsistente Menge von” ”Default-Ausprägungen an, mit der er die Anfrage herleiten kann. Falls es Konfliktezwischen Defaults gibt, kann es durchaus passieren, daß sowohl p als auch ¬p mit ja“ ”beantwortet wird, aber nicht p ∧ ¬p (d.h. false).Der Abschluß unter logischen Folgerungen impliziert u.a. die Umkehrung: Wennψ 1 ∧ ψ 2 mit ja“ beantwortet wird, sollten natürlich auch ψ ” 1 und ψ 2 einzeln mit ja“ ”

2.2. INTENDIERTE MODELLE 37beantwortet werden. Außerdem bewirkt der Abschluß unter logischen Folgerungen auch,daß logisch äquivalente Anfragen gleich beantwortet werden. Falls etwa ψ 1 ∧ ψ 2 mit ”ja“beantwortet wird, sollte dies ja wohl auch für ψ 2 ∧ ψ 1 gelten.Schließlich sei noch bemerkt, daß man den Abschluß unter ”∧“ und den unter ”⊢“zusammenfassen kann alsΦ ⊢ c ψ 1 , . . . , Φ ⊢ c ψ n , {ψ 1 , . . . , ψ n } ⊢ ψ =⇒ Φ ⊢ c ψ.Dies wurde in der obigen Definition nicht getan, um das Problem beim leichtgläubigenAnsatz genauer herauszuarbeiten (er ist unter ⊢ abgeschlossen, aber nicht unter ∧).Jetzt bleibt noch, die Äquivalenz der drei Formalisierungen zu zeigen. Dazu wird zuerstgezeigt, wie man von modelltheoretischen bzw. syntaktischen Vervollständigungen zuvervollständigten Folgerungsrelationen kommt:Definition 2.2.11 (Folgerungsrelation zu einer Vervollständigung):• Sei sel eine modelltheoretische Vervollständigung. Dann ist ⊢ c sel definiert durchΦ ⊢ c sel ψ :⇐⇒ sel ( Mod(Φ) ) ⊆ Mod(ψ).• Sei comp eine syntaktische Vervollständigung. Dann ist ⊢ c comp definiert durchLemma 2.2.12:Φ ⊢ c comp ψ :⇐⇒ comp(Φ) ⊢ ψ.• ⊢ c sel ist eine vervollständigte Folgerungsrelation.• ⊢ c comp ist eine vervollständigte Folgerungsrelation.Beweis:• - Wenn Φ ⊢ ψ, gilt Mod(Φ) ⊆ Mod(ψ); zusammen mit sel ( Mod(Φ) ) ⊆ Mod(Φ) folgtalso sel ( Mod(Φ) ) ⊆ Mod(ψ), und damit Φ ⊢ c sel ψ.- Aus Φ ⊢ c selψ 1 und Φ ⊢ c selψ 2 , d.h. sel ( Mod(Φ) ) ⊆ Mod(ψ i ) für i = 1, 2 folgtsel ( Mod(Φ) ) ⊆ Mod(ψ 1 ) ∩ Mod(ψ 2 ), also sel ( Mod(Φ) ) ⊆ Mod(ψ 1 ∧ ψ 2 ) und daherΦ ⊢ c sel ψ 1 ∧ ψ 2 .- Beim Abschluß unter ⊢ c bedeuten die Voraussetzungen sel ( Mod(Φ) ) ⊆ Mod(ψ) undMod(ψ) ⊆ Mod(ψ ′ ). Hieraus ergibt sich sel ( Mod(Φ) ) ⊆ Mod(ψ ′ ), d.h. Φ ⊢ c sel ψ′ .- Die Äquivalenzerhaltung folgt direkt aus der Konstruktion, Φ 1∼ = Φ2 bedeutet jaMod(Φ 1 ) = Mod(Φ 2 ). Dann gilt natürlich auch sel ( Mod(Φ 1 ) ) = sel ( Mod(Φ 2 ) ) .• - Gilt Φ ⊢ ψ, so folgt wegen Φ ⊆ comp(Φ) auch comp(Φ) ⊢ ψ, d.h. Φ ⊢ c comp ψ.- Gilt Φ ⊢ c comp ψ 1 und Φ ⊢ c comp ψ 2 , d.h. comp(Φ) ⊢ ψ 1 und comp(Φ) ⊢ ψ 2 , so folgtcomp(Φ) ⊢ ψ 1 ∧ ψ 2 (⊢ ist unter ∧ abgeschlossen) und damit Φ ⊢ c comp ψ 1 ∧ ψ 2 .- Aus comp(Φ) ⊢ ψ und {ψ} ⊢ ψ ′ folgt comp(Φ) ⊢ ψ ′ (⊢ ist transitiv).- Sind Φ 1 und Φ 2 äquivalent, so auch comp(Φ 1 ) und comp(Φ 2 ) (wegen der Äquivalenzerhaltungvon comp). Dann haben sie natürlich auch dieselben Folgerungen. ✷

38 KAPITEL 2. DEDUKTIVE DATENBANKENIn der anderen Richtung ist noch zu zeigen, daß vervollständigte Folgerungsrelationennicht allgemeiner sind als die anderen beiden Arten von Vervollständigungen, daß esalso zu jeder vervollständigten Folgerungsrelation auch eine passende modelltheoretischebzw. syntaktische Vervollständigung gibt.Lemma 2.2.13:• Für jede vervollständigte Folgerungsrelation ⊢ c gibt es eine modelltheoretische Vervollständigungsel mit ⊢ c sel = ⊢ c .• Für jede vervollständigte Folgerungsrelation ⊢ c gibt es eine syntaktische Vervollständigungcomp mit ⊢ c comp = ⊢ c .Beweis:• Sei sel definiert durch:sel(I) := Mod ( {ψ ′ ∈ L Σ ∗ | Th(I) ⊢ c ψ ′ } ) ∩ I.(Der Schnitt mit I ist nötig, denn solange unendliche Modelle betrachtet werden, kannnicht vorausgesetzt werden, daß Mod ( Th(I) ) = I gilt.)Falls Φ ⊢ c ψ, folgt aus der Konstruktion von sel sofort Φ ⊢ c sel ψ: Da Th( Mod(Φ) ) ∼ = Φauch bei unendlichen Modellen gilt, damit vereinfacht sich die Definition zusel ( Mod(Φ) ) = Mod ( {ψ ′ ∈ L Σ ∗ | Φ ⊢ c ψ ′ } ∪ Φ ) ,also gilt sel ( Mod(Φ) ) ⊆ Mod(ψ).Gilt umgekehrt Φ ⊢ c selψ, so bedeutet das nach der KonstruktionΦ ∪ {ψ ′ ∈ L Σ ∗ | Φ ⊢ c ψ ′ } ⊢ ψ.Nach dem Kompaktheitssatz gibt es dann aber schon eine endliche Teilmenge{ψ ′ 1, . . . , ψ ′ n} ⊆ {ψ ′ ∈ L Σ ∗ | Φ ⊢ c ψ ′ }mit {ψ ′ 1 , . . . , ψ′ n} ⊢ ψ. (Die Formeln aus Φ sind tatsächlich nicht nötig, ihre Grundbeispieleaus L Σ ∗ reichen aus, da ja eine variablenfreie Formel abgeleitet werden soll.) Dann folgtaber aus dem Abschluß von ⊢ c unter ∧ und ⊢, daß Φ ⊢ c ψ.• Die Konstruktion einer entsprechenden syntaktischen Vervollständigung funktioniert ganzähnlich:comp(Φ) = {ψ ′ ∈ L Σ ∗ | Φ ⊢ c ψ ′ } ∪ Φ.Gilt also Φ ⊢ c ψ, so ist ψ ∈ comp(Φ), und daher gilt Φ ⊢ c comp ψ. Der umgekehrte Schlußfunktioniert wie oben mit dem Kompaktheitssatz und dem Abschluß von ⊢ c unter ∧ und ⊢.✷Daher muß jetzt nicht mehr zwischen den verschiedenen Formalisierungen des Begriffsder Vervollständigung unterschieden werden, jede ist gleichermaßen als Bedeutung einerDefault-Spezifikation (∆, ❁) geeignet. Gegenstand der Untersuchungen in dieser Arbeitsind jetzt aber nicht so sehr einzelne Vervollständigungen, als vielmehr die Beziehungzwischen Default-Spezifikationen und Vervollständigungen:

2.3. ANFRAGEN UND ANTWORTEN 39Definition 2.2.14 (Default-Semantik): Eine Default-Semantik ist eine Abbildung,die jeder Default-Spezifikation (∆, ❁) über einer beliebigen Signatur Σ eine (modelltheoretischeoder syntaktische) Σ-Vervollständigung sel bzw. comp oder eine vervollständigteFolgerungsrelation ⊢ c zuordnet.2.3 Anfragen und AntwortenEine deduktive Datenbank besteht also aus den Komponenten Signatur, Axiome undDefaults mit Prioritäten (und Integritätsbedingungen, s.u.). Die Semantik der Signaturist die Menge aller entsprechend strukturierten Interpretationen, die Semantik der Axiomewählt davon eine Teilmenge aus (die Modelle), und die Semantik der Defaults bestimmtschließlich nochmals eine Teilmenge (die intendierten Modelle).Damit sollte es jetzt auch möglich sein, den Hauptzweck einer Datenbank zu erfüllen,nämlich Anfragen zu beantworten.DefinitionenDefinition 2.3.1 (Anfrage): Eine Anfrage ist eine Σ-Formel ψ, die negativ starkbereichsbeschränkt ist. Die vorkommenden Variablen heißen die Ergebnisvariablen von ψ.Die häufigste Art von Anfragen sind Konjunktionen von Literalen:p 1 (. . .) ∧ · · · ∧ p m (. . .) ∧ ¬q 1 (. . .) ∧ · · · ∧ ¬q n (. . .).Die Bereichsbeschränkung bedeutet bei Anfragen dieser Form, daß jede Variable in einempositiven Literal mit positiv bindendem Prädikat vorkommen muß (oder in einem negativenLiteral mit negativ bindendem Prädikat). Allgemein bewirkt diese Forderung gerade,daßanswer(X 1 , . . . , X n ) ← ψeine bereichsbeschränkte Formel ist, wenn X 1 , . . . , X n die Ergebnisvariablen von ψ sindund answer ein neues (positiv bindendes) Prädikat.Da man jede Formel äquivalent in disjunktive Normalform bringen kann, besteht dieVerallgemeinerung nun darin, daß auch Disjunktionen von solchen konjunktiven Anfragenerlaubt sind. Dies erscheint im Kontext unvollständiger Information angemessen, dennsolche Disjunktionen können auch in der Datenbank abspeichert werden.Es ist relativ einfach, auch Existenzquantoren am Anfang der Anfrage zu erlauben[Rei78], dann kann man etwa Projektionen direkt formulieren (ohne die Axiomezu erweitern). Mit Allquantoren ist es dagegen etwas schwieriger, hier sei auf [LT84]verwiesen.Natürlich kann man immer eine Erweiterung von Φ um ein Anfrageprogramm“ vornehmen,dann kommt man mit einer festen Anfrage der Form answer(X 1 , . . . , X n ) aus.”Aber dann hat man nicht mehr die Ähnlichkeit von Anfragebearbeitung und logischer

40 KAPITEL 2. DEDUKTIVE DATENBANKENFolgerung; außerdem bräuchte man dazu eigentlich einen Modulbegriff, denn natürlichsollen diese neuen Axiome den Inhalt der Datenbank nicht ändern.Definition 2.3.2 (Korrekte Antwort): Eine nichtleere Menge {θ 1 , . . . , θ n } von Σ-Grundsubstitutionen für die Ergebnisvariablen einer Anfrage ψ heißt korrekte Antwortauf ψ genau dann, wennΦ ⊢ c ψθ 1 ∨ · · · ∨ ψθ n .Eine korrekte Antwort heißt definit, wenn sie aus genau einem Element besteht. Eine korrekteAntwort heißt minimal, wenn keine echte Teilmenge von ihr ebenfalls eine korrekteAntwort ist.Eine Antwort soll also Werte (Konstanten) für die Ergebnisvariablen der Anfrage bestimmen,derart, daß die entstehende Formel aus den Informationen in der Datenbank folgt.Dabei wird eine vervollständigte Folgerungsbeziehung ⊢ c verwendet, um die Defaults zuberücksichtigen. Natürlich kann ⊢ c auch durch eine modelltheoretische oder syntaktischeVervollständigung gegeben sein, wie oben beschrieben.Außerdem sind disjunktive Antworten zulässig, die mehr als eine Substitution angeben[Gre69, Rei78]. Dies erlaubt es, disjunktive Informationen in der Datenbank direktabzufragen. Würde es keine disjunktiven Antworten geben, müßte man entsprechend disjunktiveAnfragen aufschreiben und könnte niemals sicher sein, auch ausreichend vieleDisjunktionsglieder aufgeschrieben zu haben. Natürlich sind nur minimale disjunktiveAntworten interessant.Schließlich beachte man noch, daß Antworten hier alle Variablen mit Konstantenbelegen müssen (da es sich um Grundsubstitutionen handelt). Dies ist ein Unterschiedzu Prolog, wo die Antworten auch Variablen enthalten können. Tatsächlich ist dieseForderung aber bei bereichsbeschränkten Formeln sehr natürlich, denn solche Antwortenkönnten niemals logisch korrekt sein (Korollar 2.1.23). Bei Vervollständigungen ist diesdagegen nur eine Festlegung (nicht beweisbar).Natürlich gibt es eine ganze Reihe von Alternativen zu dieser Definition von korrekterAntwort. So kann man etwa den Begriff der Substitution vermeiden, wenn man stattdessendie Gleichheit verwendet (siehe etwa [Bra88]). Interessant ist auch die Definitionin [CGS89]: Hier ist eine Antwort auf eine disjunktive Anfrage ψ 1 ∨ · · · ∨ ψ n eine Disjunktionvon Grundbeispielen der ψ i , also eine Formel der Art ψ i1 θ 1 ∨· · ·∨ψ im θ m . Dies hat denEffekt, daß die Antwort spezifischer sein kann als die Anfrage (m < n), denn man erfährtauch, welche Disjunktionsglieder erfüllt sind. Allerdings dürfte in dem typischen Fall einernicht-disjunktiven Anfrage diese Art von Antworten länger und unübersichtlicher sein alsdie oben definierten.Unabhängigkeit von der SignaturDie Korrektheit einer Antwort sollte nicht davon abhängen, ob die Signatur außer denin den Axiomen und Defaults explizit auftretenden Konstanten noch weitere enthält.

2.3. ANFRAGEN UND ANTWORTEN 41Sonst kann es beim Einfügen und Löschen von Axiomen oder Defaults zu überraschendenEffekten kommen:Beispiel 2.3.3: Sei Φ := {p(X) ∨ q, p(c 1 )} und ∆ := {¬p(X), ¬q}, dabei habeder erste Default höhere Priorität. Diese Formeln sind nicht bereichsbeschränkt: Nachden Axiomen könnte p noch ein negativ bindendes Prädikat sein, aber dann wäre derDefault ¬p(X) nicht bereichsbeschränkt.Ist c 1 nun die einzige Konstante, so ist ¬p(c 1 ) die einzige Ausprägung von ¬p(X).Sie kann aber sicherlich nicht angenommen werden, da genau das Gegenteil als Axiomspezifiziert ist. Also hat der Default ¬q keine Konkurrenten, er sollte jedenfalls von jedervernünftigen Semantik angenommen werden. Daher ist die Antwort ”ja“ eine korrekteAntwort auf die Anfrage ¬q.Die Situation ändert sich, wenn es eine weitere Konstante c 2 gibt. Denn nun stehendie Default-Ausprägungen ¬p(c 2 ) und ¬q im Konflikt miteinander. Da ¬p(c 2 ) höherePriorität hat, wird dieser Default also angenommen. Die Anfrage ¬q kann jetzt nichtmehr mit ja“ beantwortet werden, tatsächlich folgt ja sogar ihre Negation. ✷”Zunächst ist es interessant, festzuhalten, daß diese Probleme von der Vervollständigungverursacht werden. Bei der logischen Folgerung ist die Unabhängigkeit von der Signaturimmer gegeben, selbst wenn man nicht bereichsbeschränkte Axiome zuläßt:Satz 2.3.4: Seien Σ ⊆ Σ ′ Signaturen, die zu jeder Sorte mindestens eine Konstanteenthalten, aber keine vordefinierten Prädikate. Sei weiter Φ eine Menge von Σ-Formelnund ψ eine variablenfreie Σ-Formel. Dann giltΦ ⊢ Σ ψ ⇐⇒ Φ ⊢ Σ ′ ψ(Dabei bedeute Φ ⊢ Σ ψ, daß alle Σ-Herbrandmodelle von Φ auch Modelle von ψ sind.)Beweis:• ”=⇒ “: Gelte nicht Φ ⊢ Σ ′ ψ. Dann gibt es ein Σ ′ -Herbrandmodell I ′ von Φ mit I ′ ̸|= ψ.Sei I das Σ-Redukt von I ′ . Da Φ keine Existenzaussagen enthält, gilt I |= Φ (wäre einΣ-Grundbeispiel ϕ in I nicht erfüllt, so ist es natürlich auch nicht in I ′ erfüllt). Weil ψvariablenfrei ist, hat es in I denselben Wahrheitswert wie in I ′ , d.h. I ̸|= ψ.• ”⇐= “: Sei umgekehrt I ein Σ-Herbrandmodell von Φ mit I ̸|= ψ. Dieses Herbrandmodellmuß nun zu einem Σ ′ -Herbrandmodell I ′ erweitert werden. Die oben definierte Standard-Erweiterung eignet sich nur für bereichsbeschränkte Formeln. Hier kann man aber aucheinfach die neuen Konstanten als Synonyme für alte interpretieren. Sei also f: C ′ → Ceine Abbildung mit f(c) = c für alle c ∈ C (an dieser Stelle wird benötigt, daß es in Σeine Konstante jeder Sorte gibt, von der es in Σ ′ Konstanten gibt). Dann sei I ′ das Σ ′ -Herbrandmodell mit(c 1 , . . . , c n ) ∈ I ′ [p] :⇐⇒ ( f(c 1 ), . . . , f(c n ) ) ∈ I [p](diese Definition ist nur möglich, wenn p kein vordefiniertes Prädikat ist). Würde nun einΣ ′ -Grundbeispiel ϕ einer Formel aus Φ in I ′ nicht erfüllt, so würde es nach Anwendung

42 KAPITEL 2. DEDUKTIVE DATENBANKENvon f in I nicht erfüllt, im Widerspruch zur Voraussetzung. Die variablenfreie Formel ψwird wieder in I und I ′ gleich ausgewertet, also gilt I ′ ̸|= ψ.✷Die beiden Einschränkungen sind auch wirklich nötig, wie man an Φ := {p(X), ¬p(X)}bzw. Φ := {X = c} sieht: In beiden Fällen würde die Erweiterung auf Signaturen mitmehr Konstanten nicht funktionieren. Natürlich treten diese Probleme bei bereichsbeschränktenFormeln nicht auf.Warum ist die Situation im Zusammenhang mit Defaults nun so viel komplizierter?Die einfachste Erklärung ist wohl, daß über die Default-Ausprägungen automatisch eineAbhängigkeit von der Signatur entsteht — ∆ ∗ enthält ja die Grundbeispiele bezüglich derjeweils betrachteten Signatur. Dadurch gilt nicht mehr, daß das Redukt eines intendiertenModells auch ein intendiertes Modell ist, oder umgekehrt ein intendiertes Modell sich zueinem intendierten Modell erweitern läßt. Das Problem sind hier die Konflikte zwischenneuen und alten Default-Ausprägungen. Bereichsbeschränkte Axiome und Defaults habennun den Vorteil, daß sie für neue Konstanten auf jeden Fall gelten, sie können also keineKonflikte verursachen.Natürlich kann man aus der obigen Definition von Vervollständigung die Signatur-Unabhängigkeit nicht herleiten, schon deshalb nicht, weil dies keine Anforderung an eineeinzelne Vervollständigung ist, diese basiert ja auf einer festen Signatur. Vielmehr ist dieseine Anforderung an die Default-Semantik, die also einer Default-Spezifikation (∆, ❁) eineVervollständigung zuordnet.Definition 2.3.5 (Unabhängig von der Signatur): Eine Default-Semantik heißtunabhängig von der Signatur, wenn für alle Signaturen Σ ⊆ Σ ′ und alle Σ-Default-Spezifikationen (∆, ❁) die zugeordneten Vervollständigungen ⊢ c Σ und ⊢c Σ ′ folgende Eigenschafthaben:Φ ⊢ c Σ ψ ⇐⇒ Φ ⊢ c Σ ′ ψ.Natürlich möchte man diese Eigenschaft auch für syntaktische und modelltheoretischeVervollständigungen formulieren. Hier werden nur hinreichende Kriterien angegeben, weildiese einfacher sind:Lemma 2.3.6: Sei Σ ⊆ Σ ′ , sel eine modelltheoretische Σ-Vervollständigung und sel ′eine Σ ′ -Vervollständigung, die folgende Bedingungen erfüllt:• Ist I ∈ sel ( Mod Σ (Φ) ) , so gibt es eine Erweiterung I ′ mit I ′ ∈ sel ′( Mod Σ ′(Φ) ) .• Ist I ′ ∈ sel ′( Mod Σ ′(Φ) ) , so gilt für das Σ-Redukt I von I ′ : I ∈ sel ( Mod Σ (Φ) ) .Dann gilt: Φ ⊢ sel ψ ⇐⇒ Φ ⊢ sel ′ ψ.Beweis: Gilt Φ ⊬ sel ψ, so gibt es I ∈ sel ( Mod Σ (Φ) ) mit I ̸|= ψ. Dazu gibt es nach der erstenBedingung eine Σ ′ -Erweiterung I ′ ∈ sel ′( Mod Σ ′(Φ) ) , für die dann natürlich auch I ′ ̸|= ψ gilt.Die umgekehrte Richtung folgt ebenso direkt aus der zweiten Bedingung.✷

2.3. ANFRAGEN UND ANTWORTEN 43Lemma 2.3.7: Sei Σ ⊆ Σ ′ und seien comp/comp ′ syntaktische Σ/Σ ′ -Vervollständigungen,die folgende Bedingungen erfüllen:• comp(Φ) = comp ′ (Φ) ∩ L + Σ ,• comp(Φ) ∪ (∆ ∗ Σ ′ − ∆∗ Σ ) ⊢ comp′ (Φ).Dann gilt Φ ⊢ comp ψ ⇐⇒ Φ ⊢ comp ′ ψ.Beweis: Gelte comp(Φ) ⊬ Σ ψ und sei I ein Σ-Herbrand-Modell von comp(Φ) mit I ̸|= ψ. Sei I ′eine Standard-Erweiterung von I auf Σ ′ . Nach Lemma 2.1.20 erfüllt I ′ die Formeln aus ∆ ∗ Σ ′ −∆ ∗ Σ ,nach der zweiten Bedingung ist I ′ dann Modell von comp ′ (Φ). Also gilt comp ′ (Φ) ⊬ Σ ′ ψ.Gelte umgekehrt comp ′ (Φ) ⊬ Σ ′ ψ und sei I ′ ein Σ ′ -Herbrand-Modell von comp ′ (Φ). Nachder ersten Bedingung ist I ′ dann auch Modell von comp(Φ). Da es sich um Allaussagen handelt,ist auch das Σ-Redukt I von I ′ ein Modell von comp(Φ). Damit folgt aber comp(Φ) ⊬ Σ ψ. ✷Alle in Kapitel 5 vorgeschlagenen Default-Semantiken garantieren die Unabhängigkeitvon der Signatur. Der Grund hierfür ist, daß für die Entscheidung, welche Defaults angenommenwerden, nur maximale konsistente Mengen von Default-Ausprägungen relevantsind (bei diesen Semantiken). Diese Mengen bezüglich Σ ′ sind aber gerade die Mengenbezüglich Σ vereinigt mit den neuen Default-Ausprägungen ∆ ∗ Σ − ′ ∆∗ Σ . Alle dieseDefault-Semantiken haben nun die Eigenschaft, daß so ein konstanter Anteil von Default-Ausprägungen keinen Einfluß auf die Auswahl der übrigen hat.Endlichkeit der AntwortmengeDie Menge der korrekten Antworten sollte immer endlich sein, denn von einer Datenbankwird erwartet, daß sie mengenorientiert arbeitet, d.h. insbesondere die Menge derkorrekten Antworten als Ganzes ausgibt. Das ist aber offensichtlich unmöglich, wenndiese Menge unendlich ist. Ein Beispiel wären die folgenden (nicht bereichsbeschränkten)Regeln, die die Menge der Zweierpotenzen definieren:zweierPotenz(1).zweierPotenz(X) ← zweierPotenz(Y ) ∧ X = Y + Y.Die zweite Regel ist nicht bereichsbeschränkt, weil X nicht gebunden ist. Bei Prolog trittdieses Problem nicht auf, da hier immer nur eine Antwort auf einmal ausgegeben wird.Außerdem sollten in den korrekten Antworten nur Konstanten vorkommen, die auchin den Axiomen oder Defaults vorkommen. Dies impliziert natürlich sofort die erste Forderung(in den Axiomen und Defaults können ja nur endlich viele Konstanten vorkommen).Definition 2.3.8 (Beschränkung der Antworten): Eine Σ ′ -Vervollständigung ⊢ cerzeugt keine Antworten außerhalb von Σ 0 , wenn für alle Signaturen Σ mit Σ 0 ⊆ Σ ⊆ Σ ′und alle Σ-Axiomenmengen Φ, Σ-Anfragen ψ, Σ ′ -Antwortsubstitutionen θ 1 , . . . , θ n gilt:Φ ⊢ c ψθ 1 ∨ · · · ∨ ψθ n =⇒ Φ ⊢ c ψθ 1 ∨ · · · ∨ ψθ m ,dabei seien θ 1 , . . . , θ m (m < n) die Substitutionen, die nur Σ-Konstanten enthalten.

44 KAPITEL 2. DEDUKTIVE DATENBANKENDie untere Schranke Σ 0 ist nötig, weil auch die in den Defaults vorkommenden Konstantenberücksichtigt werden müssen. So ist der Default p(c) natürlich stark bereichsbeschränkt,denn er enthält ja keine Variablen. Aufgrund dieses Defaults ist aber die Antwort 〈X⊳ c〉auf die Anfrage p(X) möglich, selbst wenn c nicht in den Axiomen vorkommt.Lemma 2.3.9: Sei sel eine modelltheoretische Σ ′ -Vervollständigung, ∆ eine Σ 0 ⊆ Σ ′ -Defaultmenge und gelte:• Ist I 1 ∈ sel(I) und I 2 ∈ I mit { ∣δ ∈ ∆ ∗ Σ I ′ 1 |= δ } ⊆ { ∣δ ∈ ∆ ∗ Σ I ′ 2 |= δ } , so istI 2 ∈ sel(I).Dann erzeugt ⊢ sel keine Antworten außerhalb von Σ 0 .Beweis: Wäre ψθ m+1 ∨ · · · ∨ ψθ n in der Disjunktion nötig, so müßte es I 1 ∈ sel ( Mod(Φ) )geben mit I 1 ̸|= ψθ i für i = 1, . . . , m. Sei nun folgende Σ-Formelmenge betrachtet:Φ ∪ { δ ∈ ∆ ∗ ∣Σ I 1 |= δ }(hier wird benötigt, daß ∆ eine Σ 0 ⊆ Σ-Formelmenge ist). Natürlich ist I 1 ein Σ ′ -Modell dieserFormelmenge, und daher ist das Σ-Redukt I von I 1 ein Σ-Modell. Sei nun I 2 eine Standard-Erweiterung von I auf Σ ′ . Dann gilt{ δ ∈ ∆∗ ∣ Σ ′ I 1 |= δ } ⊆ { δ ∈ ∆ ∗ ∣ Σ ′ I 2 |= δ } ,denn von den Default-Ausprägungen aus ∆ ∗ Σ erfüllt I 2 dieselben wie I 1 , und die übrigen Default-Ausprägungen ∆ ∗ Σ− ∆ ∗ ′ Σ erfüllt I 2 nach Lemma 2.1.20 alle. Also ist I 2 ∈ sel ( Mod(Φ) ) .Ebenfalls nach Lemma 2.1.20 gilt aber I 2 ̸|= ψθ j für j = m + 1, . . . , n (dies ist ja äquivalentzu (I 2 , θ j ) ̸|= ψ). Da I 2 mit I 1 auf Σ übereinstimmt gilt natürlich auch I 2 ̸|= ψθ i für i = 1, . . . , m.Das bedeutet aber Φ ⊬ sel ψθ 1 ∨ · · · ∨ ψθ n .✷Diese Eigenschaft wird in Kapitel 4 noch gründlicher untersucht (Eigenschaft SCD). Allein Kapitel 5 definierten Default-Semantiken haben diese Eigenschaft.Lemma 2.3.10: Sei comp eine modelltheoretische Σ ′ -Vervollständigung und ∆ eineΣ 0 ⊆ Σ ′ -Defaultmenge mit:• comp(Φ) − Φ ist äquivalent zu einer Menge von ∧/∨-Verknüpfungen von Default-Ausprägungen ∆ ∗ Σ ′.Dann erzeugt ⊢ comp keine Antworten außerhalb von Σ 0 .Beweis: Der Beweis verläuft ganz entsprechend zu dem von Lemma 2.3.9. ✷Hat man die Unabhängigkeit von der Signatur und diese Eigenschaft, so reicht es aus,nur die Signatur Σ aus den in Φ und ∆ wirklich vorkommenden Symbolen zu betrachten(anstelle der eigentlich vereinbarten Signatur Σ ′ ). Antworten, die Konstanten aus Σ ′ − Σenthalten, sind auf jeden Fall nicht minimal. Die Unabhängigkeit von der Signatur erlaubtes, zur Überprüfung der Korrektheit der übrigen Antworten nur Σ zu betrachten.Da Φ und ∆ endlich sind, ist Σ endlich. Dann ist aber auch die Menge aller Herbrand-Interpretationen I Σ endlich. Dies erlaubt es etwa, jede Teilmenge I ⊆ I Σ durch eineFormel th(I) zu beschreiben.Im folgenden (Kapitel 4 und 5) werden daher nur noch endliche Signaturen betrachtet.

2.3. ANFRAGEN UND ANTWORTEN 45NormalformsätzeDie meisten automatische Beweiser basieren auf der Resolutionsmethode und arbeitennur mit Klauseln. Deswegen ist es wichtig, allgemeine Axiomenmengen, Anfragen undDefaults in eine Klauseldarstellung zu überführen.Bei den Axiomenmengen ist dies kein Problem, die Klauseldarstellung ist ja logischäquivalent und Vervollständigungen müssen solche Äquivalenzumformungen zulassen. BeiAnfragen und Defaults ist dagegen eine Erweiterung der Signatur erforderlich:Definition 2.3.11 (Normalform): Seien eine Signatur Σ, eine Axiomenmenge Φ, eineAnfrage ψ und eine Default-Spezifikation (∆, ❁) gegeben. Dann ist die Normalform dieserDatenbank-Anwendung wie folgt bestimmt:• Σ ′ sei eine Erweiterung von Σ um neue Prädikate:- answer (positiv bindend) mit Argumentsorten entsprechend den Ergebnisvariablenvon ψ,- default δ (negativ bindend) für jeden Default δ ∈ ∆, wobei die Argumentsortenden in δ vorkommenden Variablen entsprechen.• Φ ′ sei die Erweiterung von Φ um folgende Formeln:- answer(X 1 , . . . , X n ) ← ψ, dabei seien X 1 , . . . , X n die Ergebnisvariablen von ψ,- δ ← default δ (X 1 , . . . , X n ), dabei seien X 1 , . . . , X n die Variablen in δ.• ψ ′ sei die Anfrage answer(X 1 , . . . , X n ).• ∆ ′ bestehe aus default δ (X 1 , . . . , X n ) für jeden Default δ ∈ ∆.• ❁ ′ sei definiert durch default δ1(. . .) ❁ ′ default δ2(. . .) :⇐⇒ δ 1 ❁ δ 2 .Natürlich kann man auch statt den Defaults default δ (X 1 , . . . , X n ) die typischen Negationen¬blocked δ (X 1 , . . . , X n ) verwenden, die entsprechenden Axiome sind dann:δ ← ¬blocked δ (X 1 , . . . , X n ).In diesem Sinne ist es also keine echte Verallgemeinerung, beliebige Formeln als Defaultszuzulassen und nicht nur Negationen.Allerdings ist diese Normalformbildung hier nur ein Implementierungstrick, für denBenutzer ist es schon übersichtlicher, allgemeine Formeln als Defaults verwenden zukönnen. Diese Normalformbildung würde von dem Defaultkann fliegen(X) ← vogel(X)zu dem Axiom(kann fliegen(X) ← vogel(X))← ¬blocked(X)und dem Default ¬blocked(X) führen. Das Axiom ist äquivalent zukann fliegen(X) ← vogel(X) ∧ ¬blocked(X).Es ist wohl schon eine Hilfe für den Entwerfer, wenn eine solche Umformung automatischgeschieht.

46 KAPITEL 2. DEDUKTIVE DATENBANKENAußerdem darf man aus der Möglichkeit einer solchen Normalform nicht den voreiligenSchluß ziehen, daß man mit dem hier vorgestellten Ansatz doch nichts gegenüber Prologgewonnen hat. So können hier die Axiome beliebige Gestalt haben, etwa¬kann fliegen(X) ← pinguin(X).Bei Prolog müßte man nun Resolutionsschritte vorab berechnen, um etwa aufblocked(X) ← pinguin(X)zu kommen (das ist im allgemeinen nicht so einfach wie in diesem Beispiel, siehe [GL89]).Man muß sich beim Aufschreiben dieser Regel also über den Konflikt zu dem Defaultbewußt sein, während die Aussage ”Pinguine können nicht fliegen“ auch unabhängig vondem Default Sinn macht.Schließlich beachte man noch, daß diese Normalform nicht für beliebige PrädikateNegationen annimmt. Auch dies ist ein Unterschied zu einfachen Negations-Semantiken.Definition 2.3.12 (Erlaubt Normalformbildung): Eine Default-Semantik erlaubtdie Normalformbildung, wenn für alle Σ, Φ, ψ, ∆, ❁ mit Normalform Σ ′ , Φ ′ , ψ ′ , ∆ ′ , ❁ ′ undalle Σ-Grundsubstitutionen θ 1 , . . . , θ k (für die Ergebnisvariablen von ψ bzw. ψ ′ ) gilt:Φ ⊢ c Σ,∆,❁ ψθ 1 ∨ · · · ∨ ψθ k ⇐⇒ Φ ′ ⊢ c Σ ′ ,∆ ′ ,❁ ′ ψ′ θ 1 ∨ · · · ∨ ψ ′ θ k .Alle in Kapitel 5 behandelten Default-Semantiken außer der starken CWA erlauben dieNormalformbildung. Der Grund hierfür ist, daß die Default-Semantiken eigentlich garnicht die Struktur der Axiome und der Defaults betrachten oder gar die Namen derPrädikate. Es ist einzig und allein wichtig, welche Mengen von Default-Ausprägungenkonsistent angenommen werden können. Falls diese Mengen nun isomorph sind (wie esdie obige Normalformbildung gerade garantiert), dann verhält sich die Default-Semantikim wesentlichen auch gleich.Technisch ist das allerdings ziemlich aufwendig zu formalisieren und wird hier nur fürmodelltheoretische Vervollständigungen durchgeführt. Für syntaktische Vervollständigungengilt eine ganz entsprechende Aussage.Definition 2.3.13 (Ähnliche Modellmengen): Seien (∆ 1 , ❁ 1 ) und (∆ 2 , ❁ 2 ) Default-Spezifikationen über Σ 1 und Σ 2 und f: ∆ ∗ 1 → ∆ ∗ 2 eine bijektive Abbildung mitδ ❁ 1 δ ′ ⇐⇒ f(δ) ❁ 2 f(δ ′ ).Zwei Mengen I 1 und I 2 von Σ 1 - und Σ 2 -Interpretation heißen f-ähnlich, wenn• für alle I 1 ∈I 1 gibt es I 2 ∈I 2 mit { f(δ 1 ) ∣ ∣ δ 1 ∈∆ ∗ 1, I 1 |= δ 1}⊆{δ2∣ ∣ δ 2 ∈∆ ∗ 2, I 2 |= δ 2},• für alle I 2 ∈I 2 gibt es I 1 ∈I 1 mit { f(δ 1 ) ∣ ∣ δ 1 ∈∆ ∗ 1, I 1 |= δ 1}⊇{δ2∣ ∣ δ 2 ∈∆ ∗ 2, I 2 |= δ 2}.Definition 2.3.14 (rational): Eine Default-Semantik heißt rational, wenn für alleDefault-Spezifikationen (∆ 1 , ❁ 1 ) über Σ 1 und (∆ 2 , ❁ 2 ) über Σ 2 , die zugehörigen modelltheoretischenVervollständigungen sel 1 und sel 2 , und alle I 1 ⊆ I Σ1 und I 2 ⊆ I Σ2 folgendesgilt:

2.3. ANFRAGEN UND ANTWORTEN 47Wenn für ein f die Mengen I 1 und I 2 f-ähnlich sind, dann gilt für alle I 1 ∈ I 1und I 2 ∈ I 2 mit { f(δ 1 ) ∣ ∣ δ 1 ∈ ∆ ∗ 1, I 1 |= δ 1}⊆{δ2∣ ∣ δ 2 ∈ ∆ ∗ 2, I 2 |= δ 2}:I 1 ∈ sel 1 (I 1 ) =⇒ I 2 ∈ sel 2 (I 2 ).Satz 2.3.15:Ist eine Default-Semantik rational, so erlaubt sie die Normalformbildung.Beweis:Die bijektive Abbildung zwischen den Default-Ausprägungen seif(δθ) := default δ (X 1 , . . . , X n )θ.Man kann nun leicht aus jedem Σ-Modell I von Φ eine Σ ′ -Modell I ′ von Φ ′ machen, das diebezüglich f entsprechenden Default-Ausprägungen erfüllt. Dazu definiert manI ′ [default δ ] := { (c 1 , . . . , c n ) ∣ ∣ I |= δ〈X 1 ⊳ c 1 , . . . , X n ⊳ c n 〉 } ,I ′ [answer ] := { (c 1 , . . . , c n ) ∣ ∣ I |= ψ〈X 1 ⊳ c 1 , . . . , X n ⊳ c n 〉 } .Umgekehrt erfüllt das Σ-Redukt I eines Modells I ′ von Φ ′ mindestens die bezüglich f −1 entsprechendenDefault-Ausprägungen, denn Φ ′ enthält die Formelnδ ← default δ (X 1 , . . . , X n ).Damit ist die Voraussetzung der obigen Bedingung erfüllt.Gelte Φ ⊬ sel ψθ 1 ∨ · · · ∨ ψθ k . Dann gibt es also I ∈ sel ( Mod(Φ) ) mit I ̸|= ψθ 1 ∨ · · · ∨ ψθ k .Das oben konstruierte Modell I ′ von Φ ′ erfüllt gerade die f-entsprechenden Defaults, es ist alsonach der obigen Bedingung ein intendiertes Modell von Φ ′ . Nach der Konstruktion gilt natürlichI ′ ̸|= ψ ′ θ 1 ∨ · · · ∨ ψ ′ θ k , damit folgt Φ ′ ⊬ sel ′ ψ ′ θ 1 ∨ · · · ∨ ψ ′ θ k .Gelte umgekehrt Φ ′ ⊬ sel ′ ψ ′ θ 1 ∨ · · · ∨ ψ ′ θ k und sei I ′ das entsprechende intendierte Modell.Das Σ-Redukt I von I ′ erfüllt mindestens dieselben Defaults (unter f −1 ), ist also ein intendiertesModell von Φ. Außerdem enthält Φ ′ die Formelanswer(X 1 , . . . , X n ) ← ψ.Wegen I ′ ̸|= ψθ 1 ∨ · · · ∨ ψθ k gilt I ̸|= ψθ 1 ∨ · · · ∨ ψθ k und damit Φ ⊬ sel ψθ 1 ∨ · · · ∨ ψθ k .✷IntegritätsbedingungenZum Abschluß dieses Kapitels sollen noch einige informale Bemerkungen zu Integritätsbedingungengemacht werden, da sie zwar zu deduktiven Datenbanken dazugehören, aberim weiteren Verlauf dieser Arbeit nicht wichtig sind.Integritätsbedingungen sind Formeln, die die zulässigen Axiomenmengen (und Defaults)einschränken sollen, so daß Fehler erkannt werden. Der Maßstab für Fehler sinddabei die möglichen Zustände der realen Welt. Wenn die Datenbank etwa Geburts- undTodesjahr historischer Persönlichkeiten enthält, dann sollte die Differenz nicht-negativund kleiner als 120 sein. Manche Integritätsbedingungen werden auch erst durch Einschränkungenbei den angebotenen Datenstrukturen nötig. So hat etwa jede Person genaueine Blutgruppe. Dies ließe sich direkt mit einem (nicht-generierenden) Funktionssymbolformulieren. Hier muß man jedoch ein zweistelliges Prädikat und passende Integritätsbedingungenverwenden.

48 KAPITEL 2. DEDUKTIVE DATENBANKENFür die Erfüllung von Integritätsbedingungen gibt es verschiedene Formalisierungen:Erstens kann man sie einfach in die Axiomenmenge Φ einfügen, deren Konsistenz jaohnehin als überwacht vorausgesetzt ist.Zweitens kann man fordern, daß die Integritätsbedingungen mit der Axiomenmenge Φkonsistent sind. Dies bewirkt einerseits, daß die Integritätsbedingungen nicht bei derAnfragebearbeitung genutzt werden. Das ist nicht besonders wünschenswert, da es sichja um zusätzliches Wissen“ in der deduktiven Datenbank handelt, was natürlich auch”abfragbar sein sollte. Andererseits werden nur die Axiome überwacht, die Defaults könnenaber durchaus gegen die Bedingungen verstoßen. Aus diesen beiden Gründen ist die ersteLösung vorzuziehen.Drittens kann man verlangen, daß die Integritätsbedingungen mit der Vervollständigungcomp(Φ) der Axiomenmenge konsistent sind. Das bedeutet, daß die Menge derkorrekten Antworten auf die Negation der Integritätsbedingungen leer sein sollte. So läßtsich etwa eine Fremdschlüsselbedingung aufgrund der Einschränkung auf quantorenfreieFormeln nicht als Axiom formulieren, wohl aber als Anfrage:bestellung(X, Y ) ∧ ¬angebot(X).Dies liefert alle Aufträge über Waren, die gar nicht angeboten werden.Viertens kann man auch fordern, daß die Integritätsbedingungen als Anfrage mit ”ja“beantwortet werden, also vervollständigt impliziert werden. Das Problem ist dabei, daßIntegritätsbedingungen typischerweise Allaussagen sind, als Anfragen aber gerade nurExistenzaussagen zulässig sind. Wäre aber eine Anfrage der Form∀X, Y ( bestellung(X, Y ) → angebot(X) )erlaubt, so wäre sie im Fall von unvollständiger Information eine strengere Einschränkungals die dritte Formalisierung. Hier wird bei unvollständiger Information angenommen, daßdie Integritätsbedingung verletzt ist, während oben im Zweifelsfall davon ausgegangenwird, daß sie erfüllt ist. Mit neuen Prädikaten und entsprechenden Vervollständigungenist aber wohl eine Umrechnung zwischen beiden Formalisierungen möglich.Der Unterschied zur ersten Lösung ist, daß sich dort die Defaults automatisch andie Integritätsbedingungen anpassen, während sie beim dritten und vierten Vorschlag zueiner Integritäts-Verletzung führen können.Neben den hier betrachteten statischen Integritätsbedingungen, die sich auf jedeneinzelnen Zustand der Datenbank beziehen, gibt es auch dynamische oder temporale Integritätsbedingungen,die Zustandsübergänge bzw. Zustandsfolgen einschränken [Lip89].Dort wird auch auf die Überwachung von Integritätsbedingungen mittels entsprechendangepaßter Transaktionen eingegangen. Für einen Vorschlag zur direkten Überwachungstatischer Integritätsbedingungen sei etwa auf [BDM88, GL90] verwiesen.

Kapitel 3AnwendungsbeispieleIn diesem Kapitel werden einige Anwendungsbeispiele besprochen. Das Ziel ist, dieBrauchbarkeit allgemeiner Defaults zu motivieren, und zu zeigen, wie sie in konkretenAnwendungen gewählt würden. So wird am Beispiel schon die Semantik der Defaultsgeklärt, die dann in späteren Kapiteln formal definiert wird. Damit hat man einen Maßstabfür die Korrektheit dieser Definition — es sollten ja mindestens die Beispiele sobehandelt werden, wie es hier intuitiv richtig erscheint.Es wird sich aber auch zeigen, daß die Anforderungen manchmal widersprüchlichsind, es also verschiedene Semantiken für Defaults geben kann. Dies motiviert den hierverfolgten Ansatz, einen Überblick über alle möglichen Semantiken anzustreben.In diesem Kapitel werden auch Anwendungen betrachtet, die üblicherweise in anderenLogiken spezifiziert werden, etwa dynamischen oder objekt-orientierten. Hier wirdnatürlich eine Fassung in der aus Kapitel 2 bekannten Logik zugrunde gelegt, aber eswird damit zumindest angedeutet, daß sich die Ergebnisse dieser Arbeit auch auf andereLogiken übertragen lassen. Teilweise handelt es sich nur um syntaktischen Zucker“, der”in praktischen Spezifikationen sehr wichtig ist, aber leicht mechanisch entfernt werdenkann.3.1 Implizite NegationDie klassische Verwendung von Defaults ist die implizite Negation, die also auf Defaultsder folgenden Form basiert:¬p(X 1 , . . . , X n ).Im Datenbankbereich wurden solche Defaults erstmals verwendet, als man feststellte, daßsich bei der Auffassung einer relationalen Datenbank als Menge von Formeln ( ”Theorie-Ansatz“) Unterschiede zum üblichen Modell-Ansatz ergaben. Hier waren die betrachtetenAxiome zunächst Fakten, die dann auf Hornklauseln und Klauseln mit stratifizierter Negationerweitert wurden. In allen diesen Fällen gibt es bis auf Isomorphie nur ein intendiertesModell, d.h. für jede Formel ψ gilt, daß entweder ψ oder ¬ψ vervollständigt folgen. Dierepräsentierte Information ist dann also vollständig.49

50 KAPITEL 3. ANWENDUNGSBEISPIELEIm Datenbankbereich gibt es aber seit langem den Wunsch, auch unvollständige Informationdarstellen zu können, etwa mit Hilfe von Nullwerten. Es ist sicher einer derVorteile des Theorie-Ansatzes, daß sich hier verschiedene Arten von unvollständiger Informationauf einfache Weise beschreiben lassen. Natürlich muß die Semantik der Negations-Defaults entsprechend angepaßt werden, und es wird sich zeigen, daß die verschiedenenBeispiele hier unterschiedliche Semantiken verlangen.Faktenmengen und HornklauselnBeispiel 3.1.1: Eine relationale Datenbank kann als Menge von Fakten verstandenwerden. Dies wurde schon in der Einleitung am Beispiel einer Auftrags-Relation gezeigt:bestellungkunde waremeier taschenlampeschmidt radioschmidt batterienSie entspricht der Menge Φ mit folgenden Axiomen:bestellung(meier, taschenlampe),bestellung(schmidt, radio),bestellung(schmidt, batterien).Es sei nun nach den Kunden gefragt, die eine Taschenlampe ohne die zugehörigen Batterienbestellt haben, d.h. ψ ist folgende Formel:bestellung(X, taschenlampe) ∧ ¬bestellung(X, batterien).Natürlich ist die Antwort 〈X ⊳ meier〉 intuitiv korrekt. Dazu müßte für die verwendeteVervollständigung insbesondereΦ ⊢ c ¬bestellung(meier, batterien)gelten. Da eine Vervollständigung mindestens die logischen Folgerungen liefern muß, giltnatürlich Φ ⊢ c bestellung(meier, taschenlampe). Die Formel ψ〈X⊳ meier〉 folgt dann, weil⊢ c unter ∧ abgeschlossen ist.✷Das in diesem Beispiel gewünschte Verhalten läßt sich natürlich leicht auf beliebige FaktenmengenΦ verallgemeinern: Offenbar ist die Intuition, daß Grundliterale ausgewertetwerden sollen, indem in den Tabellen nachgeschaut wird. Die intendierte Vervollständigungist also:comp(Φ) := Φ ∪ {¬ϕ | ϕ ist ein positives Grundliteral mit ϕ ∉ Φ}.Dies ist ein Spezialfall der originalen CWA, die 1978 von Raymond Reiter vorgeschlagenwurde:cwa orig (Φ) := Φ ∪ {¬ϕ | ϕ ist ein positives Grundliteral mit Φ ⊬ ϕ}.Sie funktioniert für Mengen von Hornklauseln:

3.1. IMPLIZITE NEGATION 51Beispiel 3.1.2: Im obigen Beispiel könnte man etwa die Menge der bestellten Warenfolgendermaßen definieren:bestellt(X) ← bestellung(Y, X).Seien außerdem die angebotenen Waren in einer Relation angebot abgespeichert:angebot(taschenlampe), angebot(batterien), angebot(radio), angebot(fernseher).Man kann nun etwa nach den Waren fragen, die nicht bestellt sind:angebot(X) ∧ ¬bestellt(X).Hier muß die Vervollständigung das negative Grundliteral ¬bestellt(fernseher) liefern. ✷Man kann die originale CWA leicht auf beliebige Defaults erweitern:cwa naiv (Φ) := Φ ∪ {δ ∈ ∆ ∗ | Φ ⊬ ¬δ}.Auf diese Art wird also ganz direkt formalisiert, daß ein Default angenommen werdensoll, wenn keine gegenteilige Information vorliegt. Besteht ∆ aus den Formeln derForm ¬p(X 1 , . . . , X n ) für jedes Prädikat p, so erhält man gerade die originale CWA.Diese Default-Semantik ist allerdings noch etwas naiv. Sie zerstört die Konsistenzgenau dann, wenn es Konflikte zwischen Defaults gibt, d.h. wenn es δ 1 , . . . , δ n ∈ ∆ ∗ gibtmit Φ ⊢ ¬δ 1 ∨· · ·∨¬δ n , n ≥ 2 und Φ ⊬ ¬δ i für i = 1, . . . , n. Im Fall von Hornklauseln undNegations-Defaults kann dies nicht geschehen, denn der ”Schnitt“ zweier Herbrandmodelleist wieder ein Modell, d.h. wenn zwei negative Grundliterale einzeln angenommen werdenkönnen, so können sie auch gemeinsam angenommen werden.Stratifizierte NegationBeispiel 3.1.3:Es sei das Mittagessen für die Teilnehmer einer Tagung zu planen:teilnehmer(meier), teilnehmer(schmidt), . . . , vegetarier(schmidt).Natürlich kann man die Anfrage stellen, welche der Teilnehmer keine Vegetarier sind:teilnehmer(X) ∧ ¬vegetarier(X).Wenn man die Negation also in Anfragen verwenden darf, möchte man sie natürlich ganzentsprechend in den Regeln einsetzen können:normalkost(X) ← teilnehmer(X) ∧ ¬vegetarier(X).Das Problem ist nun, daß die Regel logisch äquivalent ist zunormalkost(X) ∨ vegetarier(X) ← teilnehmer(X)und sogar zuvegetarier(X) ← teilnehmer(X) ∧ ¬normalkost(X).Die intendierte Semantik ist dagegen nicht symmetrisch in den beiden Prädikaten. Es solletwa ¬vegetarier(meier) angenommen werden und nicht ¬normalkost(meier), obwohl

52 KAPITEL 3. ANWENDUNGSBEISPIELEbeides (einzeln) möglich wäre. Man kann dies auch so verstehen, daß die Intention desBenutzers hier ist, das Prädikat normalkost zu definieren. Dagegen soll die Semantik desPrädikates “vegetarier” durch diese Regel nicht verändert werden.Dies ist aber eine Entwurfsentscheidung. Würde es mehr Vegetarier geben, so wärees günstiger, die Teilnehmer mit Normalkost explizit abzuspeichern und die Regel in deranderen Richtung zu benutzen.✷In Kapitel 2 wurde gefordert, daß Vervollständigungen logisch äquivalente Axiome gleichbehandeln sollen. Es genügt daher nicht, diese Entwurfsentscheidung nur durch dieSchreibweise der Regel zum Ausdruck zu bringen.Hier hilft die Einführung von Prioritäten zwischen den Defaults: Man möchte ja, daßim Zweifelsfall ¬vegetarier(X) angenommen wird, und nicht ¬normalkost(X). Der ersteDefault hat also eine höhere Priorität.Man kann dies auch so verstehen, daß die Vervollständigung stufenweise berechnetwird. Zunächst werden die Defaults der Form ¬vegetarier(X) angenommen, soweit diesmöglich ist, und erst danach bekommen die Defaults der Form ¬normalkost(X) ihreChance. Dies entspricht der Vorstellung, daß die Regelnormalkost(X) ← teilnehmer(X) ∧ ¬vegetarier(X)das Prädikat vegetarier benutzt, um das Prädikat normalkost zu definieren. Also solltedas benutzte Prädikat zuerst ”berechnet“ werden (durch Anwendung der Defaults). Wennman also die Prioritäten aus der Schreibweise der Regeln ableiten will, so muß man denbenutzten Prädikaten jeweils eine höhere Priorität (kleinerer l-Wert) geben.In dieser strengen Form könnte man nur hierarchische Klauselmengen behandeln, einrekursiv definiertes Prädikat, das sich also selbst benutzt, wäre verboten. Hier hilft dieErkenntnis, daß es wie bei den Hornklauseln keine Konflikte zwischen Negations-Defaultsgibt, solange das Prädikat nicht negativ von sich selbst abhängt. Die allgemeine Regel istalso, daß bei einer Regel der Formp(. . .) ← q 1 (. . .) ∧ · · · ∧ q n (. . .) ∧ ¬r 1 (. . .) ∧ · · · ∧ r m (. . .)l ( ¬q i (. . .) ) ≤ l ( ¬p(. . .) ) und l ( ¬r i (. . .) ) < l ( ¬p(. . .) ) gelten muß. Falls solche Prioritätsstufenfür eine Regelmenge Φ konsistent vergeben werden können, heißt Φ stratifiziert.Für stratifizierte Regelmengen ist eine stufenweise Version der naiven CWA die intendierteSemantik.cwa 0 (Φ) := Φcwa i (Φ) := cwa i−1 (Φ) ∪ { δ ∈ ∆ ∗ ∣ ∣ l(δ) = i, cwa i−1 (Φ) ⊬ ¬δ } .Es werden hier also zunächst die Defaults der höchsten Prioritätsstufe 1 angenommen,dann die der Stufe 2 und so weiter.Indem man die Prioritäten auf diese Weise aus der Schreibweise der Regeln ableitet,hat man natürlich die Einschränkung umgangen, daß Vervollständigungen äquivalenteAxiomenmengen gleich behandeln müssen: Durch unterschiedliche Schreibweisenbekommt man hier verschiedene Prioritäten, die dann auch verschiedene Vervollständigungenliefern.

3.1. IMPLIZITE NEGATION 53Es handelt sich dabei aber nicht nur um einen Trick zur Behandlung derartiger Beispiele.Man hat vielmehr jetzt die in den Regeln verborgene Zusatzinformation explizitgemacht, so daß nun wieder beliebige logische Umformungen zulässig sind. Außerdemhat diese Zusatzinformation auch eine natürliche Interpretation als ”Import“-Beziehungzwischen den verschiedenen Prädikat-Definitionen.Beispiel 3.1.4: Es sind allerdings nicht alle Axiomenmengen stratifiziert. FolgendeRegel würde etwa beim Nim-Spiel die Spielzustände beschreiben, bei denen der Gewinnerzwungen werden kann:gewinn(X) ← zug(X, Y ) ∧ ¬gewinn(Y ).Bei diesem Spiel nehmen die beiden Spieler abwechselnd 1 oder 2 Streichhölzer aus einemVorrat von anfangs z.B. 7 Hölzern. Verloren hat, wer keinen Zug mehr machen kann (weilkeine Hölzer übrig sind).Bei diesem Beispiel müssen die Default-Instanzen ¬gewinn(n) umso höhere Prioritäthaben, je kleiner n (die Anzahl noch verbliebener Streichhölzer) ist. Dann kann man alsozunächst ¬gewinn(0) annehmen, dies impliziert gewinn(1) und gewinn(2). Als nächstenDefault kann man dann ¬gewinn(3) annehmen, und so weiter.Das Problem bei diesem Beispiel ist, daß das Wissen über die richtigen Prioritäten indem Prädikat zug verborgen ist, also nicht über eine einfache syntaktische Analyse derRegeln ermittelt werden kann.✷In der logischen Programmierung sind eine ganze Reihe von Negations-Semantiken entwickeltworden, die dieses und ähnliche Beispiele direkt behanden können, etwa [VGRS91].Allerdings ist bei diesem Beispiel wichtig, daß zug keine Zyklen enthält, sonst zerstörenauch diese Semantiken die Konsistenz oder liefern nur ein partielles (dreiwertiges) Modell.Bei deduktiven Datenbanken sind nun Änderungen der Fakten recht häufig. In diesemBeispiel könnte man durch eine Einfügung in zug einen Zustand erreichen, bei dem dieNegationssemantik zusammenbricht. Aus diesem Grund scheint es bei deduktiven Datenbankenim Unterschied zu logischen Programmen besser, die Steuerungsinformationgetrennt vom logischen Inhalt zu formulieren. Bei deduktiven Datenbanken ist die Einschränkungauf stratifizierte Formelmengen also üblich. Anfragen der Relationenalgebraan Faktenmengen kann man sogar in hierarchische (d.h. nicht-rekursive) Formelmengenübersetzten.Disjunktive InformationBeispiel 3.1.5: In einem Expertensystem zur Fehlerdiagnose von Computern könnteman etwa schließen: Wenn die Versorgungsspannung fehlt, sind die Sicherungen durchgebranntoder das ist Netzteil defekt“ (möglicherweise auch ”beides).defekt(sicherung) ∨ defekt(netzteil) ← symptom(keine versorgungsspannung).

54 KAPITEL 3. ANWENDUNGSBEISPIELEDie originale CWA würde hier ¬defekt(sicherung) und ¬defekt(netzteil) annehmen (dennes folgt ja weder defekt(sicherung) noch defekt(netzteil)). Damit wird natürlich die Konsistenzzerstört.Zunächst kann man es natürlich als zu optimistisch ansehen, überhaupt Negations-Defaults für defekt anzunehmen. Das bestärkt natürlich den hier verfolgten Ansatz, daßDefaults Gegenstand des Datenbankentwurfs sein sollten, und nicht fest in die Anfragebeantwortungeingebaut.In diesem Beispiel wäre es allerdings sehr unökonomisch, jedes Teil prüfen zu wollen,wenn man den Fehler schon soweit lokalisiert hat, daß die Versorgungsspannung ausgefallenist. Weiß man dagegen nur, daß der Computer defekt ist, so hat man eine großeDisjunktiondefekt(cpu) ∨ defekt(hauptspeicher) ∨ · · · ∨ defekt(tastatur).Diese Disjunktion sollte die Anwendung der betreffenden Negations-Defaults verhindern,aber nur, solange man nicht gleichzeitig spezifischere Informationen hat. Dies ist einwesentlicher Unterschied zu Semantiken disjunktiver logischer Programme [RT88], dieeinfach alle entsprechenden Negations-Defaults blockieren, wenn syntaktisch eine solcheDisjunktion aufgeschrieben ist.Natürlich wäre es in diesem Beispiel wohl noch realistischer, wenn man auch typischeFolgefehler berücksichtigen würde. Wenn man etwa erzwingen möchte, daß die Sicherungenüberprüft werden, wenn das Netzteil defekt war, so könnte man folgenden Defaultverwenden:defekt(sicherung) ← defekt(netzteil).Dies ist natürlich nur ein Default, es ist auch möglich, daß das Netzteil defekt ist, ohnedaß die Sicherungen in Mitleidenschaft gezogen wurden. Aber dieser Default steht imKonflikt mit ¬defekt(sicherung), so daß sich die beiden Defaults gegenseitig blockieren(falls das Netzteil defekt ist).Damit wurde jetzt erstmals der Bereich der reinen Negations-Defaults verlassen. Beider Fehler-Diagnose gibt es noch viele weitere solcher Faustregeln, die sich sehr natürlichals Defaults formulieren lassen.✷In diesem Beispiel möchte man also diejenigen Negations-Defaults annehmen, die nichtan einer minimalen positiven Grundklausel beteiligt sind, die aus den Axiomen Φ folgt(minimal in dem Sinne, daß keine Teilklausel auch aus Φ folgt). Dies liefert geradedie GCWA [Min82]. Die Verallgemeinerung der GCWA auf beliebige Defaults ist dievorsichtige CWA, die in Kapitel 5 behandelt wird.Dies ist aber nicht die einzige mögliche Negations-Semantik bei disjunktiver Information:Beispiel 3.1.6: Disjunktive Information entsteht auch bei Regeln über (biologische)Vererbung, etwa bei Blutgruppen:blutgruppe(X, a) ∨ blutgruppe(X, 0 ) ←eltern(X, Y 1 , Y 2 ) ∧ blutgruppe(Y 1 , a) ∧ blutgruppe(Y 2 , 0 ).

3.1. IMPLIZITE NEGATION 55Haben die Eltern die Blutgruppen a und 0 , so kann auch das Kind nur eine dieser Blutgruppenhaben.Falls für eine Person X, etwa anton, die Voraussetzungen erfüllt sind, so könnennatürlich die beiden Negations-Defaults ¬blutgruppe(anton, a) und ¬blutgruppe(anton, 0 )nicht angenommen werden (es sei denn, man hätte genauere Information über die Blutgruppevon anton). Es ist aber durchaus möglich und wünschenswert, ihre Disjunktionanzunehmen:¬blutgruppe(anton, a) ∨ ¬blutgruppe(anton, 0 ).Damit wird aus dem ”oder“ also ein ”exklusives oder“.Bei diesem Beispiel könnte man natürlich anstelle der Defaults einfach die Schlüsselbedingungblutgruppe(X, Y 1 ) ∧ blutgruppe(X, Y 2 ) → Y 1 = Y 2verwenden (jede Person hat genau eine Blutgruppe). Bei dem nächsten Beispiel ist diesanders:Beispiel 3.1.7: Auch Vorschriften enthalten häufig disjunktive Information. Wennman etwa abspeichert, welche Übungsscheine welche Studenten gemacht haben, so ist einNegations-Default angemessen:schein(anton, programmieren 1 ), schein(anton, algebra), . . .Hier würde eine Schlüssel-Bedingung also schon nicht mehr anwendbar sein.Die Vordiploms-Ordnung kann jetzt verlangen, daß ein Schein für das Programmierpraktikumin Modula oder das in Assembler erworben wird:schein(X, prakt modula) ∨ schein(X, prakt assembler) ← vordiplom(X).Hier ist die Disjunktion¬schein(anton, prakt modula) ∨ ¬schein(anton, prakt assembler)natürlich sehr wahrscheinlich.Natürlich könnte man zunächst auf die Idee kommen, daß der Datenbankentwerfer ebenentsprechende disjunktive Defaults explizit aufschreiben sollte. Dies wäre jedoch mindestenssehr umständlich, im allgemeinen kann man die Länge der benötigten Disjunktionenauch gar nicht vorhersehen (weil sie abhängig von später eingefügten Fakten ist). Dahererscheint es sinnvoll, daß die Default-Semantik dem Entwerfer diese Arbeit abnimmt.Tatsächlich gibt es auch eine sehr natürliche Semantik mit dieser Eigenschaft, undzwar die ”minimalen Modelle“ [McC80]. Ziel der Negations-Defaults ist ja, daß die Interpretationder Prädikate keine überflüssigen Tupel enthalten, also minimal sind in demSinn, daß ohne Verletzung der Axiome keine Tupel herausgenommen werden können.Die minimalen Modelle und ihre Verallgemeinerung auf beliebige Defaults werden nochausführlich in Kapitel 5 untersucht.✷✷

56 KAPITEL 3. ANWENDUNGSBEISPIELEUnvollständige Relationen und unsichere InformationEine Tabelle (d.h. eine Menge von Fakten) kann auch so unvollständig sein, daß man sichauf rein logische Folgerungen beschränken möchte (im Gegensatz zu der obigen Annahme,daß jedes nicht explizit aufgeführte Faktum auch nicht gilt):Beispiel 3.1.8:auftreten:Dieser Fall kann etwa bei einem unvollständigen TelefonverzeichnisΦ := {telefon(anton, 1111), telefon(berta, 2222)}.Hier sollte natürlich nicht ¬telefon(cäsar, 3333) folgen, denn es kann nicht ausgeschlossenwerden, daß cäsar wirklich diese Telefonnummer hat.Allerdings ist auch bei einer so unvollständigen Telefonliste die rein logische Folgerungnicht unbedingt die beste Vervollständigung. So wäre bei der Anfrage telefon(anton, 3333)die Antwort nein“ intuitiv korrekt, die logische Folgerung würde aber unbekannt“ liefern.Der Grund ist, daß man nicht explizit vermerkt hat, daß eine Person nur eine” ”Telefonnummer hat. Natürlich könnte man eine solche Schlüsselbedingung hinzufügen,dann wäre es aber unmöglich, mehrere Telefonnummern für eine Person einzutragen (etwadienstlich/privat). Die Lösung ist, daß man die Schlüsselbedingung nicht als Axiom, sondernals Default formuliert:telefon(X, Y 1 ) ∧ telefon(X, Y 2 ) → Y 1 = Y 2 .Umgekehrt gehört zu einer Telefonnummer meist auch nur eine Person, obwohl es auchhier Ausnahmen gibt (Angehörige derselben Familie).✷Beispiel 3.1.9: Wenn man über ein Prädikat nur logische Folgerungen zulassen möchte,ergeben sich manchmal Schwierigkeiten im Zusammenspiel mit Defaults über anderePrädikate. Angenommen, man erweitert das Telefonverzeichnis um Vorwahlnummerntelefon(anton, 011, 1111), telefon(berta, 022, 2222)und definiert dann, wer außerhalb wohnt:außerhalb(X) ← telefon(X, Y 1 , Y 2 ) ∧ Y 1 ≠ 011.Nimmt man nun Negations-Defaults über außerhalb an, so folgt mit dieser Regel¬telefon(cäsar, 022, 3333).Abhilfe verschaffen hier die zunächst vielleicht sinnlos erscheinenden Defaultstelefon(X, Y 1 , Y 2 ), ¬telefon(X, Y 1 , Y 2 ).Diese Defaults blockieren sich natürlich gegenseitig, aber sie blockieren auch jeden anderenDefault, der neue Information über telefon liefern würde.✷Diese Technik kann man allgemein benutzen, um eine Art Modularisierung zu erreichen.Wenn etwa ein Modul A das Modul B benutzt, so kann man den Defaults über B höchstePriorität geben, dann eine Schicht von solchen blockierenden Defaults einziehen, undanschließend die Defaults von A verwenden. Auf diese Art wird verhindert, daß die

3.1. IMPLIZITE NEGATION 57Defaults von A irgendwelche Rückwirkungen auf die Prädikate von B haben können, dasbenutzende und das definierende Vorkommen ist hier klar getrennt.Natürlich kann man mit dieser Technik nicht verhindern, daß Axiome in A neue Informationüber die Prädikate von B liefern. Das kann man aber durch entsprechende syntaktischeEinschränkungen erreichen, wie etwa, daß jedes Axiom in A ein positives Literalmit einem Prädikat aus A enthalten muß. Dann kann jedes Modell der Prädikate aus Bzu einem Modell aller Prädikate erweitert werden. Diese syntaktische Einschränkung istganz üblich. Typischerweise sind es nur die Negations-Defaults, die die Anwendung derKontraposition einer Regel gestatten.Beispiel 3.1.10: Es kommt auch vor, daß man zwar Negations-Defaults über eineRelation annehmen möchte, sie aber für bestimmte Ausnahmetupel blockieren muß.So könnte etwa dora früher die Telefonnummer 4444 gehabt haben, aber sie hat immerdavon gesprochen, daß sie ihr Telefon eigentlich abmelden wollte. Also sollte man dieAnfrage telefon(dora, 4444) mit unbekannt“ beantworten, für jede andere Telefonnummer”sollte jedoch ein Negations-Default angenommen werden.Hat man nur diese eine Ausnahme, so kann man einfach den Defaulttelefon(dora, 4444)verwenden, um die Ausprägung ¬telefon(dora, 4444) des allgemeinen Negations-Defaults¬telefon(X, Y ) zu neutralisieren.Gibt es mehr Ausnahmen, so kann man sie in einer Relation unsichere nummer abspeichernund dann die Default-Regeltelefon(X, Y ) ← unsichere nummer(X, Y )verwenden. Wieder blockieren sich die Defaults gegenseitig.Mit dieser Technik kann man auch die in [RT88] vorgeschlagene Semantik für disjunktivelogische Programme simulieren. Das Problem ist hier, daß bei einer Regel der Formp 1 (X) ∨ p 2 (X) ← q(X)die Negations-Defaults ¬p 1 (X) und ¬p 2 (X) für alle X mit q(X) blockiert sind, selbstdann, wenn etwa p 1 (X) mit einer anderen Regel beweisbar wäre. Beispielsweise würdebei Φ 1 := {p(a) ∨ p(b), p(a)} der Negations-Default ¬p(b) nicht angenommen werden, beider logisch äquivalententen Formelmenge Φ 2 := {p(a)} aber schon.Der Trick besteht nun darin, alle Prädikate zu verdoppeln und die obige Regel (automatisch)umzuschreiben in folgende Regeln:p 1 (X) ∨ p 2 (X) ← q(X).möglich p 1 (X) ← q(X).möglich p 2 (X) ← q(X).Mit den Negations-Defaults für alle Prädikate und den Default-Regelnp i (X) ← möglich p i (X)erhält man nun das gewünschte Verhalten.✷

58 KAPITEL 3. ANWENDUNGSBEISPIELENullwerteRelationale Datenbanken bieten häufig Nullwerte an, um unvollständige Information abzuspeichern.Nullwerte können allerdings sehr unterschiedliche Bedeutungen haben, etwa” unbekannt“, ” keine Information vorhanden“, ” nicht anwendbar“, ” beliebig“ oder ” keinWert vorhanden“. Relationale Datenbanken bieten meist nur Nullwerte mit einer festenBedeutung, die allerdings nicht immer völlig klar ist (insbesondere wird dabei von einerdreiwertigen Logik Gebrauch gemacht, hauptsächlich um eine effiziente Auswertung derAnfragen zu erlauben).Beispiel 3.1.11: Es sei wieder eine Liste von Telefonnummern abzuspeichern in derFormΦ := { telefon(anton, 1111), telefon(berta, 2222) } .Falls die Telefonliste so unvollständig ist, daß man über nicht eingetragene Personenkeine Aussage machen möchte, muß man explizit eintragen, wenn bekannt ist, daß einebestimmte Person kein Telefon hat. Dies könnte mit einem Nullwert geschehen in derForm telefon(cäsar, —). Gemeint ist aber die Aussage¬telefon(cäsar, X),die logisch gesehen wesentlich klarer ist. Der Nullwert in der Bedeutung kein Wert ”vorhanden“ ist also nur dann nötig, wenn solche Formeln in der zugrundeliegenden Logiknicht zulässig sind. Allgemein ist die Vielzahl verschiedener Nullwerte wohl nur aus demZwang entstanden, in einem relationalen System alles als Tabelle notieren zu müssen. ✷Beispiel 3.1.12: Das Telefonverzeichnis sei im folgenden so vollständig, daß man dieüblichen Negations-Defaults annehmen kann. Dann muß man natürlich mögliche Lückenim Wissen explizit vermerken. Wenn man etwa nicht weiß, ob cäsar ein Telefon hat, sokann man das mit einem Nullwert in der Bedeutung von keine Information vorhanden“”tun: telefon(cäsar, —). Solche Nullwerte kann man mit der in Beispiel 3.1.10 gezeigtenTechnik behandeln, man hat ja hier nur alle Negations-Defaults der Form¬telefon(cäsar, X)zu blockieren.Beispiel 3.1.13: Am interessantesten sind natürlich Nullwerte in der Bedeutung unbekannt“.Es handelt sich hier um eine ”Existenzaussage∃X ( telefon(cäsar, X) ) .Allerdings kann man in der Logik aus Kapitel 2 keine Existenzaussagen formulieren.Die Standard-Lösung ist, eine neue Konstante ( ”Skolemkonstante“) für diesen Wert einzuführen:telefon(cäsar, c).Aber auch dies funktioniert so noch nicht, weil hier generell angenommen wird, daß verschiedeneKonstanten auch verschiedene Werte bezeichnen. Aus diesem Grund kann etwa✷

3.2. VERERBUNG IN OBJEKT-ORIENTIERTEN ANSÄTZEN 59der Default ¬telefon(cäsar, 3333) angenommen werden, obwohl cäsar ja eventuell geradediese Telefonnummer hat. Eine Annäherung an die Bedeutung des Nullwerts wäre es,die entsprechenden Negations-Defaults wie oben gezeigt zu blockieren, etwa mit Hilfe derDefault-Regeltelefon(X, Y ) ← telefon(X, c).Dies bringt natürlich noch nicht zum Ausdruck, daß c und 3333 möglicherweise gleichsind.Eine etwas aufwendige, aber korrekte Lösung wäre es, die Annahme eindeutiger Namenwieder aufzuheben, indem man ein eigenes Gleichheitsprädikat equal einführt. Insbesonderemüßte man die Verträglichkeit mit den Prädikaten fordern:telefon(X, Y ′ ) ← telefon(X, Y ) ∧ equal(Y, Y ′ ).Ohne weitere Defaults wirkt sich das noch nicht aus, weil weiterhin Negationsdefaultsüber telefon angenommen werden können, sie implizieren dann einfach neue Informationüber equal. Im Extremfall kann man dies völlig ausschließen mit den nun schon bekanntenDefaultsequal(X, Y ), ¬equal(X, Y ).Dann müßte man aber die Axiome der eindeutigen Namen für die normalen Konstantenexplizit aufschreiben, etwa ¬equal(1111, 2222). Geschickter ist es, neue Information überdas Gleichheitsprädikat nur für die Nullwerte wie c zu verbieten.Wenn man equal nur dazu verwendet, in konsistenter Weise Negations-Defaults zublockieren, so braucht man es auch nicht ganz als Gleichheitsprädikat zu spezifizieren.Insbesondere ist die Reflexivität überflüssig, die ja einen enormen Aufwand erzeugenwürde.✷3.2 Vererbung in objekt-orientierten AnsätzenWie in der Einleitung schon erwähnt wurde, ist es wünschenswert, objekt-orientierteStrukturierungsmöglichkeiten in deduktive Datenbanken zu integrieren.Einer der Ursprünge der Objekt-Orientierung ist das Modul-Konzept in Programmiersprachen.Daher erscheint es recht offensichtlich, daß bei einer solchen Integration jedesObjekt eine eigene kleine deduktive Datenbank enthalten sollte. Insbesondere sollte esalso möglich sein, Regeln in den Objekten abzuspeichern. Momentan sind viele Ansätzedagegen zweistufig: Auf der unteren Ebene hat man eine Objekt-Datenbank und auf deroberen Ebene Regeln über diese Objekte.Ein anderer Ursprung der Objekt-Orientierung ist der Wunsch, Programmcode wiederzuverwenden,also Software auf eine differentielle Art zu entwickeln, indem ein Modulaus einer Bibliothek ausgewählt wird, einige neue Funktionen hinzugefügt und einige alteüberschrieben werden. Dies führte zu den bekannten Vererbungs-Hierarchien in objektorientiertenSpezifikationen.

60 KAPITEL 3. ANWENDUNGSBEISPIELEEs gibt verschiedene Möglichkeiten, einen solchen Vererbungs-Mechanismus in deduktiveDatenbanken zu integrieren. Ein offensichtlicher syntaktischer Weg wäre es, demBenutzer zu erlauben, die Vererbung von Regeln gezielt zu unterdrücken. Dies wärenatürlich einerseits etwas unbequem, weil man häufig genau angeben muß, welche Regelnman ausschließen will (automatisch könnte man ja wohl nur alle Regeln über ein Prädikateliminieren). Andererseits ist die Ebene der Regeln meist auch schon zu hoch, denntypischerweise will man nur einige wenige, möglicherweise bedingte Ausnahmen zu denRegeln angeben, und sie nicht völlig neu formulieren.In dieser Situation ist es naheliegend, die vererbten Regeln als Defaults anzusehen,die von spezifischerer Information überschrieben werden können.Beispiel 3.2.1: Ein einfaches Beispiel sind die unterschiedlichen Rabatte, die verschiedeneKlassen von Kunden bekommen. So bekommen allgemeine Kunden typischerweise0% auf alle Produkte. Der Subtyp der Universitäts-Kunden bekommt dagegen 30% aufHardware und 50% auf Software. Diesen Kunden wird vermutlich erst später klar, daßes außer Hardware und Software auch noch den Bereich der Dienstleistungen (z.B. Wartungsverträge)gibt, auf den sie die ererbten 0% bekommen. Für einen speziellen Kundenmit ausreichendem Verhandlungsgeschick können natürlich alle Rabatte noch einmalüberschrieben werden.kunderabatt(X, 0) ← produkt(X)uni kunderabatt(X, 30) ← hardware(X)rabatt(X, 50) ← software(X)uni hannoverrabatt(risc500 , 40)Formulierungen wie die obigen sind noch objekt-lokal, man möchte natürlich mehrereKunden in der Datenbank haben. Wenn man keine spezielle Logik einsetzt, muß manzunächst das Prädikat rabatt um ein zusätzliches Argument für das aktuelle Objekt (denKunden) erweitern.Außerdem hat die in Kapitel 2 eingeführte Logik keine Subtypen, man kann sie abermit Prädikaten wie etwa uni kunde simulieren. Die betrachteten Defaults lauten alsorabatt(X, Y, 0) ← produkt(Y ) ∧ kunde(X).rabatt(X, Y, 30) ← hardware(Y ) ∧ uni kunde(X).rabatt(X, Y, 50) ← software(Y ) ∧ uni kunde(X).

3.2. VERERBUNG IN OBJEKT-ORIENTIERTEN ANSÄTZEN 61Dabei hat der erste niedrigere Priorität (also einen höheren l-Wert), weil er aus demSupertyp stammt und daher weniger spezifisch ist. Die in den Objekten spezifiziertenFakten werden in Axiome übersetzt:rabatt(uni hannover, risc500 , 40).Hinzu kommt noch die Typisierungs-Information:kunde(X) ← uni kunde(X).uni kunde(uni hannover).Außerdem ist eine Schlüssel-Bedingung für rabatt nötig:rabatt(X 1 , X 2 , Y ) ∧ rabatt(X 1 , X 2 , Y ′ ) → Y = Y ′ .Trägt man nun noch Fakten über die Produkte ein, so hat diese Spezifikation unter derstufenweisen CWA das gewünschte Verhalten.Zur objekt-lokalen Notation ist schließlich noch zu bemerken, daß mit einer Schreibweisewie X.software auf ein anderes Objekt Bezug genommen werden kann. Dies wirdmit einer analogen Transformation wie für rabatt in software(X) übersetzt. Oben wurdezur Vereinfachung bereits dieses Ergebnis eingesetzt.✷Man kann jetzt natürlich auch ”mehrfache Vererbung“ betrachten, also Objekttypen mitmehr als einem Obertyp. Hier werden erstmals partiell geordnete Defaults nötig, wie mansich leicht an folgender Typ-Struktur klar machen kann:C 2B❅❅C 1 AHier soll keine Priorität zwischen den in B und C 1 spezifizierten Defaults bestehen, undauch keine Priorität zwischen denjenigen aus B und C 2 . Alle diese Defaults müßten alsodenselben l-Wert haben. Andererseits sollen die Defaults aus C 1 die Defaults aus C 2überschreiben, müssen also einen echt kleineren l-Wert haben. Daher gibt es keine Stufeneinteilungl der Defaults, die die gewünschten Prioritäten zum Ausdruck bringt.Es ist nun naheliegend, die Subtyp-Beziehung direkt als Prioritätsrelation einzusetzen.Dies ist auch möglich, weil Prioritätsrelationen beliebige partielle Ordnungen sein können(ebenso wie die Subtyp-Beziehung).Beispiel 3.2.2: Mehrfache Vererbung führt natürlich zu unvollständiger Information,wenn die ererbten Formeln sich widersprechen. Es gibt dann wieder die oben erwähntenunterschiedlichen Möglichkeiten:Sei in Beispiel 3.2.1 noch der Objekttyp Großkunde“ eingeführt, der auf Hardware30%, auf Software 40% und auf Dienstleistungen 20% Rabatt bekommt. Es kann”dann natürlich auch Universitäten geben, die Großkunden sind.

62 KAPITEL 3. ANWENDUNGSBEISPIELEuni kunderabatt(X, 30) ← hardware(X)rabatt(X, 50) ← software(X)kunderabatt(X, 0) ← produkt(X) ❅❅❅❅ uni hannoverrabatt(risc500 , 40)groß kunderabatt(X, 30) ← hardware(X)rabatt(X, 40) ← software(X)rabatt(X, 20) ← dienstleistungen(X)Da man Rabatte im allgemeinen nicht addieren kann, werden solche Kunden wohl 20% aufDienstleistungen, 30% auf Hardware und 50% auf Software bekommen. Natürlich kannman von der Default-Semantik nicht erwarten, daß sie dies völlig automatisch erkennt.Klar ist, daß jede vernünftige Default-Semantik die 30% auf Hardware liefern sollte,denn hier unterscheiden sich die geerbten Werte nicht. Wählt man nun die minimaleModelle“-Semantik, so erhält man für Software wenigstens die Disjunktion, also ”40% oder 50%. Für Dienstleistungen erhält man dagegen die 20% von den Großkunden,denn Universitäten haben ihre 0% von den allgemeinen Kunden geerbt, diese sind aberein Obertyp von Großkunden. An dieser Stelle könnten andere Vererbungssemantikennatürlich auch eine Disjunktion 0% oder 20% liefern.Man könnte natürlich auch eine stärkere Auslöschung wünschen, falls man die Disjunktion40% oder 50% auf Software für zu unsicher hält. Die in Kapitel 5 vorgestelltevorsichtige CWA“ würde gerade alle Informationen über den Rabatt auf Software löschen.”Die Rabatte auf Hardware und Dienstleistungen bleiben dabei erhalten.✷Beispiel 3.2.3: Es ist noch interessant, festzuhalten, daß bei der Default-Semantikder Vererbung einmal überschriebene Regeln später wieder zum Zuge kommen können.Angenommen, man hat ein einstelliges Prädikat p mit einer Schlüsseldeklarationp(X) ∧ p(X ′ ) → X = X ′ .Dieses Prädikat kann also nur einen Wert annehmen. Sei nun folgende Spezifikation mitdrei Objekttypen A, B, C betrachtet:A :B :C :p(a)p(b)p(a) ∨ p(c)

3.2. VERERBUNG IN OBJEKT-ORIENTIERTEN ANSÄTZEN 63Da sich die in A und B spezifizierten Formeln widersprechen, wird p(a) überschrieben.Die in C spezifizierte Disjunktion überschreibt wiederum p(b). Da es nun aber möglichist, p(a) anzunehmen, wird diese Formel aus A wieder wirksam: Für Objekte des Typs Cgilt p(a) und ¬p(c).✷Beispiel 3.2.4: Bei der Vererbung werden aus den Regeln Defaults. Wenn man aberzuläßt, daß außerdem noch Defaults explizit angegeben werden, so sind die Prioritätennicht mehr so klar. Beispielsweise könnte man in einem Obertyp die Prädikate p und qdurch Aufzählung von Fakten definiert haben:p(a), q(a), q(b).Hinzu kommen natürlich noch die üblichen Negations-Defaults:¬p(X), ¬q(X).In einem Untertyp definiert man nun ein zusätzliches Prädikat r durch folgende Regel:r(X) ← ¬p(X) ∧ q(X)zusammen mit dem Negations-Default ¬r(X). Gibt man nun diesem Default höherePriorität als dem entsprechenden Default ¬p(X) aus dem Obertyp, so verändert man invermutlich nicht beabsichtigter Weise das Prädikat p: Der Default ¬r(b) wird hier demDefault ¬p(b) vorgezogen, es folgt also plötzlich p(b).Das Problem ist hier, daß die von der Vererbungshierarchie und die von der Stratifizierungstammenden Prioritäten sich widersprechen. Man kommt hier nicht ohne Hilfevom Datenbankentwerfer aus, denn in anderen Situationen wäre es sehr wohl denkbar,daß das ererbte Prädikat p überschrieben werden soll, und zwar unter Verwendung desneu eingeführten Prädikates r. Man muß vom Datenbankentwerfer also wohl verlangen,daß er relative Prioritäten zu den ererbten Prioritäten spezifiziert. Alternativ könnte erauch angeben, daß bestimmte Prädikate bei der Vererbung nicht überschrieben werdensollen.✷Die Semantik der Vererbung logischer Formeln ist ein interessantes Forschungsthema. Indem Vorschlag aus [KLW90] werden im wesentlichen Werte vererbt und nicht Formeln;spezifiziert man in einer ”Objektklasse“ etwa eine (exklusive) Disjunktion, so haben entwederalle Instanzen den einen Wert, oder alle haben den anderen Wert (sofern keinespezifischere Information vorliegt). In [LU92] wird diese Semantik weiter untersucht, insbesondereauch ihre algorithmische Seite. Der Ansatz von [LV91] berücksichtigt sehr starkdie Schreibweise der Formeln als Implikationen, dadurch werden unter Umständen Formelnvorgezogen, die wesentlich höher in der Objekthierarchie spezifiziert sind. Schließlichsei noch auf die Theorie der Vererbungsnetze verwiesen, eine Beziehung zum nichtmonotonenSchließen wird etwa in [Eth88, Mak92] hergestellt.Es gibt natürlich noch viele weitere Aspekte einer Integration von Objekt-Orientierungund Logik. Zum einen ist das Lokalitätsprinzip zu nennen: Kein Objekt sollte Aussagenüber andere Objekte enthalten. Einige erste Untersuchungen hierzu finden sich in [BL91].

64 KAPITEL 3. ANWENDUNGSBEISPIELEAndererseits ist wohl eine wesentlich reichere Typstruktur wünschenswert, wie sie insbesonderevon der F-Logik [KLW90] geboten wird. Schließlich haben Objekte auch nocheinen inneren Zustand, der über Änderungsoperationen modifiziert werden kann.3.3 Formalisierung von ÄnderungsoperationenEine wichtige Anwendung von Defaults ist auch die Formalisierung der Rahmenregel beiÄnderungsoperationen. Normalerweise wird nur explizit angegeben, was sich bei derAusführung einer Aktion ändert. Man geht dann davon aus, daß alles andere unverändertbleibt. Oft läßt sich aber nicht einfach syntaktisch feststellen, was genau alles andere“”ist. Zusätzliche Schwierigkeiten treten bei nichtdeterministischen Aktionen auf, derenNachbedingung also Disjunktionen enthält. Die naheliegende Lösung ist nun, einen Defaultder Art alles bleibt, wie es ist“ zu verwenden. Auf diese Weise erzwingt man, daß”nur eine minimale Änderung durchgeführt wird, um die Aktions-Spezifikation zu erfüllen.ZustandsübergängeBeispiel 3.3.1: Als Beispiel sei ein rudimentäres Abenteuerspiel betrachtet. DiesesSpiel hat nur zwei ”Räume“: einen Wald und eine Höhle (richtige Spiele haben etwa100 Räume). Die Aufgabe ist nun, im Wald den Honig zu nehmen und damit den Bärenin der Höhle zu füttern. Ein Zustand des Spiels ist also durch die Information beschrieben,• in welchem Raum sich der Spieler befindet (Wald oder Höhle),• wo sich der Honig befindet (möglicherweise in der Tasche des Spielers),• ob der Bär noch hungrig ist.Der Spieler kann den Zustand nun durch seine Züge verändern, so kann er etwa mit denKommandos ”gehe nach Norden“ und ”gehe nach Süden“ zwischen den beiden Räumenwechseln, er kann den Honig nehmen und den Bär füttern (gute Abenteuerspiele habeneinen Wortschatz von über 1000 Worten).Beispielsweise sei die Operation ”nimm den Honig“ zu spezifizieren. Die Vorbedingungist, daß sich der Spieler im selben Raum wie der Honig befindet:in(spieler, X) ∧ in(honig, X).Die Nachbedingung ist, daß der Spieler den Honig in seiner Tasche hat:in(honig, tasche).Solche Vor- und Nachbedingungen lassen sich einfach in die Prädikatenlogik übersetzen,wenn man jedes Prädikat verdoppelt (eine Version für den Vorzustand und eine für denNachzustand, siehe auch [Ger91]). Das Kommando ”nimm den Honig“ hat also folgendeAuswirkung:in old (spieler, X) ∧ in old (honig, X) → in new (honig, tasche).

3.3. FORMALISIERUNG VON ÄNDERUNGSOPERATIONEN 65Es sei nun folgender Vorzustand betrachtet:in old (spieler, wald).in old (honig, wald).hungrig old (bär).Außerdem kann sich jeder Gegenstand immer nur an einem Ort befinden, d.h. man brauchteine Schlüsselbedingung, die natürlich für beide Zustände gelten soll:in old (X, Y ) ∧ in old (X, Y ′ ) → Y = Y ′ .in new (X, Y ) ∧ in new (X, Y ′ ) → Y = Y ′ .Über die Vor- und Nachbedingungen wird nur angegeben, was sich ändert. Dahersind noch Defaults nötig, die eine minimale Änderung erzwingen ( ”Rahmenregel“):in old (X, Y ) ↔ in new (X, Y ).hungrig old (X) ↔ hungrig new (X).Intuitiv sollten folgende Formeln aus dieser Spezifikation folgen:in new (spieler, wald).in new (honig, tasche).hungrig new (bär).Tatsächlich gilt dies auch für jede vernünftige Default-Semantik, denn in diesem Fallwäre schon die naive CWA konsistent. Sie enthält insbesondere folgende Formeln:in old (spieler, wald) ↔ in new (spieler, wald).hungrig old (bär) ↔ hungrig new (bär).Die einzige Default-Ausprägung, die nicht angenommen werden kann, wird schon von denAxiomen widerlegt:in old (honig, wald) ↔ in new (honig, wald).Weil also keine Konflikte zwischen Defaults auftreten, ist dieses Beispiel recht einfach. ✷Beispiel 3.3.2: Angenommen, man möchte das Spiel nun etwas interessanter gestaltenund den Honig an unterschiedlichen Orten verstecken (über einen Zufallszahlengeneratorbestimmt). Die Spezifikation enthält dann nur die Disjunktionin old (honig, wald 1 ) ∨ in old (honig, wald 2 ).Der Spieler befinde sich in wald 1 . Natürlich kann er den Honig nur dann nehmen, wenndieser auch in wald 1 ist (sonst gibt es eine Fehlermeldung und der Zustand bleibt unverändert).Ansonsten seien dieselben Regeln und Defaults wie in Beispiel 3.3.1 verwendet.Überraschenderweise folgt aus dieser Spezifikation nun, daß der Honig im Vorzustandin Raum wald 2 ist: in old (honig, wald 2 ). Der Grund ist, daß diesem Fall alle Default-Ausprägungen angenommen werden können, denn wenn die Vorbedingung nicht erfülltist, sind auch keine Änderungen nötig. Hat man nun die folgende Default-Ausprägungin old (honig, tasche) ↔ in new (honig, tasche),

66 KAPITEL 3. ANWENDUNGSBEISPIELEso erhält man aus der Disjunktion und der Schlüsselbedingung ¬in old (honig, tasche), hiermitalso ¬in new (honig, tasche). Daher folgt ausin old (spieler, wald 1 ) ∧ in old (honig, wald 1 ) → in new (honig, tasche),daß ¬in old (honig, wald 1 ) und damit schließlich in old (honig, wald 2 ).Natürlich wird man von jeder korrekten Formalisierung der Änderungsoperation erwarten,daß die Redukte auf den old-Anteil gerade die Modelle der Beschreibung desVorzustandes liefern. Das ist hier nicht der Fall.Man kann dieses Problem mit Hilfe folgender Defaults lösen:in old (X, Y ), ¬in old (X, Y ), hungrig old (X), ¬hungrig old (X).Diese Defaults blockieren sich gegenseitig, aber auch jeden anderen Default, der neueInformationen über den Vorzustand liefern würde. Man kann dies auch so verstehen, daßdie minimale Änderung von jedem möglichen Vorzustand aus einzeln ausgeführt werdensoll. Diese Defaults selektieren nun jeweils einen Vorzustand und halten ihn während derAnwendung der übrigen Defaults fest.✷Es ist nun noch interessant, festzuhalten, daß auch umgekehrt eine Änderungs-Semantikeine Default-Semantik bestimmt.Man kann als Vorzustand einfach die Menge der Defaults verwenden (sofern sie konsistentist), als Vorbedingung true und als Nachbedingung die Konjunktion der Formelnaus Φ. Die minimale Änderung bedeutet nun, daß nur möglichst wenig von den Defaultszurückgenommen wird, um die Axiome zu erfüllen. Anfragen an den Nachzustandentsprechen dann Folgerungen aus der Vervollständigung.ZustandsfolgenBeispiel 3.3.3: Natürlich möchte man nicht nur einzelne Zustandsübergänge betrachten,sondern den ganzen Verlauf des Spiels. Dann reicht es also nicht mehr aus, zwei Versionender Prädikate zu haben, sondern man muß sie um ein zusätzliches Argument für denZustand erweitern. Die Zustände seien mit den Zahlen 1 bis 10 benannt (nach 10 Zügenist der Bär so hungrig, daß er den Spieler auffrißt). Die Startsituation ist dann:in(1, spieler, wald).in(1, honig, wald).hungrig(1, bär).Der Spieler kann nun mit den Kommandos gehe nördlich und gehe südlich zwischen denbeiden Räumen wechseln, mit dem Kommando nimm honig den Honig nehmen und mitdem Kommando gib honig den Bären füttern. Die Züge werden in einem Prädikat zugabgespeichert, eine direkte Lösung des Spiels braucht nur drei Züge:zug(1, nimm honig).zug(2, gehe nördlich).zug(3, gib honig).

3.3. FORMALISIERUNG VON ÄNDERUNGSOPERATIONEN 67Man muß jetzt noch die Abfolge der Züge spezifizieren:succ(1, 2).. . .succ(9, 10).Dies ist ebenso wie die Maximallänge nur aufgrund der Bereichsbeschränkung nötig, sonstkönnte man natürlich ein eingebautes Prädikat verwenden. Man braucht schließlich nochfolgende Schlüssel-Deklarationen:in(X 1 , X 2 , Y ) ∧ in(X 1 , X 2 , Y ′ ) → Y = Y ′ .zug(X, Y ) ∧ zug(X, Y ′ ) → Y = Y ′ .succ(X, Y ) ∧ succ(X, Y ′ ) → Y = Y ′ .Am interessantesten ist nun natürlich die Spezifikation der Auswirkung der Züge:in(X, spieler, wald) ∧ zug(X, gehe nördlich) ∧ succ(X, X ′ ) →in(X ′ , spieler, höhle).in(X, spieler, höhle) ∧ zug(X, gehe südlich) ∧ succ(X, X ′ ) →in(X ′ , spieler, wald).in(X, honig, Y ) ∧ in(X, spieler, Y ) ∧ zug(X, nimm honig) ∧ succ(X, X ′ ) →in(X ′ , honig, tasche).in(X, honig, tasche) ∧ in(X, spieler, höhle) ∧ zug(X, gib honig) ∧ succ(X, X ′ ) →¬hungrig(X ′ , bär) ∧ in(X ′ , honig, bär).In der Prädikatenlogik ist dies recht mühsam aufzuschreiben, übersichtlicher geht ist ineiner dynamischen Logik:in(spieler, wald) → [gehe nördlich]in(spieler, höhle).in(spieler, höhle) → [gehe südlich]in(spieler, wald).in(honig, Y ) ∧ in(X, spieler, Y ) → [nimm honig]in(honig, tasche).in(honig, tasche) ∧ in(spieler, höhle) →[gib honig] ( ¬hungrig(bär) ∧ in(honig, bär) ) .Natürlich braucht man wieder Defaults, die eine minimale Änderung erzwingen. Da dasPrädikat in aufgrund der Schlüsseldeklaration im wesentlichen eine Funktion ist, brauchtman hierfür nur zu fordern, daß sich der alte Wert auf den neuen Zustand fortschreibt:succ(X, X ′ ) ∧ in(X, Y 1 , Y 2 ) → in(X ′ , Y 1 , Y 2 ).Bei dem echten Prädikat hungrig müssen entsprechend die beiden Wahrheitswerte trueund false andauern:succ(X, X ′ ) ∧ hungrig(X, Y ) → hungrig(X ′ , Y ).succ(X, X ′ ) ∧ ¬hungrig(X, Y ) → ¬hungrig(X ′ , Y ).Überraschenderweise ist diese Spezifikation so noch nicht korrekt, insbesondere folgt nichtdie Formel ¬hungrig(4, bär). Um dies zu verstehen, muß man die maximalen Mengenvon Default-Ausprägungen betrachten, die angenommen werden können. Dies entsprichtalso einer möglichst kleinen Menge von Ausnahmen, d.h. nicht geltenden Defaults. Bei

68 KAPITEL 3. ANWENDUNGSBEISPIELEder intendierten Zustandsabfolge werden alle außer den folgenden Default-Ausprägungenangenommen:succ(1, 2) ∧ in(1, honig, wald) → in(2, honig, wald).succ(2, 3) ∧ in(2, spieler, wald) → in(3, spieler, wald).succ(3, 4) ∧ in(3, honig, tasche) → in(4, honig, tasche).succ(3, 4) ∧ hungrig(3, bär) → hungrig(4, bär).Es gibt aber auch die Möglichkeit, vorausschauend Änderungen durchzuführen, die bewirken,daß später die Vorbedingungen nicht erfüllt sind, so daß dann Änderungen eingespartwerden. Der Spieler könnte etwa bei dem Fußmarsch vom Wald zur Höhle den Honig verlieren,dadurch kann er den Bären später nicht füttern:succ(1, 2) ∧ in(1, honig, wald) → in(2, honig, wald).succ(2, 3) ∧ in(2, spieler, wald) → in(3, spieler, wald).succ(2, 3) ∧ in(2, honig, tasche) → in(3, honig, tasche).Natürlich steht von dieser Möglichkeit nichts in der Spezifikation, aber es ist auch nichtexplizit ausgeschlossen.Das Problem ist hier, daß die Änderungen global minimiert werden (über die ganzeZustandsfolge gesehen). Dadurch geht die Kausalität der Änderungen verloren. Manmöchte natürlich, daß die Änderungen bei jedem Zustandsübergang einzeln minimiertwerden, insbesondere sollen nicht spätere Zustandsübergänge Rückwirkungen auf früherehaben. Es liegt daher nahe, den Defaults für frühere Zustandsübergänge höhere Prioritätzu geben, also notwendige Änderungen so spät wie möglich auszuführen.✷Dies ist eine Variante des bekannten ”Yale Shooting“ Problems [HM87]. (Dort sind die dreiAktionen ”laden“, ”warten“, ”schießen“. Beispiel 3.3.3 ist etwas tierfreundlicher, obwohlja auch beim originalen Beispiel das Ergebnis gerade ist, daß sich die Flinte möglicherweisewährend des Wartens auf magische Art entladen hat.)Man beachte noch, daß die in Beispiel 3.3.2 aufgezeigten Probleme mit unvollständigerInformation natürlich auch hier auftreten, man muß also die entsprechenden Defaults nochhinzunehmen.Allerdings funktioniert das Prinzip, Änderungen so spät wie möglich durchzuführen,nur bei Anfragen nach der Gültigkeit einer Aussage in einem bestimmten Zustand ( ”temporaleProjektion“).Angenommen, man gibt stattdessen den Zielzustand vor und fragt, welche Aktionendorthin geführt haben können (eine Planungsaufgabe). Nach dem Prinzip, Änderungen sospät wie möglich durchzuführen, geschieht die ganze Zeit gar nichts, nur bei dem letztenZustandsübergang wird der Zielzustand erreicht, ohne daß es eine Erklärung dafür gebenwürde.Angesichts dieser Probleme muß man sich natürlich fragen, ob man es nicht ohneDefaults leichter hätte, indem man also nur die Logik erster Stufe benutzt. Ein solcherAnsatz wird von Raymond Reiter [Rei92] vertreten. Man müßte dann also Formelnder Art aufschreiben, daß sich der Ort eines Gegenstandes nur dann ändern kann, wenn

3.3. FORMALISIERUNG VON ÄNDERUNGSOPERATIONEN 69eine entsprechende Aktion ausgeführt wird und deren Vorbedingungen erfüllt sind. Diesist natürlich gerade bei einer größeren Anzahl von Aktionen recht mühsam. Vor allemaber können auf diese Art nur Spezialfälle behandelt werden, denn im allgemeinen Fallkönnte man ja gerade Defaults simulieren, so daß dies einfach nur ein spezieller Vervollständigungs-Mechanismuswäre.Beispiel 3.3.4: Da man mit einfachen Zustandsübergängen unpriorisierte Defaultssimulieren kann, liegt es nahe, daß man mit Zustandsfolgen gerade die Prioritäten erhält.Das ist aber nicht richtig: Hat man etwa die Defaults ¬p und ¬q, wobei der erste höherePriorität hat, und das Axiom p∨q, so würde man erst ¬q einfügen, dann ¬p und schließlichdas Axiom. Bei priorisierten Defaults sollte sich natürlich ¬p durchsetzen. Änderungs-Semantiken sind dagegen im allgemeinen geschichtslos: Wenn das Axiom eingefügt wird,ist der vorliegende Zustand {¬p, ¬q}, die minimale Änderung liefert dann {¬p∨¬q, p∨q}.(Beobachtung von Mark Ryan.)✷

Kapitel 4Eigenschaften vonVervollständigungenIn diesem Kapitel wird die Menge der Vervollständigungen betrachtet, um einen Überblicküber alle möglichen Semantiken für Defaults zu gewinnen. Eigenschaften von Vervollständigungendienen dazu, diese Menge zu strukturieren und die interessanten Defaultsemantikenherauszufiltern. Sie werden hier definiert und motiviert, und es werdendie Beziehungen zwischen ihnen untersucht.Solche Eigenschaften können ein Maß für die Strukturiertheit“ oder Gutartigkeit“” ”einer Vervollständigung sein. Umgekehrt können Anwendungen erfordern, daß bestimmteEigenschaften verletzt werden. Auch dann sind die Eigenschaften eine Hilfe für die Auswahlder richtigen“ Vervollständigung.”Schließlich können die Eigenschaften auch als Rechenregeln“ für die Vervollständigungengesehen werden, mit dem man also Paare (Φ, ψ) mit Φ ⊢ c ψ ableiten kann. Im”Gegensatz zu den Resolutions-Algorithmen in Kapitel 6 ähnelt dies eher einem System ”des natürlichen Schließens“.Daher sollte zuerst überprüft werden, inwieweit man die Erfüllung von Folgerungsregelnder klassischen Prädikatenlogik fordern kann (Abschnitt 4.1). Falls man alle Folgerungsregelnfordert, bekommt man natürlich nur die logische Folgerung. Aus diesemGrund müssen häufig Abschwächungen der klassischen Regeln betrachtet werden. SolcheFolgerungsregeln wurden auch in der Literatur zum nicht-monotonen Schließen betrachtet[Gab85, Mak89, KLM90, Dix91, Mak92]. Hier wird aber eine modelltheoretischeFormulierung angegeben, die häufig zusätzliche Einsichten vermittelt (und die Beziehungzur Theorie der Wahlverfahren aufzeigt).Als nächstes werden weitere Struktureigenschaften betrachtet, die nicht direkt imZusammenhang mit Folgerungsregeln stehen, aber modelltheoretisch gesehen sehr einleuchtendsind (Abschnitt 4.2). Auch Begriffe für den Vergleich von Vervollständigungenwerden eingeführt.Im Abschnitt 4.3 werden dann Eigenschaften untersucht, die sich auf Defaults beziehen.Ein Ziel dieser Arbeit ist ja, eine Abbildung von Defaults auf Vervollständigungenauszuzeichnen.71

72 KAPITEL 4. EIGENSCHAFTEN VON VERVOLLSTÄNDIGUNGEN4.1 FolgerungsregelnFolgerungsregeln für beliebige VervollständigungenDa die vervollständigte Folgerungsrelation ⊢ c eine Verallgemeinerung der logischen Folgerung⊢ ist, kann man sich fragen, welche der bekannten Ableitungsregeln noch gelten.Zunächst gelten eine ganze Reihe von Regeln für beliebige Vervollständigungen ⊢ c ,und zwar sind dies die ”linksstabilen“ Folgerungsregeln, die sich nur auf eine feste AxiomenmengeΦ beziehen, also die folgende Form haben:Φ ⊢ c ψ 1 , . . . , Φ ⊢ c ψ n =⇒ Φ ⊢ c ψ.Gilt eine solche Regel für die logische Folgerung, so erhält man für Φ := {ψ 1 ∧ · · · ∧ ψ n }(die Voraussetzungen sind trivialerweise erfüllt):{ψ 1 ∧ · · · ∧ ψ n } ⊢ ψ.Dann überträgt sich die Regel aber sofort auf beliebige Vervollständigungen ⊢ c , denn ⊢ cist definitionsgemäß unter ∧ und ⊢ abgeschlossen.Satz 4.1.1:• Φ ⊢ c ψ 1 , Φ ⊢ c ψ 2• Φ ⊢ c ψ 1 ∧ ψ 2Jede vervollständigte Folgerungsrelation ⊢ c erfüllt• Φ ⊢ c ψ 1 oder Φ ⊢ c ψ 2=⇒ Φ ⊢ c ψ 1 ∧ ψ 2 ( ”Einführung der Konjunktion“),=⇒ Φ ⊢ c ψ 1 , Φ ⊢ c ψ 2 . ( ”Eliminierung der Konjunktion“),=⇒ Φ ⊢ c ψ 1 ∨ ψ 2 ( ”Einführung der Disjunktion“),• Φ ⊢ c ψ 1 → ψ 2 , Φ ⊢ c ψ 1 =⇒ Φ ⊢ c ψ 2 ( ”Eliminierung der Implikation“, ”modusponens“).Beweis: Diese Regeln folgen direkt aus dem Abschluß unter ∧ und ⊢. ✷KonsistenzerhaltungDie Folgerungsregel von der Eliminierung der Negation, d.h. das Prinzip des indirektenBeweises, gilt dagegen nicht für beliebige Vervollständigungen:Φ ∪ {¬ψ} ⊢ c false =⇒ Φ ⊢ c ψ.Das ist eigentlich auch nicht überraschend, da die Definition von ⊢ c keine Anforderungenenthält, die zwei verschiedene (nicht-äquivalente) Mengen von Voraussetzungen Φ und Φ ′in Beziehung setzen.Beispiel 4.1.2:Negationen:Φ [p] [¯p] comp(Φ)false false¬p ◦ falsep ◦ falsetrue • • trueFolgende Vervollständigung erlaubt nicht die die Eliminierung von

4.1. FOLGERUNGSREGELN 73Diese Tabelle definiert eine Vervollständigung über einer Signatur mit einer einzigen Aussage(d.h. argumentlosen Prädikat) p. Im mittleren Teil ist die Vervollständigung modelltheoretischbeschrieben, d.h. für jede Axiomenmenge (gegeben durch ihre Modelle [p]und [¯p]) sind die intendierten Modelle mit • gekennzeichnet und die nicht intendiertenmit ◦. In linken Teil ist ein Repräsentant Φ der jeweiligen Äquivalenzklasse von Axiomenmengenangegeben, im rechten Teil ihre syntaktische Vervollständigung (bis auf Äquivalenz).Sei nun Φ = {true}. Die Vervollständigung zerstört für Φ ′ = Φ∪{¬p} die Konsistenz,da sie das einzige vorhandene Modell [¯p] nicht auswählt. Es gilt also Φ ∪ {¬p} ⊢ c false.Nach der Regel von der Eliminierung der Negation müßte nun Φ ⊢ c p gelten. Das ist abernicht der Fall.✷Die Vervollständigung aus dem Beispiel ist natürlich sehr merkwürdig, eine solche Vervollständigungmöchte man auf keinen Fall als Semantik einer Default-Spezifikation haben.Ein Grund, diese Vervollständigung auszuschließen, ist die Zerstörung der Konsistenz: DieAxiomenmenge {¬p} enthält ja durchaus noch Information, aber bei der Vervollständigungfalse ist diese Information verloren gegangen — beliebige Anfragen werden mit ”ja“beantwortet.Definition 4.1.3 (konsistenzerhaltend):konsistenzerhaltend (CON) genau dann, wenn• Φ konsistent =⇒ comp(Φ) konsistent,• Φ konsistent, Φ ⊢ c ψ =⇒ Φ ⊬ c ¬ψ,• I ≠ ∅ =⇒ sel(I) ≠ ∅.Eine Vervollständigung comp/⊢ c /sel istDiese Definition ist so zu lesen, daß für jede der drei Formalisierungen von Vervollständigunggetrennt definiert wird, was konsistenzerhaltend bedeutet. Die Festlegungen sindverträglich mit der Umrechnung zwischen den verschiedenen Arten von Vervollständigungen,wie in dem nächsten Lemma bewiesen wird.Bei dieser wie bei allen weiteren Eigenschaften sollen die Bedingungen für alle Φ ⊆ L + Σ ,alle ψ ∈ L ∗ Σ und alle I ⊆ I Σ gelten.Lemma 4.1.4:• Eine syntaktische Vervollständigung comp ist genau dann konsistenzerhaltend, wenn⊢ comp konsistenzerhaltend ist.• Eine semantische Vervollständigung sel ist genau dann konsistenzerhaltend, wenn⊢ sel konsistenzerhaltend ist.Beweis:• Die syntaktisch vervollständigte Menge der Axiome comp(Φ) ist genau dann inkonsistent,wenn comp(Φ) ⊢ ψ und comp(Φ) ⊢ ¬ψ für ein ψ gilt. Das ist aber die Definition fürΦ ⊢ comp ψ und Φ ⊢ comp ¬ψ.

74 KAPITEL 4. EIGENSCHAFTEN VON VERVOLLSTÄNDIGUNGEN• Eine modelltheoretische Vervollständigung verletzt die Konsistenzerhaltung für I (I ≠ ∅,sel(I) = ∅) genau dann, wenn ⊢ sel sie für Th(I) verletzt: Th(I) ist konsistent, abersel(I) ⊆ Mod(ψ) und sel(I) ⊆ Mod(ψ), d.h. Th(I) ⊢ sel ψ und Th(I) ⊢ sel ¬ψ. ✷Eine ganze Reihe der in der Literatur vorgeschlagenen Vervollständigungen ist im allgemeinennicht konsistenzerhaltend, so etwa die originale CWA [Rei78], die Circumscriptionbei unendlichen Bereichen [EMR85] und die Default-Logik [Rei80]. Offensichtlich ist diesesVerhalten aber nicht beabsichtigt. Die einzige Lösung ist, daß man die betreffendenMengen von Axiomen und Defaults ausschließt, wobei aber häufig nur hinreichende Kriterienfür die Konsistenzerhaltung bekannt sind.Hat man eine konsistenzerhaltende Vervollständigung, so kann man sofort die Regelzur Eliminierung von Negationen anwenden:Satz 4.1.5:Für eine konsistenzerhaltende Vervollständigung ⊢ c gilt:Φ ∪ {¬ψ} ⊢ c false =⇒ Φ ⊢ c ψ.Beweis: Da ⊢ c konsistenzerhaltend ist, muß Φ ∪ {¬ψ} inkonsistent sein. Dann gilt aber Φ ⊢ ψ,folglich auch Φ ⊢ c ψ.✷Daß die Umkehrung dieses Satzes nicht gilt, sieht man an der Vervollständigung ohneintendierte Modelle, d.h. es gilt Φ ⊢ c ψ für beliebige Φ und ψ. Diese Vervollständigungerfüllt natürlich die Regel von der Eliminierung der Negation, aber sie ist nicht konsistenzerhaltend.KumulierungEine Folgerungsregel, von der man nicht erwarten kann, daß sie für Vervollständigungengilt, ist die Monotonie:Φ ⊢ c ψ =⇒ Φ ∪ {ϕ} ⊢ c ψ.Vervollständigungen sind ja gerade bekannt als nichtmonotone Logiken. So könnte ψ etwaein Default sein, der angenommen wird, da Φ keine gegenteilige Information enthält. Diehinzugenommene Formel ϕ könnte nun gerade diese gegenteilige Information liefern, alsoz.B. ϕ := ¬ψ. Würde jetzt noch ψ folgen, so wäre die Konsistenz zerstört. Dies gilt auchganz allgemein:Satz 4.1.6:Die einzige konsistenzerhaltende Vervollständigung mitΦ ⊢ c ψ =⇒ Φ ∪ {ϕ} ⊢ c ψ(Monotonie) ist die logische Folgerung ⊢.Beweis: Angenommen, es gäbe eine monotone und konsistenzerhaltende Vervollständigung ⊢ cverschieden von der logischen Folgerung. Da Φ ⊢ ψ =⇒ Φ ⊢ c ψ nach Definition, muß es alsoΦ und ψ geben mit Φ ⊬ ψ, aber Φ ⊢ c ψ. Nun müßte Φ ∪ {¬ψ} ⊢ c ψ nach der Monotoniegelten, andererseits gilt natürlich auch Φ ∪ {¬ψ} ⊢ c ¬ψ. Damit ist aber die Konsistenzerhaltungverletzt, denn Φ ∪ {¬ψ} ist wegen Φ ⊬ ψ konsistent.✷

4.1. FOLGERUNGSREGELN 75Es ist dagegen möglich und sehr sinnvoll, die folgende beschränkte Version der Monotoniezu fordern:Definition 4.1.7 (beschränkt monoton): Eine Vervollständigung comp/⊢ c /sel istbeschränkt monoton (RMON) genau dann, wenn• comp(Φ) ⊢ ϕ, comp(Φ) ⊢ ψ =⇒ comp(Φ ∪ {ϕ}) ⊢ ψ,• Φ ⊢ c ϕ, Φ ⊢ c ψ =⇒ Φ ∪ {ϕ} ⊢ c ψ,• sel(I 1 ) ⊆ I 2 ⊆ I 1 =⇒ sel(I 1 ) ⊇ sel(I 2 ).Die Beschränkung besteht hier also darin, daß nur solche Formeln zu den VoraussetzungenΦ hinzugenommen werden dürfen, die ohnehin schon vervollständigt aus ihnen folgen.Lemma 4.1.8: Eine syntaktische bzw. modelltheoretische Vervollständigung ist genaudann beschränkt monoton, wenn die zugehörige vervollständigte Folgerungsrelationbeschränkt monoton ist.Beweis: Im Falle der syntaktischen Vervollständigung ist die Übereinstimmung offensichtlich.Zu zeigen ist also nur noch: sel beschränkt monoton ⇐⇒ ⊢ ” sel beschränkt monoton“.• ”=⇒ “: Gelte also Φ ⊢ sel ϕ und Φ ⊢ sel ψ, und sei zur Abkürzung I Φ := Mod(Φ),I ϕ := Mod(ϕ) und I ψ := Mod(ψ). Dann gilt sel(I Φ ) ⊆ I Φ ∩I ϕ ⊆ I Φ (wegen sel(I Φ ) ⊆ I ϕ ).Also folgt sel(I Φ ) ⊇ sel(I Φ ∩ I ϕ ). Nun gilt aber nach Voraussetzung sel(I Φ ) ⊆ I ψ , damitgilt erst recht sel(I Φ ∩ I ϕ ) ⊆ I ψ , d.h. Φ ∪ {ϕ} ⊢ sel ψ.• ⇐= “: Gelte sel(I ” 1 ) ⊆ I 2 ⊆ I 1 . Für Φ := Th(I 1 ), ϕ := th(I 2 ) und ψ := th ( sel(I 1 ) ) giltdann gerade Φ ⊢ sel ϕ und Φ ⊢ sel ψ, also Φ ∪ {ϕ} ⊢ sel ψ, d.h. sel(I 1 ∩ I 2 ) ⊆ sel(I 1 ), alsoschließlich sel(I 2 ) ⊆ sel(I 1 ).✷Die teilweise Umkehrung der beschränkten Monotonie ist folgende Schlußregel:Φ ⊢ c ϕ, Φ ∪ {ϕ} ⊢ c ψ =⇒ Φ ⊢ c ψ.Sie ist ein Spezialfall der bekannten Schnittregel:Φ 1 ⊢ c ϕ ′ ∨ ϕ, Φ 2 ∪ {ϕ} ⊢ c ψ =⇒ Φ 1 ∪ Φ 2 ⊢ c ϕ ′ ∨ ψ(für Φ 1 := Φ 2 := Φ und ϕ ′ := false). Die allgemeine Schnittregel kann man nicht erwarten,denn sie impliziert die Monotonie (für ϕ := false und ψ := false)Φ 1 ⊢ c ϕ ′ =⇒ Φ 1 ∪ Φ 2 ⊢ c ϕ ′ ,gilt also nach Satz 4.1.6 nur für die logische Folgerung ⊢. Die beschränkte Schnittregelist dagegen eine sinnvolle Eigenschaft von Vervollständigungen:Definition 4.1.9 (Beschränkte Schnittregel): Eine Vervollständigung comp/⊢ c /selerfüllt die beschränkte Schnittregel (RCUT) genau dann, wenn• comp(Φ) ⊢ ϕ, comp(Φ ∪ {ϕ}) ⊢ ψ =⇒ comp(Φ) ⊢ ψ,• Φ ⊢ c ϕ, Φ ∪ {ϕ} ⊢ c ψ =⇒ Φ ⊢ c ψ,• sel(I 1 ) ⊆ I 2 ⊆ I 1 =⇒ sel(I 1 ) ⊆ sel(I 2 ).

76 KAPITEL 4. EIGENSCHAFTEN VON VERVOLLSTÄNDIGUNGENLemma 4.1.10: Eine syntaktische bzw. modelltheoretische Vervollständigung erfüllt diebeschränkte Schnittregel genau dann, wenn die zugehörige vervollständigte Folgerungsrelationsie erfüllt.Beweis: Im Falle der syntaktischen Vervollständigung ist die Übereinstimmung wieder offensichtlich.Zu zeigen ist also nur noch: sel erfüllt RCUT ⇐⇒ ⊢ ” sel erfüllt RCUT“.• ”=⇒ “: Aus Φ ⊢ sel ϕ folgt mit den üblichen Abkürzungen wieder sel(I Φ ) ⊆ I Φ ∩ I ϕ ⊆ I Φ .Da sel die Eigenschaft RCUT nach Voraussetzung erfüllt, gilt also sel(I Φ ) ⊆ I Φ ∩ I ϕ .Zusammen mit Φ ∪ {ϕ} ⊢ sel ψ, d.h. sel(I Φ ∩ I ϕ ) ⊆ I ψ , folgt sel(I Φ ) ⊆ I ψ , d.h. Φ ⊢ sel ψ.• ⇐= “: Gelte sel(I ” 1 ) ⊆ I 2 ⊆ I 1 und sei Φ := Th(I 1 ), ϕ := th(I 2 ) und ψ := th ( sel(I 2 ) ) .Dann folgt Φ ⊢ sel ϕ. Außerdem gilt wegen I 1 ∩ I 2 = I 2 trivialerweise Φ ∪ {ϕ} ⊢ sel ψ. Da⊢ sel die Eigenschaft RCUT hat, folgt Φ ⊢ sel ψ, d.h. sel(I 1 ) ⊆ sel(I 2 ).✷Die beschränkte Schnittregel impliziert übrigens die Idempotenz von sel, d.h.sel ( sel(I) ) = sel(I)(man setze I 2 := sel(I 1 )). Es ist ja auch sehr naheliegend, zu fordern, daß nach Auswahlder intendierten Modelle eine weitere Anwendung von sel wirkungslos bleiben sollte.Eine Verallgemeinerung davon, die Zusammenfassung der beschränkten Monotonieund der beschränkten Schnittregel ergibt nun die Kumulierung. Sie ist eine grundlegendeund sehr nützliche Eigenschaft von Vervollständigungen:Eine Vervollständigung comp/⊢ c /sel ist kumulie-Definition 4.1.11 (kumulierend):rend (CUM) genau dann, wenn• comp(Φ) ⊢ ϕ =⇒ comp(Φ ∪ {ϕ}) ∼ = comp(Φ),• Φ ⊢ c ϕ =⇒ ( Φ ∪ {ϕ} ⊢ c ψ ⇐⇒ Φ ⊢ c ψ ) ,• sel(I 1 ) ⊆ I 2 ⊆ I 1 =⇒ sel(I 1 ) = sel(I 2 ).Aus der modelltheoretischen Sicht bedeutet diese Eigenschaft, daß sich die Menge derintendierten Modelle nicht dadurch ändern sollte, daß ohnehin nicht intendierte Modelleexplizit ausgeschlossen werden.Bei Datenbanken entspricht das der ”Materialisierung einer Sicht“: Wenn einige Folgerungenaus der vervollständigten Axiomenmenge sehr häufig berechnet werden, bietetes sich an, sie in der Datenbank explizit abzuspeichern. Die Kumulation besagt nun, daßdies möglich ist, ohne das Antwortverhalten der Datenbank zu ändern.Die Kumulation ist also ähnlich wie die Konsistenzerhaltung eine Eigenschaft, die einegute Vervollständigung unbedingt haben sollte.Lemma 4.1.12: Eine syntaktische bzw. modelltheoretische Vervollständigung ist genaudann kumulierend, wenn die zugehörige vervollständigte Folgerungsrelation kumulierendist.Beweis: Da die Kumulation eine offensichtliche Zusammensetzung der Eigenschaften RMONund RCUT ist, folgt die Behauptung direkt aus Lemma 4.1.8 und Lemma 4.1.10.✷

4.1. FOLGERUNGSREGELN 77Die Folgerungsregeln beschränkte Monotonie und beschränkte Schnittregel wurden in[Gab85] eingeführt, die Kumulierung in [Mak89]. Dort wurde auch gezeigt, daß etwadie Default-Logik nicht immer kumulierend ist. In [Bra90b] wurde gezeigt, daß auch dieCircumscription erster Stufe diese Regel verletzen kann. In der Theorie der Wahlverfahrenist eine Eigenschaft, die der beschränkten Monotonie entspricht, schon seit mindestens1975 bekannt [Mou85] ( Aizerman-Eigenschaft“).”Die Deduktions-EigenschaftAls nächstes sei die Regel von der Einführung der Implikation ”→“ untersucht:Φ ∪ {ψ 1 } ⊢ c ψ 2 =⇒ Φ ⊢ c ψ 1 → ψ 2 .Dies ist auch das Deduktionstheorems [BN77] (bzw. die eine Richtung davon [BW91]).Da diese Regel nicht linksstabil ist, ist es auch nicht überraschend, daß sie nichtfür beliebige Vervollständigungen gilt. Es wird sich aber herausstellen, daß es sowohlvernünftige Vervollständigungen gibt, für die sie gilt (nämlich die minimalen Modelle),als auch solche, für die sie nicht gilt (z.B. die GCWA). Damit kann diese Regel also zurKlassifikation von Vervollständigungen dienen, und nicht (wie Konsistenzerhaltung undKumulierung) zur Ausscheidung ungeeigneter Vervollständigungen.Beispiel 4.1.13: Wie oben schon erwähnt, verletzt die GCWA [Min82] diese Regel.Die zugrundeliegenden Defaults sind hier ¬p und ¬q. Die einzige Besonderheit trittbei Φ := {p ∨ q} auf, dort stehen die beiden Defaults im Konflikt miteinander und es wirdkeiner von beiden angenommen.Φ [pq] [p¯q] [¯pq] [¯p¯q] comp(Φ)falsefalse¬p, ¬q • ¬p, ¬q¬p, q • ¬p, q¬p ◦ • ¬p, ¬qp, ¬q • p, ¬q¬q ◦ • ¬p, ¬qp ↔ ¬q • • p ↔ ¬q¬p ∨ ¬q ◦ ◦ • ¬p, ¬qp, q • p, qp ↔ q ◦ • ¬p, ¬qq ◦ • ¬p, q¬p ∨ q ◦ ◦ • ¬p, ¬qp ◦ • p, ¬qp ∨ ¬q ◦ ◦ • ¬p, ¬qp ∨ q • • • p ∨ qtrue ◦ ◦ ◦ • ¬p, ¬qWie in Beispiel 4.1.2 wird hier die Vervollständigung durch Auflisten der Selektionsfunk-

78 KAPITEL 4. EIGENSCHAFTEN VON VERVOLLSTÄNDIGUNGENtion auf den Modellen definiert: Für jede Menge von Modellen sind die intendiertenModelle mit • gekennzeichnet und die übrigen mit ◦. Für diese Vervollständigung (dieGCWA) gilt{p ∨ q} ∪ {p} ⊢ c ¬q ({p ∨ q} ∪ {p} ∼ = {p}),aber es gilt nicht{p ∨ q} ⊢ c p → ¬q (p → ¬q ∼ = ¬p ∨ ¬q),was nach dieser Regel gefolgert werden könnte.Man beachte, daß das Verhalten für {p ∨ q} notwendig ist, wenn man echte Disjunktionenwünscht (und kein exklusiv oder“). Andererseits ist das Verhalten für {p} gerade”die Annahme von negativen Grundliteralen als Default, die ja auch sehr natürlich ist.Und die Gleichbehandlung äquivalenter Datenbanken {p ∨ q, p} und {p} ist für logischeVervollständigungen unbedingt wünschenswert, wie in Kapitel 2 erläutert wurde. ✷Definition 4.1.14 (Deduktions-Eigenschaft): Eine Vervollständigung comp/⊢ c /selhat die Deduktions-Eigenschaft (DED) genau dann, wenn (ϕ sei hier eine variablenfreieFormel)• comp ( Φ ∪ {ϕ} ) ⊢ ψ =⇒ comp(Φ) ⊢ ϕ → ψ.• Φ ∪ {ϕ} ⊢ c ψ =⇒ Φ ⊢ c ϕ → ψ.• sel(I 1 ) ∩ I 2 ⊆ sel(I 1 ∩ I 2 ).Aus modelltheoretischer Sicht bedeutet diese Eigenschaft also, daß Modelle, die auchbei einer größeren Menge von ”Konkurrenten“ (I 1 ) als intendierte Modelle ausgewähltwerden, erst recht in einer kleineren Menge (I 1 ∩ I 2 ) ausgewählt werden.Für Datenbanken wird durch diese Eigenschaft die Information eingeschränkt, diebei einer Einfügung hinzukommen bzw. bei einer Löschung verloren gehen kann: Wennnach der Einfügung von ϕ die Anfrage ψ mit ”Ja“ beantwortet wird, dann muß vor derEinfügung schon ϕ → ψ mit ”Ja“ beantwortet worden sein.Wie immer ist noch die Äquivalenz der verschiedenen Formalisierungen zu zeigen:Lemma 4.1.15: Eine syntaktische bzw. modelltheoretische Vervollständigung hat dieDeduktions-Eigenschaft genau dann, wenn die zugehörige vervollständigte Folgerungsrelationsie hat.Beweis: Die Äquivalenz der Forderungen für syntaktische und abstrakte Vervollständigungenist offensichtlich. Ebenso offensichtlich ist die Äquivalenz zu der Forderungsel(I 1 ∩ I 2 ) ⊆ I =⇒ sel(I 1 ) ⊆ I 2 ∪ Ifür modelltheoretische Vervollständigungen (I 2 ist hier das Komplement von I 2 bezüglich I Σ ,d.h. I Σ − I 2 ). Diese Forderung kann sofort äquivalent umgeformt werden insel(I 1 ∩ I 2 ) ⊆ I =⇒ sel(I 1 ) ∩ I 2 ⊆ I.Wenn dies für alle I gilt, gilt es natürlich insbesondere auch für I := sel(I 1 ∩I 2 ) und man erhält(da die Voraussetzung trivialerweise erfüllt ist):sel(I 1 ) ∩ I 2 ⊆ sel(I 1 ∩ I 2 ).

4.1. FOLGERUNGSREGELN 79Hat man umgekehrt diese Eigenschaft und die Voraussetzung sel(I 1 ∩I 2 ) ⊆ I, dann folgt darausdirekt sel(I 1 ) ∩ I 2 ⊆ I.✷Die logische Folgerung erfüllt auch die Umkehrung der Deduktions-Eigenschaft. Für andereVervollständigungen kann man diese Umkehrung aber nicht verlangen:Satz 4.1.16:Die einzige konsistenzerhaltende Vervollständigung ⊢ c mitΦ ⊢ c ϕ → ψ =⇒ Φ ∪ {ϕ} ⊢ c ψist die logische Folgerung ⊢.Beweis: Sei ⊢ c verschieden von ⊢. Dann gibt es also Φ und ϕ ′ mit Φ ⊢ c ϕ ′ , aber Φ ⊬ ϕ ′ . Fürϕ := ¬ϕ ′ gilt dann also Φ ⊢ c ¬ϕ, und daher Φ ⊢ c ϕ → false. Nach der geforderten Eigenschaftgilt dann Φ ∪ {ϕ} ⊢ c false. Andererseits ist Φ ∪ {ϕ} aber konsistent wegen Φ ⊬ ¬ϕ. Also ist ⊢ cnicht konsistenzerhaltend.✷Die Deduktions-Eigenschaft selbst ist dagegen sehr nützlich. So läßt sie etwa eine ganzeReihe unterschiedlicher Formulierungen zu, die allesamt äquivalent sind.Ein Beispiel ist die Folgerungsregel von der Eliminierung der Disjunktionen:Satz 4.1.17: Eine Vervollständigung comp/⊢ c /sel hat die Deduktions-Eigenschaft genaudann, wenn gilt (Eigenschaft DIS, ϕ 1 und ϕ 2 seien variablenfreie Formeln):• comp(Φ) ⊢ ϕ 1 ∨ ϕ 2 , comp(Φ ∪ {ϕ 1 }) ⊢ ψ, comp(Φ) ∪ {ϕ 2 } ⊢ ψ =⇒ comp(Φ) ⊢ ψ.• Φ ⊢ c ϕ 1 ∨ ϕ 2 , Φ ∪ {ϕ 1 } ⊢ c ψ, Φ ∪ {ϕ 2 } ⊢ c ψ =⇒ Φ ⊢ c ψ.• sel(I 1 ∪ I 2 ) ⊆ sel(I 1 ) ∪ sel(I 2 ).Beweis: Die Äquivalenz der Formulierung für vervollständigte Folgerungsrelationen und syntaktischeFolgerungsrelationen ist in beiden Fällen offensichtlich, folgt also aus der Behauptungfür ⊢ c .Sei also zunächst die Aussage für vervollständigte Folgerungsrelationen bewiesen:• ”DIS =⇒ DED“: Es gilt Φ ⊢ c (ϕ → ψ) ∨ ϕ, denn (ϕ → ψ) ∨ ϕ ist äquivalent zu¬ϕ ∨ ψ ∨ ϕ und damit zu true, wird also von beliebigem Φ schon logisch impliziert. NachVoraussetzung gilt Φ ∪ {ϕ} ⊢ c ψ, und daher Φ ∪ {ϕ} ⊢ c ϕ → ψ. Außerdem gilt natürlichΦ ∪ {ϕ → ψ} ⊢ c ϕ → ψ. Wendet man die Regel DIS auf diese drei Voraussetzungen an, soerhält man die Behauptung Φ ⊢ c ϕ → ψ.• DED =⇒ DIS“: Nach Voraussetzung gelten Φ ⊢ c ϕ ” 1 ∨ ϕ 2 , Φ ∪ {ϕ 1 } ⊢ c ψ undΦ ∪ {ϕ 2 } ⊢ c ψ. Die zweite und dritte Forderung kann man mit DED umformen zuΦ ⊢ c ϕ 1 → ψ und Φ ⊢ c ϕ 2 → ψ. Nun folgt aber ϕ ⊢ c ψ aus dem Abschluß unter ∧und ⊢ c , denn {ϕ 1 ∨ ϕ 2 , ϕ 1 → ψ, ϕ 2 → ψ} ⊢ ψ.Nun ist die Aussage noch für modelltheoretische Vervollständigungen zu beweisen:• ”DIS =⇒ DED“: Ein Spezialfall der Eigenschaft DIS istsel ( (I 1 ∩ I 2 ) ∪ (I 1 ∩ I 2 ) ) ⊆ sel(I 1 ∩ I 2 ) ∪ sel(I 1 ∩ I 2 ).Offensichtlich kann man die linke Seite zu sel(I 1 ) vereinfachen. Schneidet man nun aufbeiden Seiten mit I 2 , so ergibt sich die Behauptung:sel(I 1 ) ∩ I 2 ⊆ sel(I 1 ∩ I 2 )

80 KAPITEL 4. EIGENSCHAFTEN VON VERVOLLSTÄNDIGUNGEN(wegen sel(I 1 ∩ I 2 ) ⊆ I 2 kann der entsprechende Teilterm entfallen).• ”DED =⇒ DIS“: Zwei Spezialfälle der Eigenschaft DED sind:sel(I 1 ∪ I 2 ) ∩ I 1 ⊆ sel ( (I 1 ∪ I 2 ) ∩ I 1 ) ) ,sel(I 1 ∪ I 2 ) ∩ I 2 ⊆ sel ( (I 1 ∪ I 2 ) ∩ I 2 ) ) .Vereinigt man die linken und rechten Seiten und nimmt die offensichtlichen Vereinfachungenvor, so erhält mansel(I 1 ∪ I 2 ) ∩ (I 1 ∪ I 2 ) ⊆ sel(I 1 ) ∪ sel(I 2 ).Nun ist aber ohnehin sel(I 1 ∪ I 2 ) ⊆ I 1 ∪ I 2 , man kann die linke Seite also noch weiter zusel(I 1 ∪ I 2 ) vereinfachen und erhält damit gerade die Eigenschaft DIS.✷Ein Spezialfall der Eliminierung der Disjunktion ist das Beweisschema der Fallunterscheidung.Tatsächlich ist es aber im Kontext von Vervollständigungen sogar äquivalent zurDeduktions-Eigenschaft:Satz 4.1.18: Eine Vervollständigung ⊢ c hat die Deduktions-Eigenschaft genau dann,wennΦ ∪ {ϕ} ⊢ c ψ, Φ ∪ {¬ϕ} ⊢ c ψ =⇒ Φ ⊢ c ψ(dabei sei ϕ wieder eine vriablenfreie Formel).Beweis:• Offensichtlich impliziert die Eigenschaft DIS diese Folgerungsregel (für ϕ 1ϕ 2 := ¬ϕ gilt trivialerweise Φ ⊢ c ϕ 1 ∨ ϕ 2 ).:= ϕ und• Übersetzt man diese Folgerungsregel in die modelltheoretische Sprechweise, so erhält mansel(I Φ ∩ I ϕ ) ⊆ I ψ , sel(I Φ ⊆ I ϕ ) ⊆ I ψ=⇒ sel(I Φ ) ⊆ I ψ .Für I ψ := sel(I Φ ∩ I ϕ ) ∪ sel(I Φ ⊆ I ϕ ) sind die Voraussetzungen trivialerweise erfüllt, undes ergibt sichsel(I Φ ) ⊆ sel(I Φ ∩ I ϕ ) ∪ sel(I Φ ∩ I ϕ ).Schneidet man nun auf beiden Seiten mit I ϕ , so ergibt sichsel(I Φ ) ∩ I ϕ ⊆ sel(I Φ ∩ I ϕ ),also die Deduktions-Eigenschaft.✷Wieder wird also die Information beschränkt, die verloren geht, wenn eine Formel aus derDatenbank gelöscht wird: Wenn es für eine Anfrage ψ keinen Unterschied macht, ob dieFormel ϕ oder ihre Negation ¬ϕ in der Datenbank enthalten sind, dann sollte es auchmöglich sein, diese Formel ganz zu löschen.Es gibt noch eine ganze Reihe weiterer äquivalenter Formulierungen. So kann manetwa die Eigenschaft DIS vereinfachen zuΦ ∪ {ϕ 1 } ⊢ c ψ, Φ ∪ {ϕ 2 } ⊢ c ψ =⇒ Φ ∪ {ϕ 1 ∨ ϕ 2 } ⊢ c ψ.

4.2. MODELLTHEORETISCHE EIGENSCHAFTEN 81Auch muß die Formulierung für syntaktische Vervollständigungen sich nicht immer an derFormulierung für vervollständigte Folgerungsrelationen orientieren, so kann man etwacomp(Φ) ∪ {ϕ} ⊢ comp ( Φ ∪ {ϕ} )direkt aus der modelltheoretischen Fassung der Eigenschaft DED ableiten. Diese letzteEigenschaft besagt, daß alle Defaults, die beim Vorliegen von mehr Information (Φ∪{ϕ})angenommen werden, erst recht bei weniger Information angenommen werden (Φ). Diesist insofern natürlich, als Defaults ja gerade aufgrund von mangelnder Information angenommenwerden sollen.Die Deduktions-Eigenschaft wurde in [Sho87] betrachtet. In der Theorie der Wahlverfahrenwurde eine entsprechende Eigenschaft 1954 von Chernoff eingeführt [Mou85].4.2 Modelltheoretische EigenschaftenIm folgenden werden noch einige Eigenschaften betrachtet, die keine direkte Beziehungzu Folgerungsregeln haben, aber in der modelltheoretischen Sichtweise recht einleuchtendsind. Auch Beziehungen zwischen Vervollständigungen werden untersucht.Die Expansions-EigenschaftWährend die Deduktions-Eigenschaft die Information begrenzt, die verloren geht, wenndie Voraussetzungen Φ schwächer werden, begrenzt die folgende Eigenschaft die Information,die in diesem Fall gewonnen werden kann. Es mag zunächst nicht intuitiv einleuchten,daß in diesem Fall überhaupt Information gewonnen werden kann, aber das liegtan dem nichtmonotonen Charakter der Vervollständigungen: Wenn die gelöschte Formeletwa gerade einen Default blockierte, kann dieser anschließend angenommen werden.Definition 4.2.1 (Expansions-Eigenschaft): Eine Vervollständigung comp/⊢ c /selhat die Expansions-Eigenschaft (EXP) genau dann, wenn gilt:• comp ( Φ ∪ {ϕ 1 } ) ∪ comp ( Φ ∪ {ϕ 2 } ) ⊢ comp ( Φ ∪ {ϕ 1 ∨ ϕ 2 } ) .• Φ ∪ {ϕ 1 ∨ ϕ 2 } ⊢ c ψ =⇒ es gibt ψ 1 , ψ 2 ∈ L ∗ Σ mit ψ 1 ∧ ψ 2∼ = ψ undΦ ∪ {ϕ 1 } ⊢ c ψ 1 , Φ ∪ {ϕ 2 } ⊢ c ψ 2 .• sel(I 1 ) ∩ sel(I 2 ) ⊆ sel(I 1 ∪ I 2 ).In der modelltheoretischen Sicht besagt diese Eigenschaft, daß ein Modell, das sowohlim Vergleich mit einer Menge I 1 von alternativen Modellen intendiert ist, als auch imVergleich mit I 2 , dann auch in ihrer Vereinigung ausgewählt werden sollte.Lemma 4.2.2: Eine syntaktische bzw. modelltheoretische Vervollständigung hat genaudann die Eigenschaft EXP, wenn die zugehörige vervollständigte Folgerungsrelation dieEigenschaft EXP hat.

82 KAPITEL 4. EIGENSCHAFTEN VON VERVOLLSTÄNDIGUNGENBeweis:• Habe comp die Expansions-Eigenschaft und gelte Φ ∪ {ϕ 1 ∨ ϕ 2 } ⊢ comp ψ. Dies bedeutetdefinitionsgemäß comp ( Φ ∪ {ϕ 1 ∨ ϕ 2 } ) ⊢ ψ. Dann gilt natürlichcomp ( Φ ∪ {ϕ 1 } ) ∪ comp ( Φ ∪ {ϕ 2 } ) ⊢ ψ,und ψ folgt schon aus einer endlichen Teilmenge. Sei ψ i ′ die Konjunktion der benötigtenFormeln aus comp ( Φ ∪ {ϕ i } ) (i = 1, 2). Dann gilt Φ ∪ {ϕ 1 } ⊢ c ψ 1 ′ , Φ ∪ {ϕ 2} ⊢ c ψ 2 ′ und{ψ 1 ′ ∧ ψ′ 2 } ⊢ ψ. Die Behauptung folgt nun für ψ i := ψ i ′ ∨ ψ.Habe umgekehrt ⊢ comp die Eigenschaft EXP und sei ψ ∈ comp ( Φ∪{ϕ 1 ∨ϕ 2 } ) beliebig.Dann gilt Φ ∪ {ϕ 1 ∨ ϕ 2 } ⊢ comp ψ und daher gibt es ψ 1 und ψ 2 mit Φ ∪ {ϕ 1 } ⊢ comp ψ 1 ,Φ ∪ {ϕ 2 } ⊢ comp ψ 2 und ψ 1 ∧ ψ 2∼ = ψ, also comp(Φ ∪ {ϕ1 } ) ∪ comp ( Φ ∪ {ϕ 2 } ) ⊢ ψ.• Habe sel die Expansions-Eigenschaft und gelte Φ ∪ {ϕ 1 ∨ ϕ 2 } ⊢ sel ψ. Sei zur AbkürzungI Φ := Mod(Φ), I 1 := Mod(ϕ 1 ), I 2 := Mod(ϕ 2 ) und I ψ := Mod(ψ). Damit bedeutet dieVoraussetzung:sel ( I Φ ∩ (I 1 ∪ I 2 ) ) = sel ( (I Φ ∩ I 1 ) ∪ (I Φ ∩ I 2 ) ) ⊆ I ψ .Nach der Expansionseigenschaft ist nunsel(I Φ ∩ I 1 ) ∩ sel(I Φ ∩ I 2 ) ⊆ sel ( (I Φ ∩ I 1 ) ∪ (I Φ ∩ I 2 ) ) ⊆ I ψ .Daher gilt die Behauptung für ψ i := th ( sel(I Φ ∩ I i ) ) (i = 1, 2).Habe umgekehrt ⊢ sel die Expansions-Eigenschaft. Trivialerweise gilt für Φ := ∅,ϕ 1 := th(I 1 ), ϕ 2 := th(I 2 ) und ψ := th ( sel(I 1 ∪ I 2 ) ) , daß Φ ∪ {ϕ 1 ∨ ϕ 2 } ⊢ sel ψ. NachVoraussetzung gibt es nun ψ 1 und ψ 2 mitΦ ∪ {ϕ 1 } ⊢ sel ψ 1 , Φ ∪ {ϕ 2 } ⊢ sel ψ 2 , {ψ 1 ∧ ψ 2 } ⊢ ψ.Dann gilt aber sel(I 1 ) ∩ sel(I 2 ) ⊆ Mod(ψ 1 ) ∩ Mod(ψ 2 ) ⊆ sel(I 1 ∪ I 2 ).✷Die Expansions-Eigenschaft ist wichtig, weil sie es gestattet, von der Auswahl eines Modellsin kleineren Modellmengen auf die Auswahl des Modells in größeren Mengen zuschließen. Die Deduktions-Eigenschaft leistet gerade das Umgekehrte, zusammen hatman:sel(I 1 ) ∩ sel(I 2 ) ⊆ sel(I 1 ∪ I 2 ) ⊆ sel(I 1 ) ∪ sel(I 2 ),also eine obere und eine untere Schranke für sel(I 1 ∪ I 2 ).Vergleich der Stärke von VervollständigungenNatürlich ist es auch wichtig, das Verhalten verschiedener Default-Semantiken für dieselbeDefault-Spezifikation zu vergleichen.Ein einfacher Zusammenhang ist hier, daß die intendierten Modelle bezüglich der einenVervollständigung immer eine Teilmenge der intendierten Modelle bezüglich der anderenVervollständigung sind:

4.3. VERVOLLSTÄNDIGUNGEN ALS SEMANTIK VON DEFAULTS 83Definition 4.2.3 (Stärker als): Eine Vervollständigung comp 1 /⊢ c 1/sel 1 ist stärker alseine Vervollständigung comp 2 /⊢ c 2/sel 2 genau dann, wenn gilt:• comp 1 (Φ) ⊢ comp 2 (Φ).• Φ ⊢ c 2 ψ =⇒ Φ ⊢ c 1 ψ.• sel 1 (I) ⊆ sel 2 (I).In diesem Fall heißt comp 2 /⊢ c 2/sel 2 schwächer als comp 1 /⊢ c 1/sel 1 . Echt stärker heißt eineVervollständigung, wenn sie stärker ist, aber nicht schwächer.Lemma 4.2.4: Eine syntaktische bzw. modelltheoretische Vervollständigung ist genaudann stärker als eine andere, wenn dies auch für die zugehörigen vervollständigtenFolgerungsrelationen gilt.Beweis:• Sei comp 1 stärker als comp 2 . Gelte Φ ⊢ comp2 ψ, d.h. comp 2 (Φ) ⊢ ψ. Da comp 1 stärkerals comp 2 ist, gilt comp 1 (Φ) ⊢ comp 2 (Φ) und damit comp 1 (Φ) ⊢ ψ, also Φ ⊢ comp1 ψ.• Sei ⊢ comp1 stärker als ⊢ comp2 . Sei ψ ∈ comp 2 (Φ). Natürlich gilt Φ ⊢ comp2 ψ, dann alsoauch Φ ⊢ comp1 ψ und daher comp 1 (Φ) ⊢ ψ. Da dies für alle ψ ∈ comp 2 (Φ) gilt, folgtcomp 1 (Φ) ⊢ comp 2 (Φ).• Sei sel 1 stärker als sel 2 . Gilt Φ ⊢ sel 2ψ, d.h. sel 2(Mod(Φ))⊆ Mod(ψ), so gilt wegensel 1(Mod(Φ))⊆ sel 2(Mod(Φ))auch sel 1(Mod(Φ))⊆ Mod(ψ), d.h. Φ ⊢sel 1ψ.• Sei ⊢ sel 1stärker als ⊢ sel 2. Dann wähle man Φ := Th(I) und ψ := th ( sel 2 (I) ) . Natürlichgilt Φ ⊢ sel 2ψ, also auch Φ ⊢ sel 1ψ, dies bedeutet aber sel 1 (I) ⊆ sel 2 (I).✷Die schwächste aller Vervollständigungen ist die logische Folgerung, die stärkste ist dieüberall inkonsistente Vervollständigung. Interessanter werden solche extremalen Vervollständigungennatürlich, wenn man zusätzlich noch andere Eigenschaften fordert.4.3 Vervollständigungen als Semantik von DefaultsZiel dieser Untersuchungen ist ja eine Abbildung von Default-Spezifikationen (∆, ❁) aufVervollständigungen, die also die Semantik der Defaults definiert. Bisher wurde nur derWertebereich dieser Abbildung untersucht. So möchte man etwa für beliebige Default-Spezifikationen garantieren können, daß die zugehörige Vervollständigung konsistenzerhaltendund kumulierend ist.Die Definition spezieller solcher Abbildungen ist Gegenstand von Kapitel 5. Washier noch zu tun bleibt, ist Anforderungen an solche Abbildungen zu sammeln. Solangeman sich dabei nur auf ein Paar von Eingabe (Default-Spezifikation) und Ausgabe (Vervollständigung)bezieht, kann man dies auch als eine Eigenschaft von Vervollständigungenauffassen, die mit einer Default-Spezifikation parametrisiert ist.Obwohl der Ausprägungs-Mechanismus für die Defaults eigentlich Bestandteil derVervollständigung ist, wird er auch in den hier betrachteten Eigenschaften benötigt. Man

84 KAPITEL 4. EIGENSCHAFTEN VON VERVOLLSTÄNDIGUNGENkann ihn entweder als einen weiteren Parameter der Eigenschaften ansehen, oder einenfesten Ausprägungs-Mechanismus (die Grundbeispiel-Bildung) zugrunde legen.Defaults als einziges UnterscheidungskriteriumSei eine Menge ∆ ∗ von Default-Ausprägungen gegeben (die Prioritätsrelation spielt indiesem Unterabschnitt keine Rolle). Man kann nun zwei Modelle als äquivalent ansehen,wenn sie sich nicht in den Wahrheitswerten der δ ∈ ∆ ∗ unterscheiden:Definition 4.3.1 (Äquivalenz bezüglich Defaults): Zwei Interpretationen I 1 und I 2heißen äquivalent bezüglich ∆ ∗ (I 1∼ =∆ ∗ I 2 ) genau dann, wennI 1 |= δ ⇐⇒ I 2 |= δfür alle δ ∈ ∆ ∗ gilt.Wenn eine Vervollständigung auf ∆ ∗ basiert, so wird man erwarten, daß sie mit dieserÄquivalenzrelation verträglich ist, also äquivalente Modelle entweder beide auswählt oderbeide ausscheidet.Diese Forderung ist modelltheoretisch sehr einleuchtend. Bezogen auf syntaktischeVervollständigungen besagt sie, daß die Vervollständigung durch eine aussagenlogischeVerknüpfung von Default-Ausprägungen geschieht:Definition 4.3.2 (Verträglich mit Defaults): Eine Vervollständigung comp/⊢ c /selheißt verträglich mit Default-Ausprägungen ∆ ∗ ( compatible with defaults“, CD) genau”dann, wenn• Für alle Φ gibt es eine Menge E(Φ) von aussagenlogischen Verknüpfungen von Elementenaus ∆ ∗ , so daß comp(Φ) ∼ = Φ ∪ E(Φ).• Für alle Φ gibt es eine Menge E(Φ) von aussagenlogischen Verknüpfungen von Elementenaus ∆ ∗ , so daß Φ ⊢ c ψ ⇐⇒ Φ ∪ E(Φ) ⊢ ψ.• Für alle I 1 , I 2 ∈ I: I 1∼ =∆ ∗ I 2 =⇒ ( I 1 ∈ sel(I) ⇐⇒ I 2 ∈ sel(I) ) .Lemma 4.3.3: Eine syntaktische bzw. modelltheoretische Vervollständigung ist genaudann verträglich mit ∆ ∗ , wenn dies auch für die zugehörige vervollständigte Folgerungsrelationgilt.Beweis: Die Äquivalenz zwischen der Formulierung für syntaktische Vervollständigungen undvervollständigte Folgerungsrelationen ist offensichtlich.• Sei ⊢ sel verträglich mit ∆ ∗ , und seien I 1 , I 2 ∈ I mit I 1∼ =∆ ∗ I 2 . Es gibt nun eine aussagenlogischeVerknüpfung der Defaults E ( Th(I) ) , so daßTh(I) ⊢ sel ψ ⇐⇒ Th(I) ∪ E ( Th(I) ) ⊢ ψ.Sei ψ i := th ( I Σ − {I i } ) für i = 1, 2. Dann giltTh(I) ⊢ sel ψ i⇐⇒ I i ∉ sel(I).

4.3. VERVOLLSTÄNDIGUNGEN ALS SEMANTIK VON DEFAULTS 85Andererseits giltTh(I) ⊢ sel ψ i ⇐⇒ I i ̸|= E ( Th(I) ) .Da I 1 und I 2 sich nicht in den Wahrheitswerten der Defaults unterscheiden, gilt diesnatürlich auch für Mengen aussagenlogischer Verknüpfungen, alsoI 1 ̸|= E ( Th(I) ) ⇐⇒ I 2 ̸|= E ( Th(I) ) .Zusammen mit den übrigen Äquivalenzen folgt I 1 ∉ sel(I) ⇐⇒ I 2 ∉ sel(I).• Sei umgekehrt sel verträglich mit ∆ ∗ und sei Φ gegeben. Man konstruiert E(Φ) folgendermaßen:Für jedes Modell I ∈ sel ( Mod(Φ) ) sei E(I) die Konjunktion aller δ ∈ ∆ ∗mit I |= δ und aller ¬δ mit I ̸|= δ. Dann bestehe E(Φ) aus der Disjunktion aller dieserFormeln. Da sel verträglich mit ∆ ∗ ist, gilt für jedes I ∈ Mod(Φ) nach KonstruktionI |= E(Φ) =⇒ I ∈ sel ( Mod(Φ) ) . Daraus folgt aberΦ ⊢ sel ψ ⇐⇒ Φ ∪ E(Φ) ⊢ ψ,denn die linke Seite bedeutet nach Definition: sel ( Mod(Φ) ) ⊆ Mod(ψ).✷Eigenschaften dieser Art wurden in der Literatur offenbar noch nicht betrachtet; es standimmer entweder die allgemeine Folgerungsrelation oder die spezielle Default-Semantik imVordergrund.Ist ∆ ∗ leer, so ist intuitiv die einzige vernünftige Semantik die logische Folgerung.Dies kann auch formal mit dieser Eigenschaft begründet werden: Die logische Folgerungdie einzige mit ∅ verträgliche konsistenzerhaltende Vervollständigung.Man kann die Eigenschaft CD noch verstärken, wenn man statt der Äquivalenzrelationeine Ordnung auf den Modellen betrachtet. Wird I 1 ausgewählt und erfüllt I 2 mindestensdieselben Defaults, so sollte I 2 erst recht ausgewählt werden.Definition 4.3.4 (erfüllt Defaults ebenso gut wie): Eine Interpretation I 1 erfülltdie Default-Ausprägungen ∆ ∗ mindestens ebenso gut wie I 2 (I 1 ≼ ∆ ∗ I 2 ) genau dann, wennI 2 |= δ =⇒ I 1 |= δfür alle δ ∈ ∆ ∗ gilt.Im Unterschied zu der in Kapitel 5 definierten Ordnung ist diese Relation nur transitivund nicht irreflexiv (verschiedene Modelle können dieselben Defaults erfüllen). Allerdingsist die dort für Defaults ohne Prioritäten definierte Ordnung gerade der irreflexive Anteildieser Ordnung. Für Defaults mit Prioritäten ist die dort definierte Ordnung eineObermenge, so daß diese Eigenschaft noch stärker würde. Hier sollen aber nur völlig unstrittigeForderungen aufgestellt werden, so daß die Semantik der Prioritäten besser nochnicht festgelegt wird. Aber natürlich müssen Vervollständigungen mit Prioritäten erstrecht diese Eigenschaft erfüllen (es ist ja keine Entscheidung zwischen konkurrierendenDefaults zu fällen):

86 KAPITEL 4. EIGENSCHAFTEN VON VERVOLLSTÄNDIGUNGENDefinition 4.3.5 (Stark verträglich): Eine Vervollständigung comp/⊢ c /sel heißtstark verträglich mit Default-Ausprägungen ∆ ∗ (Eigenschaft SCD) genau dann, wenn• Für alle Φ gibt es eine Menge E(Φ) von ∧/∨-Verknüpfungen von Elementen aus ∆ ∗ ,so daß comp(Φ) ∼ = Φ ∪ E(Φ).• Für alle Φ gibt es eine Menge E(Φ) von ∧/∨-Verknüpfungen von Elementen aus ∆ ∗ ,so daß Φ ⊢ c ψ ⇐⇒ Φ ∪ E(Φ) ⊢ c ψ.• Für alle I 1 , I 2 ∈ I: I 1 ∈ sel(I), I 2 ≼ ∆ ∗ I 1=⇒ I 2 ∈ sel(I).Lemma 4.3.6: Eine syntaktische bzw. modelltheoretische Vervollständigung ist genaudann stark verträglich mit ∆ ∗ , wenn dies auch für die zugehörige vervollständigteFolgerungsrelation gilt.Beweis:Der Beweis ist sehr ähnlich zu dem von Lemma 4.3.3. Die Unterschiede sind:• In der Richtung von ⊢ sel nach sel hat man jetzt nur noch die Implikation:I 1 ̸|= E ( Th(I) ) ⇐= I 2 ̸|= E ( Th(I) ) .• In der anderen Richtung enthält E(I) jetzt nur noch die Konjunktion aller δ ∈ ∆ ∗ mitI |= δ.✷Die naive CWADie originale CWA [Rei78] nimmt ein negatives Grundliteral an, wenn das entsprechendepositive Grundliteral nicht aus den Axiomen folgt (siehe Kapitel 3). Die Verallgemeinerungauf beliebige Defaults und Prioritäten wird hier die naive CWA genannt, weilsie verglichen mit den anderen Default-Semantiken so einfach ist (und um sie von dervorsichtigen CWA in Kapitel 5 zu unterscheiden).Diese Einfachheit hat bekanntlich den Preis, daß die naive CWA nicht konsistenzerhaltendist, wenn zwei Defaults gleicher Priorität im Konflikt miteinander stehen (sie werdendann beide angenommen). Andererseits ist diese Einfachheit ihre große Stärke: Sie ist soeinleuchtend, daß im Konsistenzfall jede gute Default-Semantik mit ihr übereinstimmensollte. Diese Eigenschaft wird NCWA-Eigenschaft genannt.Falls keine Prioritäten spezifiziert sind, ist die naive CWA einfachncwa ∆ (Φ) := Φ ∪ {δ ∈ ∆ ∗ | Φ ⊬ ¬δ}.Bei Prioritätsstufen wird diese Konstruktion entsprechend iteriert, im allgemeinen Fallergibt sich folgende Definition:Definition 4.3.7 (Naive CWA):Elemente von ∆ ∗ definiert:• Ist ∆ ∗ leer, so ist ncwa (∆ ∗ ,❁)(Φ) := Φ.Die naive CWA wird induktiv über der Anzahl der• Sonst sei ∆ ∗ δ := {δ 0 ∈ ∆ ∗ | δ 0 ❁ δ} die Menge der Defaults echt höherer Prioritätals δ ∈ ∆ ∗ , und ❁ δ sei die Restriktion von ❁ auf ∆ ∗ δ . Da diese Menge mindestens

4.3. VERVOLLSTÄNDIGUNGEN ALS SEMANTIK VON DEFAULTS 87einen Default weniger enthält (δ), ist ncwa (∆ ∗δ ,❁ δ ) schon definiert. Nun seincwa (∆ ∗ ,❁)(Φ) := Φ ∪ {δ ∈ ∆ ∗ | ncwa (∆ ∗δ ,❁ δ ) ⊬ ¬δ}.Schließlich sei ncwa (∆,❁) := ncwa (∆ ∗ ,❁).Falls es keine Prioritäten gibt, ist ∆ ∗ δncwa ∆ (Φ) := Φ ∪ {δ ∈ ∆ ∗ | Φ ⊬ ¬δ}leer, und die Definition vereinfacht sich zu(wie bereits in Kapitel 3 angegeben). Es ist auch möglich, die naive CWA modelltheoretischzu definieren, zur Vereinfachung wird hier nur die Version ohne Prioritäten angegeben:⋂ncwa ∆ (I) := I ∩Mod(δ).{δ∈∆ ∗ |Mod(δ)∩I≠∅}In Ab-Die Äquivalenz und die Verallgemeinerung auf Prioritäten sind offensichtlich.schnitt 5.1 wird eine Charakterisierung mittels minimaler Modelle angegeben.Definition 4.3.8 (NCWA-Eigenschaft): Eine Vervollständigung comp/⊢ c /sel hat fürgegebenes (∆, ❁) die NCWA-Eigenschaft genau dann, wenn• Ist ncwa (∆,❁) (Φ) konsistent, so gilt comp(Φ) ∼ = ncwa (∆,❁) (Φ).• Ist ncwa (∆,❁) (Φ) konsistent, so gilt Φ ⊢ c ψ ⇐⇒ ncwa (∆,❁) (Φ) ⊢ ψ.• Ist ncwa (∆,❁) (I) ≠ ∅, so gilt sel(I) = ncwa (∆,❁) (I).Die Äquivalenz der verschiedenen Formulierungen ist offensichtlich.Disjunktions-Eigenschaft für DefaultsMan kann die in Abschnitt 4.1 angegebenen Eigenschaften abschwächen, indem mansie nicht für beliebige Formeln ψ fordert, sondern nur für Defaults. Die Deduktions-Eigenschaft läßt sich etwa äquivalent in der folgenden Form aufschreiben:Φ ∪ {ϕ 1 } ⊢ ψ, Φ ∪ {ϕ 2 } ⊢ ψ =⇒ Φ ∪ {ϕ 1 ∨ ϕ 2 } ⊢ ψ.Die vorsichtige CWA hat diese Eigenschaft nicht. Setzt man jedoch zusätzlich ψ ∈ ∆ ∗voraus, so erhält man die folgende Eigenschaft, die auch von der vorsichtigen CWA erfülltwird (siehe Kapitel 5):Definition 4.3.9 (Eigenschaft DDIS): Eine Vervollständigung comp/⊢ c /sel hat dieDisjunktions-Eigenschaft für ∆ ∗ (Eigenschaft DDIS) genau dann, wenn• comp ( Φ ∪ {ϕ 1 } ) ⊢ δ, comp ( Φ ∪ {ϕ 2 } ) ⊢ δ =⇒ comp ( Φ ∪ {ϕ 1 ∨ ϕ 2 } ) ⊢ δ.• Φ ∪ {ϕ 1 } ⊢ c δ, Φ ∪ {ϕ 2 } ⊢ c δ =⇒ Φ ∪ {ϕ 1 ∨ ϕ 2 } ⊢ c δ.• sel(I 1 ) ⊆ Mod(δ), sel(I 2 ) ⊆ Mod(δ) =⇒ sel(I 1 ∪ I 2 ) ⊆ Mod(δ).

88 KAPITEL 4. EIGENSCHAFTEN VON VERVOLLSTÄNDIGUNGENDie Äquivalenz der verschiedenen Formulierungen ist offensichtlich.Diese Eigenschaft bedeutet, daß wenn ein Default δ in Φ ∪ {ϕ 1 } angenommen wird,und in Φ ∪ {ϕ 2 }, er dann auch in Φ ∪ {ϕ 1 ∨ ϕ 2 } angenommen werden sollte. Er kann dannja nicht durch Axiome blockiert werden und alle Konflikte mit anderen Defaults sind inden beiden in der Voraussetzung genannten Axiomenmengen schon aufgetreten, dort hatsich δ aber durchgesetzt.Eine unmittelbare Folgerung aus der Definition und Satz 4.1.17 ist:Korollar 4.3.10: Hat eine Vervollständigung die Deduktions-Eigenschaft, so hat sieauch die Eigenschaft DDIS für beliebige ∆ ∗ .

Kapitel 5Semantik von DefaultsIn diesem Kapitel werden nun verschiedene konkrete Vorschläge für die Semantik vonDefaults angegeben.Es wird dabei jeweils untersucht, welche der Eigenschaften aus dem letzten Kapitelfür beliebige Default-Spezifikationen garantiert werden können.Außerdem ist auch die Ausdrucksfähigkeit der Semantiken interessant, d.h. die Frage,welche Vervollständigungen durch geeignete Default-Spezifikationen beschrieben werdenkönnen. Zwischen diesen beiden Zielen gibt es natürlich einen Konflikt: Je mehr Vervollständigungenbeschrieben werden können, desto weniger Eigenschaften können garantiertwerden.Natürlich werden die verschiedenen Semantiken auch verglichen, insbesondere gibtes Resultate der Form, daß eine Semantik grundsätzlich eine stärkere Vervollständigungliefert als eine andere.Schließlich ist es möglich, Default-Semantiken durch Eigenschaften zu charakterisieren.Damit wird die eingangs gestellte Frage, welche Vervollständigung einer Default-Spezifikation zugeordnet werden sollte, zumindest relativ zu einer Menge von Eigenschaftenbeantwortet.5.1 Minimale ModelleDie Idee der minimalen Modelle ist, daß ein Modell um so besser ist, je mehr Defaults eserfüllt. Aus den durch die Axiome eingeschränkten Modellen wählt man dann die bestenaus.Tatsächlich kann man minimale Modelle aber auch unabhängig von Defaults betrachten,man braucht nur eine (strikte) partielle Ordnung auf den Herbrand-Interpretationen,d.h. eine transitive und irreflexive zweistellige Relation.Ist etwa I 1 ≺ I 2 , so hält man die durch I 1 beschriebene Situation für plausibler als I 2 .Beispielsweise könnten sich I 1 und I 2 dadurch unterscheiden, daß der Vogel tweety in I 1fliegen kann, aber nicht in I 2 . Da Vögel normalerweise fliegen können, würde man I 1 vorziehen,wenn die Axiome beide Situationen zulassen. Ist dagegen explizit die Information89

90 KAPITEL 5. SEMANTIK VON DEFAULTSgegeben, daß tweety nicht fliegen kann, dann ist I 1 ausgeschlossen und I 2 ein intendiertesModell.Dieses Beispiel entspricht natürlich gerade der Ordnung, die durch den Default ”Vögelkönnen normalerweise fliegen“ gegeben wäre. In diesem Abschnitt werden daher einerseitsallgemeine Präferenzrelationen ≺ betrachtet, und andererseits die durch eine Menge vonDefaults gegebene Ordnung ≺ ∆ . Später werden dann auch Ordnungen für Defaults mitPrioritäten eingeführt, wobei die allgemeinen Resultate weiterhin gültig bleiben.Definition 5.1.1 (Ordnungsrelation zu einer Menge von Defaults): Die zu einerMenge ∆ von Defaults gehörige Ordnungsrelation ≺ ∆ auf den Herbrandmodellen istI 1 ≺ ∆ I 2 :⇐⇒ { δ ∈ ∆ ∗ ∣ ∣ I 1 |= δ } ⊃ { δ ∈ ∆ ∗ ∣ ∣ I 2 |= δ } .Definition 5.1.2 (Minimale Modelle): Sei ≺ eine transitive und irreflexive Relationauf den Herbrand-Interpretationen I Σ . Dann ist die modelltheoretische Vervollständigungmin ≺ definiert durchmin ≺ (I) := {I ∈ I | es gibt kein I 0 ∈ I mit I 0 ≺ I}.Für eine Menge ∆ von Defaults sei min ∆ := min ≺∆ .Natürlich könnte man die Ordnungsrelation auch umdrehen und dann entsprechend vonmaximalen Modellen“ sprechen. Der Name minimale Modelle hat sich aber eingebürgert,”weil die typischen Defaults Negationen sind. Dann interpretiert ein Modell, was maximalviele Defaults erfüllt, die Prädikate gerade durch minimale Relationen.Minimale Modelle in diesem Sinne wurden in [Dav80, McC80] eingeführt. Ein abstrakterAnsatz mit beliebigen Präferenzrelationen wurde in [Sho87] vorgeschlagen. DieBeziehung zwischen Defaults und Ordnungsrelationen wurde in [BL89] ausführlich untersucht.Beziehung zwischen Ordnungsrelationen und DefaultsOben wurde definiert, welche Ordnungsrelation durch eine Menge von Defaults beschriebenist. Tatsächlich kann man aber auch umgekehrt zu einer gegebenen Ordnungsrelationeine Menge von Defaults konstruieren (unter den hier zugrundeliegenden Endlichkeitsannahmen).Das bedeutet, daß beliebige Ordnungsrelationen durch Defaults beschriebenwerden können:Lemma 5.1.3: Zu jeder partiellen Ordnung ≺ auf den Herbrand-Interpretationen gibtes eine Menge ∆ von Defaults, so daß ≺ = ≺ ∆ .Beweis: Für jedes Herbrandmodell I sei δ I := th ( {I} ∪ {I ′ ∈ I Σ | I ′ ≺ I} ) . Dann sei diezu konstruierende Menge von Defaults: ∆ := {δ I | I ∈ I Σ }. Diese Defaults sind variablenfreieFormeln, es gilt also ∆ ∗ = ∆.

5.1. MINIMALE MODELLE 91• Da die den Defaults entsprechenden Modellmengen nach unten abgeschlossen sind, folgtaus I 1 ≺ I 2 und I 2 |= δ natürlich I 1 |= δ und damit giltI 1 ≺ I 2=⇒ { δ ∈ ∆ ∗ ∣ ∣ I 1 |= δ } ⊃ {δ ∈ ∆ ∗ | I 2 |= δ}.• Ist dagegen I 1 ⊀ I 2 , dann gilt I 2 |= δ I2 , aber I 1 ̸|= δ I2 , also folgt ⊅ und damit dieRichtung ⇐= .✷Die Konstruktion der Defaults in dem Beweis ist nicht unrealistisch, zumindest erhältman in dem Standardbeispiel (Minimierung der Prädikatextensionen) Konjunktionen vonnegativen Grundliteralen, die man mit Satz 5.1.5 (s.u.) zu den üblichen negativen Grundliteralenvereinfachen kann.Konjunktionen sind aber nicht immer überfüssig. Wenn man als Defaults nur Klauselnzuläßt, würde sich die Ausdrucksfähigkeit dieses Ansatzes verringern, nicht jede Ordnungsrelationwäre mehr darstellbar:Beispiel 5.1.4: Seien die Interpretationen über einer Signatur mit den beiden Aussagenvariablenp und q betrachtet. Die Ordnung ≺ sei gegeben durch:[¯p¯q] ≺ [¯pq] ≺ [p¯q] ≺ [pq](dies entspricht gerade den Defaults ¬p und ¬q, wobei ¬p höhere Priorität hat, s.u.).Ziel ist es nun, eine passende Menge ∆ von Defaults zu konstruieren. Auf jeden Fallmuß in [¯p¯q] ein Default δ ∈ ∆ gelten, der in [¯pq] nicht gilt, sonst wäre [¯p¯q] ⊀ ∆ [¯p¯q]. Würdeδ aber in einer der beiden anderen Interpretationen [p¯q] und [pq] gelten, so müßte er auchin [¯pq] gelten, denn sonst wäre [¯p¯q] ⊀ ∆ [p¯q] bzw. [¯p¯q] ⊀ ∆ [pq]. Da δ aber in [¯pq] geradenicht gilt, kann er also nur in [¯p¯q] gelten und in keiner der anderen Interpretationen.Man kann nun aber leicht alle in Frage kommenden Klauseln durchgehen und feststellen,daß sie diese Bedingung nicht erfüllen. Man bräuchte hier die Konjunktion ¬p ∧ ¬q,die aber keine Klausel ist.✷Zwei verschiedene Ordnungsrelationen liefern auch immer zwei verschiedene Vervollständigungen,wie man an Axiomenmengen mit genau zwei Modellen sehen kann. Für Mengenvon Defaults gilt das dagegen nicht, es ist durchaus möglich, daß ∆ 1 ≠ ∆ 2 , abermin ∆1 = min ∆2 gilt.Es ist nützlich zu wissen, wann Mengen von Defaults in diesem Sinne äquivalent sind,etwa um Vereinfachungen vorzunehmen, oder um feststellen zu können, ob die Vorschlägezweier verschiedener Entwerfer sich tatsächlich unterscheiden.Man wird erwarten, daß Vervollständigungen keinen Unterschied zwischen äquivalentenDefaults machen; die folgende Aussage ist aber noch deutlich stärker:Satz 5.1.5: Seien ∆ 1 und ∆ 2 Mengen von Defaults, wobei jeder Default δ 1 ∈ ∆ ∗ 1äquivalent zu einer Verknüpfung mit ∧ und ∨ von Defaults aus ∆ ∗ 2 ist und umgekehrtjeder Default δ 2 ∈ ∆ ∗ 2 äquivalent zu einer ∧/∨-Verknüpfung von Defaults aus ∆ ∗ 1 ist.Dann gilt min ∆1 = min ∆2 .

92 KAPITEL 5. SEMANTIK VON DEFAULTSBeweis: Gelte die Darstellbarkeit mit den jeweils anderen Defaults. Seien zwei beliebigeInterpretationen I und I ′ gegeben.Zunächst wird gezeigt, daß es für jeden Default δ 2 ∈ ∆ ∗ 2 mit I |= δ 2 und I ′ ̸|= δ 2 einenDefault δ 1 ∈ ∆ ∗ 1 gibt mit I |= δ 1 und I ′ ̸|= δ 1 : Dies geschieht mit Induktion über dem Aufbaueines zu δ 2 äquivalenten Defaults ˜δ 2 aus ∆ ∗ 1 -Defaults. Ist ˜δ 2 ∈ ∆ ∗ 1 , so gilt die Behauptungtrivialerweise. Ist ˜δ 2 = ˜δ 2,1 ∨ ˜δ 2,2 , so muß in I mindestens ein ˜δ 2,i wahr sein, während in I ′ beidefalsch sind (insbesondere das ˜δ 2,i , das in I wahr ist). Dann folgt die Behauptung aber aus derInduktionsannahme. Im Fall ˜δ 2 = ˜δ 2,1 ∧ ˜δ 2,2 ist eines der ˜δ 2,i in I ′ falsch und in I wahr, so daßdie Behauptung wieder auf die Induktionsannahme zurückgeführt werden kann.Aus Symmetriegründen gibt es natürlich umgekehrt auch für jeden Default δ ′ 1 ∈ ∆∗ 1 mitI ̸|= δ ′ 1 und I′ |= δ ′ 1 auch einen Default δ′ 2 ∈ ∆∗ 2 mit I ̸|= δ′ 2 und I′ |= δ ′ 2 .Gelte nun I ≺ ∆1 I ′ . Dann gibt es einen Default δ 1 ∈ ∆ ∗ 1 mit I |= δ 1 und I ′ ̸|= δ 1 und nachder obigen Überlegung also auch einen Default δ 2 ∈ ∆ ∗ 2 mit I |= δ 2 und I ′ ̸|= δ 2 . Umgekehrt gibtes keinen Default δ ′ 1 mit I ̸|= δ′ 1 und I′ |= δ ′ 1 . Dann kann es aber auch keinen Default δ′ 2 ∈ ∆∗ 2geben mit I ̸|= δ ′ 2 und I′ |= δ 2 , denn daraus könnte man nach dem obigen so einen Default δ ′ 1konstruieren. Also gilt I ≺ ∆2 I ′ .Die andere Richtung I ≺ ∆2 I ′ =⇒ I ≺ ∆1 I ′ folgt wieder aus Symmetriegründen. ✷Offene Frage 5.1.6: Dieses Kriterium für die Äquivalenz zweier Mengen von Defaults∆ 1 und ∆ 2 , d.h. für min ∆1 = min ∆2 ist nur hinreichend, aber nicht notwendig.Gibt es ein nichttriviales hinreichendes und notwendiges Kriterium?In der Literatur wurden solche Fragestellungen offenbar noch nicht betrachtet, die Sätzedieses Unterabschnittes sind beide neu.EigenschaftenAnschließend sollen die Eigenschaften der Vervollständigungen vom Typ ”minimale Modelle“untersucht werden. Es wird sich dabei zeigen, daß sie alle Eigenschaften aus Kapitel4 haben.Für den Nachweis dieser Eigenschaften ist das folgende Lemma nützlich, das etwasstärker als die bloße Existenz eines minimalen Modells ist. Es gilt hier aufgrund der Endlichkeitsannahmen,im allgemeinen Fall ist der Beweis aber recht aufwendig und erfordertetwa den Verzicht auf Existenzquantoren [BRL91]:Lemma 5.1.7: Zu jedem Modell I einer Axiomenmenge Φ gibt es ein ≺-minimalesModell I 0 von Φ mit I 0 ≺ I oder I 0 = I.Beweis: Falls I nicht minimal ist, gibt es dazu ein kleineres Modell I 1 . Falls auch das nochnicht minimal ist, gibt es dazu wieder ein kleineres Modell I 2 , für das natürlich auch I 2 ≺ Igilt. Da es insgesamt nur endlich viele Modelle gibt und in der Folge I, I 1 , I 2 , . . . keines doppeltauftreten kann, muß die Konstruktion schließlich mit einem minimalen Modell I i enden. Dannsei I 0 := I i .✷

5.1. MINIMALE MODELLE 93Satz 5.1.8:Sei ≺ eine beliebige partielle Ordnung auf den Herbrand-Interpretationen.• min ≺ ist konsistenzerhaltend (Eigenschaft CON).• min ≺ ist kumulierend (Eigenschaft CUM).• min ≺ hat die Deduktions-Eigenschaft (Eigenschaft DED).• min ≺ hat die Expansions-Eigenschaft (Eigenschaft EXP).Beweis:• (CON): Die Konsistenzerhaltung folgt direkt aus Lemma 5.1.7.• (CUM): Sei min ≺ (I 1 ) ⊆ I 2 ⊆ I 1 . Zu zeigen ist min ≺ (I 2 ) = min ≺ (I 1 ).Ist I ∈ min ≺ (I 1 ), dann gilt nach Voraussetzung I ∈ I 2 . Würde es in I 2 ein kleineresModell geben, dann wäre dies wegen I 2 ⊆ I 1 auch in I 1 , das ist aber wegen der Minimalitätvon I in I 1 nicht möglich. Also gilt I ∈ min ≺ (I 2 ).Ist umgekehrt I ∈ min ≺ (I 2 ), so ist wegen I 2 ⊆ I 1 natürlich I ∈ I 1 . Wäre nunI ∉ min ≺ (I 1 ), so müßte es ein kleineres Modell I ′ ∈ I 1 geben, und dazu nach Lemma 5.1.7auch ein Modell I 0 ∈ min ≺ (I 1 ) mit I 0 ≺ I ′ ≺ I oder I 0 = I ′ ≺ I. Wegen min ≺ (I 1 ) ⊆ I 2wäre dann aber I 0 ∈ I 2 , d.h. I wäre nicht minimal im Gegensatz zur Annahme.• (DED): Zu zeigen ist sel(I 1 ) ∩ I 2 ⊆ sel(I 1 ∩ I 2 ). Sei also I ∈ sel(I 1 ) ∩ I 2 . Wegensel(I 1 ) ⊆ I 1 gilt dann natürlich I ∈ I 1 ∩ I 2 . Wäre nun I nicht minimal in I 1 ∩ I 2 , somüßte es I ′ ∈ I 1 ∩ I 2 geben mit I ′ ≺ I. Dann wäre I aber erst recht nicht minimal in I 1 ,denn I ′ ∈ I 1 . Das widerspricht der Voraussetzung I ∈ sel(I 1 ).• (EXP): Zu zeigen ist sel(I 1 ) ∩ sel(I 2 ) ⊆ sel(I 1 ∪ I 2 ). Sei I ∈ sel(I 1 ) ∩ sel(I 2 ). Dann giltnatürlich I ∈ I 1 ∪ I 2 . Wäre I nicht minimal in I 1 ∪ I 2 , gäbe es I ′ ∈ I 1 ∪ I 2 mit I ′ ≺ I.Es müßte dann I ′ ∈ I 1 oder I ′ ∈ I 2 gelten, dann wäre aber I in der betreffenden Mengenicht minimal im Widerspruch zu I ∈ sel(I 1 ) ∩ sel(I 2 ).✷Der Nachweis dieser Eigenschaften lehnt sich an Ergebnisse der Theorie der Wahlverfahrenan [Mou85]. Die Kumulierung wurde unabhängig davon in [Mak89] bewiesen, dieDeduktions-Eigenschaft in [Sho87].AusdrucksfähigkeitAls nächstes sollen die Vervollständigungen charakterisiert werden, die sich durch Präferenzrelationenauf den Modellen beschreiben lassen. Wenn man die charakterisierendenEigenschaften für natürlich und wünschenswert hält, kann man sich also auf Vervollständigungendieser Klasse beschränken.Satz 5.1.9: Sei sel eine modelltheoretische Vervollständigung mit den EigenschaftenCON (Konsistenzerhaltung), CUM (Kumulierung), DED (Deduktions-Eigenschaft) undEXP (Expansion). Dann gibt es eine partielle Ordnung ≺, so daß min ≺ = sel.

94 KAPITEL 5. SEMANTIK VON DEFAULTSBeweis:werden:Die Ordnungsrelation ≺ kann einfach aus den Zweiervergleichen von sel abgeleitetI 1 ≺ I 2 :⇐⇒ sel ( {I 1 , I 2 } ) = {I 1 }, I 1 ≠ I 2(falls sel ( {I 1 , I 2 } ) = {I 1 , I 2 }, sind I 1 und I 2 also unvergleichbar). Zunächst ist zu zeigen, daß essich dabei überhaupt um eine partielle Ordnung handelt. Die Irreflexivität folgt direkt aus derKonstruktion, es fehlt also nur noch die Transitivität:• Gelte I 1 ≺ I 2 und I 2 ≺ I 3 , d.h. sel ( {I 1 , I 2 } ) = {I 1 } und sel ( {I 2 , I 3 } ) = {I 2 }. Nach derEigenschaft DED in der Formulierung nach Satz 4.1.17 gilt einerseitssel ( {I 1 , I 2 , I 3 } ) ⊆ sel ( {I 1 , I 2 } ) ∪ sel ( {I 2 , I 3 } ) = {I 1 , I 2 }und andererseitssel ( {I 1 , I 2 , I 3 } ) ⊆ sel ( {I 1 , I 2 } ) ∪ sel ( {I 3 } ) = {I 1 , I 3 },also folgt sel ( {I 1 , I 2 , I 3 } ) = {I 1 }. Dann ist aber sel ( {I 1 , I 2 , I 3 } ) ⊆ {I 1 , I 3 } ⊆ {I 1 , I 2 , I 3 }und mit der Kumulierung folgt direkt sel ( {I 1 , I 3 } ) = {I 1 }, d.h. I 1 ≺ I 3 .Es ist jetzt natürlich noch zu zeigen, daß min ≺ = sel:• ⊆“: Sei I ” 0 ∈ min ≺ (I). Dann gilt für jedes I ∈ I, daß I 0 ∈ sel ( {I 0 , I} ) ist, denn sonstwäre I ≺ I 0 . Die Expansions-Eigenschaft liefert dannI 0 ∈ ⋂ sel ( {I 0 , I} ) ( ⋃ )⊆ sel {I 0 , I} = sel(I).I∈II∈I• ⊇“: Sei I ” 0 ∈ sel(I). Nach der Eigenschaft DED (in der Formulierung nach Satz 4.1.17)gilt für jedes I ∈ I:(I 0 ∈ sel(I) = sel {I 0 , I} ∪ ( I − {I 0 } )) ⊆ sel ( {I 0 , I} ) ∪ sel ( I − {I 0 } ) .Da aber I 0 ∉ sel ( I − {I 0 } ) , muß I 0 ∈ sel ( {I 0 , I} ) gelten. Das bedeutet aber I ⊀ I 0 . Dadas für jedes I gilt, ist I 0 minimal und es folgt I 0 ∈ min ≺ (I).✷Die Umkehrung dieses Satzes (jede mit einer Präferenzrelation darstellbare Vervollständigunghat die vier Eigenschaften) gilt auch, siehe Satz 5.1.8.Wegen Lemma 5.1.3 gibt es natürlich zu der Ordnung auch eine passende Menge vonDefaults:Korollar 5.1.10: Sei sel eine Vervollständigung mit den Eigenschaften CON, CUM,DED und EXP. Dann gibt es eine Menge ∆ von Defaults, so daß min ∆ = sel.Satz 5.1.9 [Bra90a] ist eine Übersetzung eines entsprechenden Ergebnisses der Theorieder Wahlverfahren [Mou85]. Auf diese Weise zahlt sich die in dieser Arbeit eingeführtesystematische Übersetzung der untersuchten Eigenschaften aus.Eine ähnliche Fragestellung wurde in [KLM90] untersucht, dort wird aber ein eigenszu diesem Zweck konstruierter Modellbegriff verwendet, daher wird eine Charakterisierungdurch die drei Eigenschaften CON, CUM und DED erreicht. Diese Eigenschaftenimplizieren nicht EXP.

5.1. MINIMALE MODELLE 95Erweiterung auf priorisierte DefaultsLegt die Default-Spezifikation auch Prioritäten für die Defaults fest, so müssen diesenatürlich bei der Festlegung der zugehörigen Präferenzrelation auf den Modellen berücksichtigtwerden. Bekanntlich wird ein Default mit höherer Priorität (also kleinerem l-Wert) als wichtiger angesehen als beliebig viele Defaults niedrigerer Priorität. Daherbraucht man nur die Defaults auf der höchsten Prioritäts-Ebene zu berücksichtigen, aufder sich die beiden Modelle in der Interpretation eines Defaults unterscheiden:Definition 5.1.11 (Minimale Modelle mit Prioritäten): Sei ∆ eine Menge vonDefaults und l eine Stufeneinteilung von ∆. Die durch (∆, l) gegebene PräferenzrelationistI 1 ≺ (∆,l) I 2 :⇐⇒ es gibt ein i ∈ IN mit{ ∣ δ ∈ ∆∗ l(δ) < i, I1 |= δ } = { δ ∈ ∆ ∣ ∗ l(δ) < i, I2 |= δ } ,{ ∣ δ ∈ ∆∗ l(δ) = i, I 1 |= δ } ⊃ { δ ∈ ∆ ∣ ∗ l(δ) = i, I 2 |= δ } .Die durch (∆, l) gegebene Vervollständigung vom Typ minimale Modelle istmin (∆,l) := min ≺(∆,l) .Lemma 5.1.12: Die Relation ≺ (∆,l) ist eine partielle Ordnung, also transitiv undirreflexiv.Beweis: Die Irreflexivität gilt direkt nach der Definition. Die Transitivität ist ebenfalls einfach:Gelte I 1 ≺ (∆,l) I 2 , wobei sich die beiden Modelle erstmals auf der Stufe i 1 unterscheiden, undgelte I 2 ≺ (∆,l) I 3 aufgrund der Defaults der Stufe i 2 . Dann wird die definierende Eigenschaftvon I 1 ≺ (∆,l) I 3 für i := min(i 1 , i 2 ) erfüllt.✷Da die Eigenschaften oben für beliebige Vervollständigungen des Typs ”minimale Modelle“nachgewiesen wurden, gelten sie natürlich auch, wenn die Präferenzrelation anderskonstruiert wurde.Hinsichtlich der Eigenschaften und der Ausdrucksfähigkeit ist die Verallgemeinerungauf priorisierte Defaults also nicht besonders interessant, aber sie vereinfacht die praktischeSpezifikationsarbeit beträchtlich:Beispiel 5.1.13: Sei der typische Fall priorisierter Defaults betrachtet, nämlich denDefault ¬p mit l(¬p) = 1 und den Default ¬q mit l(¬q) = 2. Nach der Konstruktionin Beweis von Lemma 5.1.3 erhält man äquivalente nicht-priorisierte Defaults, wenn manzu jedem Modell einen Default einführt, der in diesem Modell und allen kleineren gilt.Danach braucht man also die vier Defaults:¬p ∧ ¬q, ¬p, ¬p ∨ ¬q, true(true ist natürlich überflüssig). Das Prinzip ist also, daß man sicherstellen muß, daß diegeringer priorisierten Defaults (¬q) automatisch erfüllt sind, wenn ein höher priorierterDefault gilt, daher die Disjunktion ¬p ∨ ¬q. Andererseits ist es natürlich noch besser,wenn beide Defaults erfüllt sind: ¬p ∧ ¬q. Bei einem zusätzlichen Default ¬p ′ der Stufe 1

96 KAPITEL 5. SEMANTIK VON DEFAULTSerhält man:¬p ∧ ¬p ′ ∧ ¬q, ¬p ∧ (¬p ′ ∨ q), ¬p ′ ∧ (¬p ∨ q), ¬p, ¬p ′ , ¬p ∨ ¬p ′ ∨ q.Diese Konstruktion wird also schnell sehr aufwendig. Wenn man natürlich anhand dermöglichen Axiomenmengen Φ weiß, daß ein Konflikt zwischen p ′ und q nicht auftretenkann, dann bekommt man wieder die obigen Defaults (plus ¬p ′ ). Wenn man zusätzlichweiß, daß p und q immer im Konflikt stehen, so kann man auch den Default ¬p ∧ ¬q weglassen.In jedem Fall sind Prioritäten aber wesentlich natürlicher als die so konstruiertenDefaults.✷Exkurs: Iterative Minimale Modelle SemantikEine andere naheliegende Möglichkeit, Defaults mit Prioritäten eine Semantik zuzuordnen,ist eine iterative Konstruktion: Es werden erst die minimalen Modelle bezüglich derDefaults höchster Priorität gebildet, dann unter diesen die minimalen bezüglich der Defaultsder nächsten Stufe ausgewählt, und so weiter. Dieses Vorgehen ist natürlich nichtnur für minimale Modelle möglich, sondern für beliebige Vervollständigungen.Mindestens im Fall der minimalen Modelle ist die so konstruierte Vervollständigungallerdings nicht äquivalent zur Verwendung der obigen Ordnungsrelation, sondern ist echtstärker:Satz 5.1.14: Sei ∆ eine Menge von Defaults und l eine Einteilung von ∆ in n Stufen.Sei ∆ i := {δ ∈ ∆ | l(δ) = i} für i = 1, . . . , n. Dann gilt für jede Menge I vonInterpretationen:min (∆,l) (I) ⊇ min ∆n(. . . ( min ∆1 (I) ) ). . . .Beweis: Sei also I ∈ min ∆n (. . .). Angenommen, I ∉ min (∆,l) (I). Dann gibt es I 0 mitI 0 ≺ (∆,l) I, d.h. für ein i ∈ IN ist{δ ∈ ∆∗ ∣ ∣ l(δ) < i, I 0 |= δ } = { δ ∈ ∆ ∗ ∣ ∣ l(δ) < i, I |= δ } ,{δ ∈ ∆∗ ∣ ∣ l(δ) = i, I 0 |= δ } ⊃ { δ ∈ ∆ ∗ ∣ ∣ l(δ) = i, I |= δ } .Da I ∈ min ∆i−1 (. . .), und sich I 0 von I nicht in der Interpretation dieser Defaults unterscheidet,gilt natürlich I 0 ∈ min ∆i−1 (. . .). Nun erfüllt I 0 aber echt mehr Defaults der Stufe i, d.h. es giltI 0 ≺ ∆i I. Dann ist aberI ∉ min ∆i (. . .),und damit I ∉ min ∆n (. . .) im Widerspruch zur Voraussetzung.✷Der Grund für die stärkere Einschränkung der intendierten Modelle bei der iterativenKonstruktion ist, daß hier bei der Auswahl von Defaults niedrigerer Priorität auch Modelleverglichen werden, die schon bei den Defaults höherer Priorität unvergleichbar waren:

5.1. MINIMALE MODELLE 97Beispiel 5.1.15: Sei eine Signatur mit den Aussagenvariablen p 1 , p 2 und q zugrundegelegt, und sei ∆ 1 := {¬p 1 , ¬p 2 } und ∆ 2 := {¬q}. Sei folgende Axiomenmenge gegeben:Φ := {p 1 ∨ p 2 , p 1 ∨ q}.Es gibt dann zwei bezüglich ≺ (∆,l) minimale Modelle: I 1 := [ ¯p 1 p 2 q], das den Default ¬p 1erfüllt, und I 2 := [p 1 ¯p 2¯q], das die Defaults ¬p 2 und ¬q erfüllt. Bei der iterativen Konstruktionkommt dagegen nur I 2 heraus, weil es bezüglich ∆ 1 nicht schlechter als I 1 ist,bezüglich ∆ 2 aber besser.✷Es stellt sich nun die Frage, ob es auch eine Ordnungsrelation gibt, die gerade der iterativenKonstruktion entspricht.Daß dies nicht der Fall ist, ja sogar die iterative Konstruktion unabhängig davon eineschlechte Vervollständigung ist, zeigt das folgende Beispiel.Beispiel 5.1.16:und seiSei eine Signatur mit den Aussagenvariablen p und q zugrunde gelegt,∆ 1 := {¬p, ¬q, q}, ∆ 2 := {p}, Φ := {p ∨ q}.Bezüglich ≺ (∆,l) sind die Modelle [¯pq] und [p¯q] minimal, das Modell [pq] wird dagegenvon [¯pq] ”geschlagen“.Die Ordnungsrelation ≺ ∆1 liefert dieselben minimalen Modelle. Bezüglich ≺ ∆2 istaber [p¯q] kleiner als [¯pq], also ist bezüglich der iterativen Konstruktion [p¯q] das einzigeintendierte Modell und p folgt vervollständigt aus Φ.Sei nun Φ ′ := Φ∪{p} betrachtet. Da das Modell [¯pq] jetzt ausgeschlossen ist, sind beideModelle [p¯q] und [pq] minimal, und zwar sowohl bezüglich ≺ ∆1 als auch bezüglich ≺ ∆2 .Daher hat sich die Menge der intendierten Modelle geändert, und während vorheretwa ¬q folgte, gilt das jetzt nicht mehr. Dies ist aber eine Verletzung der Kumulations-Eigenschaft (und daher läßt sich die Vervollständigung natürlich nicht mittels minimalerModelle darstellen).✷Es sei abschließend noch bemerkt, daß eine iterative Konstruktion, die der Ordnung ≺ (∆,l)entspricht, schon möglich ist, man muß dann aber statt ≺ ∆i eine andere Ordnung verwenden:Satz 5.1.17: Sei wieder l eine n-Stufeneinteilung, ∆ i := {δ ∈ ∆ | l(δ) = i} und sei ≺ idefiniert durch:I ≺ i I ′ :⇐⇒ I ∼ = ∆ ∗1I ′ , . . . , I ∼ = ∆ ∗i−1I ′ , I ≺ ∆i I ′ .Dann gilt für jede Menge I von Interpretationen:min (∆,l) (I) = min ≺n(. . . ( min ≺1 (I) ) ). . . .

98 KAPITEL 5. SEMANTIK VON DEFAULTSBeweis: Zunächst sei festgestellt, daß ≺ i wirklich eine (strikte) partielle Ordnung ist ( ∼ = ∆ ∗jund ≺ ∆i sind beide transitiv, und ≺ ∆i ist irreflexiv).• ”⊆“: Sei I ∈ min (∆,l) (I). Angenommen I ∉ min ≺i (. . .), aber I ∈ min ≺i−1 (. . .). Danngibt es also ein Modell I ′ mit I ′ ≺ i I. Nach der Definition der beiden Ordnungsrelationenfolgt sofort, daß I ′ ≺ (∆,l) I im Widerspruch zur Minimalität von I.• ⊇“: Sei I ∉ min ” (∆,l) (I). Also gibt es I ′ mit I ′ ≺ (∆,❁) I. Sei i die minimale Stufe, auf dersich die beiden Modelle unterscheiden. Falls I ∉ min ≺i−1 (. . .), ist nichts mehr zu zeigen.Sonst ist aber auch I ′ ∈ min ≺i−1 (. . .), und nach der Konstruktion gilt I ′ ≺ i I. ✷Natürlich kann man die Ordnungsrelationen ≺ i auch durch Defaults spezifizieren. Manwählt dazu etwa ∆ ′ i := ∆ 1 ∪· · ·∪∆ i . Zwei auf niedrigerer Stufe nicht-äquivalente Modellesind dann nicht mehr vergleichbar.Iterative Konstruktionen von Modellen sind für stratifizierte logische Programme üblich,siehe etwa [ABW88, Llo87]. Dort treten die hier festgestellten Schwierigkeiten nicht auf,weil es immer nur ein minimales Modell gibt.Vergleichbar sind sonst noch die in [Lif85] vorgeschlagene Methode zur Berechnungder priorisierten Circumscription und die in [Bre91] definierte priorisierte Version vonpreferred subtheories“.”Neu ist der Nachweis der fehlenden Kumulierung und der allgemeine modelltheoretischeAnsatz.Erweiterung auf partiell geordnete DefaultsFalls die Default-Spezifikation nur eine partielle Ordnung auf den Defaults festlegt, kannman die Präferenzrelation auf den Modellen folgendermaßen definieren:Definition 5.1.18 (Minimale Modelle bei partiell geordneten Defaults): Sei ∆eine Menge von Defaults und ❁ eine partielle Ordnung auf ∆. Dann sei ≺ (∆,❁) definiertdurchI 1 ≺ (∆,❁) I 2 :⇐⇒ Für alle δ 2 ∈ ∆ ∗ mit I 2 |= δ 2 , I 1 ̸|= δ 2gibt es δ 1 ∈ ∆ ∗ , δ 1 ❁ δ 2 mit I 1 |= δ 1 , I 2 ̸|= δ 1 .Wieder schreibt man min (∆,❁) für min ≺(∆,❁) .Außerdem ist { δ ∈ ∆ ∗ ∣ ∣ I 1 |= δ } ≠ { δ ∈ ∆ ∗ ∣ ∣ I 2 |= δ } .Ausgangspunkt für diese Ordnungsrelation ist natürlich wiederI 1 ≺ ∆ I 2 :⇐⇒ { δ ∈ ∆ ∗ ∣ ∣ I 1 |= δ } ⊃ { δ ∈ ∆ ∗ ∣ ∣ I 2 |= δ } .Ist ein Modell bereits nach dieser Ordnungsrelation nicht minimal, so soll es natürlichauch bezüglich der neuen Ordnung nicht minimal sein, denn man möchte auf jeden Fallmehr Defaults erfüllen, solange man auf keinen verzichten muß. Hat man nun eine Prioritätsrelation❁ auf den Defaults festgelegt, so läßt man eventuell eine Verletzung von ”⊃“zu (durch den Default δ 2 ), falls man dafür einen Default höherer Priorität gewinnt (δ 1 ).Alternativ kann man die Relation ≺ (∆,❁) auch folgendermaßen definieren:

5.1. MINIMALE MODELLE 99Lemma 5.1.19:dann, wennFür alle ∆ und ❁ und beliebige I 1 , I 2 ∈ I Σ gilt I 1 ≺ (∆,❁) I 2 genau• Sei ∆ ′ die Menge der Defaults, in denen sich I 1 und I 2 unterscheiden, d.h.∆ ′ := { δ ∈ ∆ ∗ ∣ ∣ I 1 |= δ, I 2 ̸|= δ oder I 1 ̸|= δ, I 2 |= δ } .Dann gilt I 1 |= δ für jedes ❁-minimale Element δ ∈ ∆ ′ . Außerdem ist ∆ ′ ≠ ∅.Beweis: Die Zusatzforderungen (die Interpretationen unterscheiden sich im Wahrheitswertwenigstens eines Defaults) sind offensichtlich äquivalent. Zu zeigen ist also nur die Äquivalenzder Haupteigenschaften:• Gelte I 1 ≺ (∆,❁) I 2 . Angenommen, I 1 ̸|= δ für ein ❁-minimales Element δ ∈ ∆ ′ . Dann mußnach Konstruktion von ∆ ′ gelten: I 2 |= δ. Nach der Definition von ≺ (∆,❁) müßte es jetztaber einen Default δ 1 geben mit I 1 |= δ 1 , I 2 ̸|= δ 1 und δ 1 ❁ δ. Das ist aber ein Widerspruchzur Minimalität von δ in ∆ ′ .• Gelte umgekehrt die Eigenschaft des Lemmas. Dann kann kein Default δ 2 ∈ ∆ ∗ mit I 1 ̸|= δ 2und I 2 |= δ 2 minimal in ∆ ′ sein, denn jeder solche Default müßte in I 1 gelten. Also gibtes einen Default δ 1 ∈ ∆ ′ mit δ 1 ❁ δ 2 , der zudem ❁-minimal gewählt werden kann. Danngilt aber I 1 |= δ 1 und nach Konstruktion von ∆ ′ auch I 2 ̸|= δ 1 .✷Zu zeigen ist natürlich noch, daß es sich bei ≺ (∆,❁) überhaupt um eine partielle Ordnunghandelt:Lemma 5.1.20: Die Relation ≺ (∆,❁) ist eine partielle Ordnung, d.h. transitiv undirreflexiv.Beweis: Die Irreflexivität ist gerade durch die Zusatzforderung sichergestellt, es ist also nurdie Transitivität zu zeigen: Gelte I 1 ≺ (∆,❁) I 2 und I 2 ≺ (∆,❁) I 3 . Sei nun δ 3 ∈ ∆ ∗ mit I 3 |= δund I 1 ̸|= δ.• Gilt I 2 ̸|= δ 3 , so muß es δ 2 ∈ ∆ ∗ mit δ 2 ❁ δ 3 , I 2 |= δ 2 und I 3 ̸|= δ 2 geben.• Andernfalls muß es δ 1 ∈ ∆ ∗ geben mit δ 1 ❁ δ 3 , I 1 |= δ 1 , I 2 ̸|= δ 1 .Man wähle nun einen ❁-minimalen Default δ 12 unter denen, die eine dieser beiden Bedingungenerfüllen.• Gilt I 2 |= δ 12 , I 3 ̸|= δ 12 , so muß auch I 1 |= δ 12 gelten, denn I 1 ≺ (∆,❁) I 2 und wegen derMinimalität von δ 12 kann es keinen höher priorisierten Default mehr geben, der in I 1 gilt,aber nicht in I 2 .• Gilt I 1 |= δ 12 , I 2 ̸|= δ 12 , so muß auch I 3 ̸|= δ 12 gelten, denn I 2 ≺ (∆,❁) I 3 und wegen derMinimalität von δ 12 kann es keinen höher priorisierten Default mehr geben, der in I 2 gilt,aber nicht in I 3 .Insgesamt hat man also δ 12 ❁ δ 3 , I 1 |= δ 12 und I 3 ̸|= δ 12 .Schließlich ist noch zu zeigen, daß sich I 1 und I 3 in dem Wahrheitswert von mindestenseinem Default unterscheiden. Natürlich müssen sich I 1 und I 2 in mindestens einem Defaultunterscheiden, und auch I 2 und I 3 . Man wählt nun wieder einen ❁-minimalen Default, für deneine der beiden Bedingungen gilt. Er ist in I 1 wahr und in I 3 falsch.✷

100 KAPITEL 5. SEMANTIK VON DEFAULTSDas folgende Lemma zeigt, daß ≺ (∆,❁) tatsächlich eine Verallgemeinerung von ≺ (∆,l) ist:Lemma 5.1.21: Sei ∆ eine Menge von Defaults und l eine Stufeneinteilung. Sei ❁auf ∆ definiert durch:δ ❁ δ ′ :⇐⇒ l(δ) < l(δ ′ ).Dann gilt ≺ (∆,❁) = ≺ (∆,l) .Beweis:Es leichter, die Äquivalenz zu der Eigenschaft aus Lemma 5.1.19 zu zeigen.• Gelte I 1 ≺ (∆,❁) I 2 und sei ∆ ′ die Menge der Defaults, in denen sich I 1 und I 2 unterscheiden.Sei δ ein ❁-minimales Element von ∆ ′ . Dann gilt die definierende Eigenschaft vonI 1 ≺ (∆,l) I 2 für i := l(δ).• Gelte I 1 ≺ (∆,l) I 2 und sei ∆ ′ wieder die Menge der Defaults, in denen sich I 1 und I 2unterscheiden. Alle ❁-minimalen Elemente von ∆ ′ müssen nach Konstruktion von ❁ vonderselben Stufe i sein. Die Modelle I 1 und I 2 unterscheiden sich also nicht in Defaultskleinerer Stufe, und für alle Defaults δ der Stufe i, in denen sie sich unterscheiden, giltI 1 |= δ. Das bedeutet aber I 1 ≺ (∆,❁) I 2 .✷Beziehung zur naiven CWAEs ist nun noch zu zeigen, daß die minimale Modelle Semantik die NCWA-Eigenschaft hat.Zu diesem Zweck gibt der folgende Satz eine Charakterisierung der naiven CWA durchminimale Modelle an, womit auch ein besseres Verständnis der naiven CWA erreicht wird:Satz 5.1.22: I |= ncwa (∆,❁) (Φ) genau dann, wenn I ∈ min (∆,❁)(Mod(Φ))und I ∼ =∆ ∗ I ′für alle I ′ ∈ min (∆,❁)(Mod(Φ)).Beweis:( )• Sei I ein Modell von ncwa (∆,❁) (Φ). Wäre I ∉ min (∆,❁) Mod(Φ) , so müßte es ein Modell( )I 0 ∈ min (∆,❁) Mod(Φ) geben mit I0 ≺ (∆,❁) I. Sei δ ∈ ∆ ∗ ein ❁-minimaler Default, indessen Wahrheitswert sich I und I 0 unterscheiden. Wegen I 0 ≺ (∆,❁) I muß also I 0 |= δund I ̸|= δ gelten. Das bedeutet δ ∉ ncwa (∆,❁) (Φ), was aber nach der Definition dernaiven CWA nicht möglich ist — I 0 ist ja ein Modell von ncwa (∆ ∗δ ,❁ δ )(Φ) ∪ {δ}, also giltncwa (∆ ∗δ ,❁ δ )(Φ) ⊬ ¬δ.Angenommen, es gäbe jetzt noch ein weiteres Modell I ′ ( )∈ min (∆,❁) Mod(Φ) , dasnicht dieselben Defaults erfüllt. Sei δ ∈ ∆ ∗ ein ❁-minimaler Default, in dem sich diebeiden Modelle unterscheiden. Wieder garantiert die Definition der naiven CWA, daßI |= δ und I ′ ̸|= δ. Da das für alle solchen δ gilt, folgt I ≺ (∆,❁) I ′ im Widerspruch zurMinimalität von I ′ .• In der umgekehrten Richtung wird zunächst gezeigt, daß die naive CWA nur Defaultsannimmt, die in mindestens einem minimalen Modell gelten: Wird etwa δ ∈ ∆ ∗ angenommen,so gilt nach Konstruktion, daß ncwa (∆ ∗δ,❁)(Φ) ∪ {δ} konsistent ist. Sei I ein Modellund I 0 ein ≺ (∆,❁) -minimales Modell von Φ mit I 0 ≺ (∆,❁) I oder I 0 = I. Die Modelle Iund I 0 können sich nicht im Wahrheitswert von δ und den höher priorisierten Defaults

5.2. DIE VORSICHTIGE CWA 101unterscheiden, denn sonst müßten die ❁-minimalen unter diesen Defaults in I 0 gelten undnicht in I, das ist aber nach der Konstruktion der naiven CWA nicht möglich.Gilt zusätzlich, daß alle minimalen Modelle äquivalent sind, so ist jedes minimaleModell ein Modell der naiven CWA.✷Für die modelltheoretische Fassung der naiven CWA gilt also:{min(∆,❁) (I) falls Incwa (∆,❁) (I) :=1∼ =∆ ∗ I 2 für alle I 1 , I 2 ∈ min (∆,❁) (I)∅sonst.Daraus folgt sofort, daß die minimalen Modelle die NCWA-Eigenschaft haben:Korollar 5.1.23:min (∆,❁) hat die NCWA-Eigenschaft für (∆, ❁).Außerdem ist es nun möglich, die ”minimale Modelle“ Semantik folgendermaßen zu charakterisieren:Satz 5.1.24: min (∆,❁) ist die schwächste Vervollständigung mit der NCWA-Eigenschaftund der Deduktions-Eigenschaft.Beweis: min (∆,❁) hat jedenfalls diese beiden Eigenschaften. Sei sel eine beliebige andere Vervollständigungmit den Eigenschaften DED und NCWA. Zu zeigen ist sel(I) ⊆ min (∆,❁) (I) füralle I ⊆ I Σ . Angenommen, dies wäre nicht der Fall, es gäbe also I ∈ sel(I) mit I ∉ min (∆,❁) (I).Dann gibt es natürlich I 0 ∈ I mit I 0 ≺ (∆,❁) I. Nach der obigen Charakterisierung der naiven(CWA gilt ncwa (∆,❁) {I, I0 } ) = {I 0 }. Also muß dies auch für sel gelten, sonst hätte es nicht dieNCWA-Eigenschaft. Nach der Deduktions-Eigenschaft gilt nun:sel(I) ∩ {I, I 0 } ⊆ sel ( {I, I 0 } ) = {I 0 }.Daraus folgt I ∉ sel(I) im Widerspruch zur Annahme.Diese Charakterisierung ist neu und eines der interessantesten Ergebnisse dieser Arbeit.Wenn man auf die Idee eines Systems des natürlichen Schließens für Vervollständigungenzurückkommt, so bedeutet dieses Ergebnis, daß die Deduktionsregel mit den allgemeinenFolgerungsregeln vollständig ist, wenn sie auf die naive CWA als ”Axiomenschema“angewendet wird.Die Beziehung zwischen der naiven CWA und den minimalen Modellen ist in dieserAllgemeinheit auch neu; nur in dem Spezialfall der originalen CWA [Rei78] ist schon langebekannt, daß sie gerade den Schnitt aller Herbrandmodelle beschreibt.✷5.2 Die vorsichtige CWADie Annahmen der geschlossenen Welt ( ”closed world assumptions“, CWAs) sind eineKlasse von syntaktischen Vervollständigungen. Zentral ist hier der Begriff der maximalenExtension, der direkt formalisiert, daß so viele Defaults wie möglich angenommen werdensollen, wobei aber natürlich die Konsistenz zu erhalten ist. Auch hier wird zunächst eineFassung ohne Prioritäten angegeben:

102 KAPITEL 5. SEMANTIK VON DEFAULTSDefinition 5.2.1 (Maximale Extension):∆-Extension von Φ genau dann, wenn• Φ ∪ E konsistent ist und• Φ ∪ E ∪ {δ ′ } inkonsistent ist für alle δ ′ ∈ ∆ ∗ − E.Eine Teilmenge E ⊆ ∆ ∗ heißt maximaleDiese Definition läßt verschiedene Umformulierungen zu. Beispielsweise ist eine maximaleExtension einfach ein ⊆-maximales Element unter allen Teilmengen von ∆ ∗ , die mit Φkonsistent sind. Die zweite Bedingung kann man auch als Φ ∪ E ⊢ ¬δ schreiben. Indieser Hinsicht ähnelt eine maximale Extension der naiven CWA, nur werden auch dieanderen bereits angenommenen Defaults berücksichtigt, um die Konsistenz zu garantieren.Tatsächlich kann man auch maximale Extensionen auf diese Weise konstruieren:Man betrachtet eine Aufzählung δ 1 , δ 2 , . . . , δ n der Defaults und probiert für jeden Defaultder Reihe nach aus, ob man ihn zu den bisher angenommenen Defaults hinzunehmenkann, ohne die Konsistenz zu zerstören. Diese Konstruktion wird unten noch genaueruntersucht.Beispiel 5.2.2: Es seien wieder die typischen Negations-Defaults bei disjunktiver Informationbetrachtet, also∆ := {¬p, ¬q},Φ := {p ∨ q}.Hier gibt es zwei maximale Extensionen, nämlich E 1 := {¬p} und E 2 := {¬q}. Siesind zusammen mit Φ konsistent, aber würden inkonsistent, wenn man noch den jeweilsanderen Default hinzunehmen würde. Man kann diese maximalen Extensionen geradeaus den beiden möglichen Reihenfolgen der Defaults konstruieren (¬p, ¬q und ¬q, ¬p):Aufgrund des Axioms p ∨ q wird jeweils der erste Default angenommen und der zweitezurückgewiesen. Es ist übrigens kein Zufall, daß die maximalen Extensionen gerade denminimalen Modellen entsprechen. Dies gilt allgemein und wird unten noch bewiesen. ✷Mit den maximalen Extensionen hat man natürlich noch keine Vervollständigung definiert,da es davon mehrere geben kann, eine Vervollständigung aber eindeutig bestimmt seinmuß. Das Problem mehrerer Extensionen läßt sich etwa auf folgende Arten lösen:Erstens gibt es die leichtgläubige Sicht“. Sie erlaubt es, alles zu folgern, was aus”mindestens einer der maximalen Extensionen folgt. Eine Anfrage ψ wird also mit Ja“ ”beantwortet, wenn es eine maximale Extension E gibt mit Φ ∪ E ⊢ ψ. Dies ist allerdingskeine Vervollständigung in dem hier betrachteten Sinn, weil der Abschluß unterKonjunktion nicht gewährleistet ist.Zweitens kann man eine Extension auswählen (etwa über den Antwortalgorithmusdefiniert), und dann nur Folgerungen aus dieser Extension zulassen. Diese Idee wirdunten noch als starke CWA“ untersucht. Tatsächlich werden über eine Implementierung”definierte Extensionen aber meist von der Schreibweise der Axiome abhängen, so daß diegrundlegende Forderung der Äquivalenzerhaltung nicht erfüllt wird.Drittens kann man sich auch auf die Aussagen beschränken, die aus allen maximalenExtensionen folgen ( skeptische Sicht“). Es wird sich zeigen, daß dies gerade den”

5.2. DIE VORSICHTIGE CWA 103minimalen Modellen entspricht.Viertens erlaubt die ”vorsichtige Sicht“ nur das zu folgern, was schon aus dem Schnittaller maximalen Extensionen folgt. Die vorsichtige Sicht liegt gerade der in diesem Abschnittvorgeschlagenen Vervollständigung zugrunde.Es handelt sich bei diesen vier Möglichkeiten um eine echte Hierarchie, d.h. von derleichtgläubigen bis zur vorsichtigen Sicht kann zunehmend weniger gefolgert werden:Beispiel 5.2.3: Es sei wieder das Beispiel mit ∆ := {¬p, ¬q} und Φ := {p ∨ q}betrachtet. Hier gab es die beiden Extensionen E 1 := {¬p} und E 2 := {¬q}.Leichtgläubig kann man also p (aus E 2 ) und ¬p (aus E 1 ) folgern, nicht aber p ∧ ¬p.Übrigens tritt dieses Problem immer auf, wenn es mehr als eine Extension gibt: Falls einDefault δ in einer Extension enthalten ist, aber nicht in einer anderen, so muß aus dieserja ¬δ folgen.Wenn man sich auf eine feste Extension bezieht, etwa E 1 , kann man noch ¬p mit “Ja“beantworten, aber nicht mehr p.Die skeptische Sicht ist noch schwächer und erlaubt nur, ¬p ∨ ¬q zu schließen (entsprechendden minimalen Modellen).Für die vorsichtige Sicht gilt auch dies nicht mehr: Der Schnitt der maximalen Extensionenist leer, es können also nur noch logische Folgerungen gebildet werden. Diesentspricht gerade dem Verhalten der GCWA [Min82], Disjunktionen als inklusives oder“ ”zu interpretieren.✷Definition 5.2.4 (Vorsichtige CWA):Die durch ∆ gegebene vorsichtige CWA istcwa ∆ (Φ) := Φ ∪ { δ ∈ ∆ ∗ ∣ ∣ δ ∈ E für alle maximalen ∆-Extensionen von Φ } .Extensionen als Mittel zur Beschreibung von konsistenten Annahmezuständen wurdenschon in [Rei80] eingeführt, dort sind die Defaults aber wesentlich komplizierter und dieDefinition besteht dementsprechend auch aus einer geschachtelten Fixpunkt- und Minimumsbildung.Maximale Extensionen bezüglich der hier betrachteten Defaults wurdenin [Poo88] definiert.Die vorsichtige Sicht wurde in [BL89] eingeführt, und es wurde gezeigt, daß sie geradeder GCWA entspricht. Da in der Literatur Extensionen meist unter Folgerung abgeschlossensind, hat der Unterschied zwischen der vorsichtigen und der skeptischen Sicht vorheroffenbar keine Beachtung gefunden.Erweiterung auf Defaults mit PrioritätenDa es (bisher) nicht ein allgemeines Konzept wie die Präferenzrelationen bei den minimalenModellen gibt, ist es angebracht, erst die Erweiterung auf Prioritäten einzuführen,und die Eigenschaften dann gleich im allgemeinen Fall nachzuweisen.Falls also für jeden Default δ ∈ ∆ auch eine Priorität l(δ) festlegt ist, muß der Begriffder maximalen Extension natürlich angepaßt werden. Der Grundgedanke ist dabei, daß

104 KAPITEL 5. SEMANTIK VON DEFAULTSein Default nur durch Defaults höherer oder gleicher Priorität ausgeschlossen werden sollte(also mit kleinerem l-Wert), aber nicht durch Defaults niedrigerer Priorität.Definition 5.2.5 (Maximale Extension mit Prioritäten): Eine Teilmenge E ⊆ ∆ ∗heißt maximale (∆, l)-Extension von Φ genau dann, wenn• Φ ∪ E konsistent ist, und• Φ ∪ { δ ∈ E ∣ ∣ l(δ) ≤ l(δ ′ ) } ∪ { δ ′} inkonsistent ist für alle δ ′ ∈ ∆ ∗ − E.Beispiel 5.2.6:Das typische Beispiel zur Behandlung von Prioritäten ist:∆ := {¬p, ¬q}, l(¬p) = 1, l(¬q) = 2, Φ := {p ∨ q}.Hier ist E 1 := {¬p} eine maximale Extension, denn der fehlende Default ¬q kann nichthinzugenommen werden, Φ ∪ {¬p} ∪ {¬q} ist inkonsistent. Dagegen ist E 2 := {¬q}keine maximale Extension, denn der fehlende Default ¬p hat nur gegen die Defaults vonkleinerer oder gleicher Stufe anzutreten, Φ ∪ ∅ ∪ {¬p} ist aber konsistent. Auf diese Weisewird also der höher priorisierte Default ¬p vorgezogen.✷Die CWA nimmt dann wieder den Schnitt der so bestimmten maximalen Extensionen an:Definition 5.2.7 (Vorsichtige CWA mit Prioritäten):vorsichtige CWA istDie durch (∆, l) gegebenecwa (∆,l) (Φ) := Φ ∪ { δ ∈ ∆ ∗ ∣ ∣ δ ∈ E für jede maximale (∆, l)-Extension von Φ } .Interessant ist, daß im Gegensatz zu den minimalen Modellen hier die Ausdrucksfähigkeitdurch die Einführung der Prioritäten echt vergrößert wird:Beispiel 5.2.8: Sei eine Signatur mit den beiden Aussagenvariablen p und q zugrundegelegt. Wählt man nun∆ := {¬p ∧ ¬q, ¬p ∧ q, ¬q}, l(¬p ∧ ¬q) := 1, l(¬p ∧ q) := 1, l(¬q) := 2,so erhält man die in Tabelle 5.1 dargestellte Vervollständigung: Sind sowohl [¯p¯q] als auch[¯pq] Modell von Φ, so löschen sich die beiden maximalen Extensionen E 1 := {¬p∧¬q, ¬q}und E 2 := {¬p∧q} gerade aus, und alle Modelle sind intendiert. Allein setzt sich dagegenjedes von beiden Modellen gegen jedes andere durch.Will man jetzt diese Vervollständigung ohne Prioritäten darstellen, so muß die Mengeder Defaults, die in [pq] gelten, eine echte Teilmenge der in [p¯q] gültigen Defaults sein,denn sonst würde [pq] nicht gegen [p¯q] verlieren. Nun verliert aber [p¯q] seinerseits sowohlgegen [¯p¯q] als auch gegen [¯pq], also muß auch hier jeweils die echte Teilmengenbeziehunggelten. Diese Situation ist in der rechten Zeichnung dargestellt.Betrachtet man jetzt aber die Menge {[pq], [¯pq], [¯p¯q]}, so können nur die in [¯pq]bzw. in [¯p¯q] gültigen Defaults maximale Extensionen sein, und beide enthalten die Defaults,die in [p¯q] gelten, und darunter auch mindestens einen Default, der in [pq] nicht gilt.Damit kann im Widerspruch zu der angestrebten Vervollständigung [pq] kein intendiertesModell sein.✷

5.2. DIE VORSICHTIGE CWA 105Φ [pq] [p¯q] [¯pq] [¯p¯q] comp(Φ)falsefalse¬p, ¬q • ¬p, ¬q¬p, q • ¬p, q¬p • • ¬pp, ¬q • p, ¬q¬q ◦ • ¬p, ¬qp ↔ ¬q ◦ • ¬p, q¬p ∨ ¬q • • • ¬p ∨ ¬qp, q • p, qp ↔ q ◦ • ¬p, ¬qq ◦ • ¬p, q¬p ∨ q • • • ¬p ∨ qp ◦ • p, ¬qp ∨ ¬q ◦ ◦ • ¬p, ¬qp ∨ q ◦ ◦ • ¬p, qtrue • • • • true✓[pq]✒✏✑✓ ✏[p¯q]✒✁ ✁ ✑❆❆✓✁✏ ✓❆[¯p¯q] [¯pq]✒ ✑ ✒✏✑Tabelle 5.1: Beispiel für größere Ausdrucksfähigkeit bei PrioritätenAuch eine iterative Konstuktion von maximalen Extensionen ist möglich. Die betrachtetenDefaultmengen entsprechen sogar genau denen, die oben für die minimalen Modelleangegeben wurden:Lemma 5.2.9: Sei l eine n-Stufen-Einteilung. Eine Teilmenge E ⊆ ∆ ∗ ist genau danneine maximale (∆, l)-Extension, wenn E ∩ { δ ∈ ∆ ∣ ∗l(δ) ≤ i } für i = 1, . . . , n einemaximale { δ ∈ ∆ ∣ l(δ) ≤ i } -Extension ist.Beweis:• ”=⇒ “: Sei E eine maximale (∆, l)-Extension. Die geforderte Konsistenz ist automatischgegeben, es ist nur noch zu zeigen, daßΦ ∪ ( E ∩ { δ ∈ ∆ ∗ ∣ ∣ l(δ) ≤ i }) ∪ {δ}inkonsistent ist für jeden nicht enthaltenen Default einer Stufe ≤ i. Das folgt aber direktaus der Definition von maximaler (∆, l)-Extension.• ”⇐= “: Sei E umgekehrt eine stufenweise Extension. Die Konsistenz ergibt sich aus derForderung für i = n. Wäre andererseitsΦ ∪ { δ ∈ E ∣ ∣ l(δ) ≤ l(δ ′ ) } ∪ {δ ′ }konsistent für ein δ ′ ∈ ∆ ∗ − E, so wäre die Voraussetzung für i = l(δ ′ ) verletzt.✷Diese iterative Definition von maximaler Extension wurde in [Bre91] angegeben.nicht-iterative Definition ist neu.Die

106 KAPITEL 5. SEMANTIK VON DEFAULTSErweiterung auf partiell geordnete DefaultsNun sollen maximale Extensionen in dem allgemeinsten Fall definiert werden, nämlich fürpartiell geordnete Defaults. Es ist dabei nicht mehr ausreichend, nur einzelne fehlendeDefaults zu betrachten:Beispiel 5.2.10:Seien folgende Defaults gegeben:∆ := {¬p, ¬q, p, q}, ¬p ❁ q, ¬q ❁ p.Man kann die Prioritäten auch folgendermaßen graphisch darstellen:✓ ✏ ✓ ✏q p✒ ✑ ✒ ✑✓¬p✒✏✑✓¬q✒✏✑Falls die Defaults nicht durch Axiome eingeschränkt sind (Φ := ∅), sollten natürlich diebeiden höher priorisierten Defaults angenommen werden, d.h. E := {¬p, ¬q} sollte dieeinzige maximale Extension sein.Also müßte das Maximalitätskriterium insbesondere in der Lage sein, E ′ := {p, q}auszuscheiden. Versucht man nun aber ¬p hinzuzunehmen, und läßt dafür den schwächerpriorisierten Default q weg, so erhält man {p, ¬p}, was natürlich inkonsistent ist. Ebensokann man auch nicht ¬q hinzunehmen. Das Problem ist hier, daß die Konflikte geradeKreuz“ zu den Prioritäten bestehen.”überDagegen kann man die beiden fehlenden Defaults ¬p und ¬q gemeinsam hinzunehmen,denn nun sind p und q beide schwächer als einer dieser Defaults, werden also beideeliminiert.✷Definition 5.2.11 (Maximale Extension, allgemeiner Fall):heißt maximale (∆, ❁)-Extension von Φ genau dann, wenn• Φ ∪ E konsistent ist und• für alle ∆ ′ ⊆ ∆ ∗ − E, ∆ ′ ≠ ∅, die folgende Menge inkonsistent ist:Φ ∪ {δ ∈ E | es gibt nicht δ ′ ∈ ∆ ′ mit δ ′ ❁ δ} ∪ ∆ ′ .Eine Menge E ⊆ ∆ ∗Die durch (∆, ❁) gege-Definition 5.2.12 (Vorsichtige CWA, allgemeiner Fall):bene vorsichtige CWA istcwa (∆,❁) (Φ) := Φ ∪ { δ ∈ ∆ ∗ ∣ ∣ δ ∈ E für jede maximale (∆, ❁)-Extension von Φ } .Es ist nun zu zeigen, daß es sich tatsächlich um eine Verallgemeinerung der vorangegangenenDefinitionen handelt:

5.2. DIE VORSICHTIGE CWA 107Lemma 5.2.13:• E ⊆ ∆ ∗ ist genau dann eine maximale ∆-Extension von Φ, wenn es eine maximale(∆, ❁)-Extension bezüglich ❁ = ∅ ist.• E ⊆ ∆ ∗ ist genau dann eine maximale (∆, l)-Extension, wenn es eine maximale(∆, ❁)-Extension ist bezüglich der durch δ 1 ❁ δ 2 :⇐⇒ l(δ 1 ) < l(δ 2 ) gegebenenPrioritätsrelation.Beweis:• Sei E eine maximale ∆-Extension. Angenommen, es gäbe ∆ ′ ⊆ ∆ ∗ − E, so daßΦ ∪ {δ ∈ E | es gibt nicht δ ′ ∈ ∆ ′ mit δ ′ ❁ δ} ∪ ∆ ′konsistent ist. Da ❁ leer ist, ist diese Menge einfach Φ ∪ E ∪ ∆ ′ . Damit ist natürlichΦ ∪ E ∪ {δ ′ } konsistent für jeden Default δ ′ ∈ ∆ ′ im Widerspruch zur Voraussetzung.Die Umkehrung ist noch einfacher, hier wählt man ∆ ′ := {δ ′ }.• Sei E eine maximale (∆, l)-Extension. Zu zeigen ist, daß es nicht ∆ ′ ⊆ ∆ ∗ − E gibt, sodaßΦ ∪ {δ ∈ E | es gibt nicht δ ′ ∈ ∆ ′ mit δ ′ ❁ δ} ∪ ∆ ′konsistent ist. Angenommen, dies wäre doch der Fall. Sei δ ′ ein Default minimaler Stufeaus ∆ ′ , dann ist nach Konstruktion von ❁ diese Menge gleichΦ ∪ {δ ∈ E | l(δ) ≤ l(δ ′ )} ∪ ∆ ′ .Ist diese Menge konsistent, so ist natürlich erst recht die Teilmenge konsistent, in der dieübrigen Defaults aus ∆ ′ weggelassen sind. Das kann aber nicht sein, da E dann keinemaximale (∆, l)-Extension wäre.Für die Umkehrung wählt man wieder ∆ ′ := {δ ′ }, dann gilt{δ ∈ E | es gibt nicht δ ′ ∈ ∆ ′ mit δ ′ ❁ δ} = {δ ∈ E | l(δ) ≤ l(δ ′ )}nach Definition von ❁.✷Mit dem folgenden Lemma können maximale Extensionen entsprechend der Default-Hierarchie aufgebaut werden. Hat man schon eine maximale Extension E 0 bis zu einergewissen Prioritätsgrenze, so kann man direkt darüber eine Schicht weiterer Defaults ∆ 1vorschreiben, und das ganze zu einer vollständigen maximalen Extension E ausbauen.Als Spezialfall kann also jede konsistente Menge von Defaults zu einer (∆, ∅)-Extensionerweitert werden.Lemma 5.2.14:Sei ∆ ∗ 0 ⊆ ∆ ∗ nach unten abgeschlossen, d.h. gelte:δ ∈ ∆ ∗ , δ 0 ∈ ∆ ∗ 0, δ ❁ δ 0 =⇒ δ ∈ ∆ ∗ 0.Sei E 0 eine maximale (∆ ∗ 0, ❁)-Extension von Φ und ∆ 1 ein Menge ❁-minimaler Elementevon ∆ ∗ − ∆ ∗ 0. Ist Φ ∪ E 0 ∪ ∆ 1 konsistent, so gibt es eine maximale (∆, ❁)-Extension Evon Φ mit E 0 ∪ ∆ 1 ⊆ E.

108 KAPITEL 5. SEMANTIK VON DEFAULTSBeweis: Sei δ 1 , . . . , δ n eine topologische Sortierung von (∆ ∗ − ∆ ∗ 0 , ❁), die zuerst alle Defaultsaus ∆ 1 enthält. Sei{E i−1 ∪ {δ i } falls Φ ∪ E i−1 ∪ {δ i } konsistentE i :=sonst.E i−1Sei E := E n . Dann gilt E 0 ∪ ∆ 1 ⊆ E nach Konstruktion.Es wird jetzt mit Induktion über i gezeigt, daß E i eine maximale (∆ ∗ 0 ∪ {δ 1, . . . , δ i }, ❁)-Extension von Φ ist. Falls es ∆ ′ i gäbe, das zeigt, daß E i keine maximale Extension ist, so würde∆ ′ i−1 := ∆′ i − {δ i} zeigen, daß E i−1 keine maximale Extension ist (denn kein Default in E i−1hat geringere Priorität als δ i ).✷Die hier angegebene Definition von maximaler Extension ist neu und nicht äquivalentzu der in [Bre91] angebenen ”konstruktiven“ Definition. Auf den Unterschied und denVorteil dieser Definition wird unten noch näher eingegangen.Maximale Extensionen und minimale ModelleEs gibt nun eine sehr enge Beziehung zwischen minimalen Modellen und maximalen Extensionen,und zwar ist ein Modell genau dann minimal, wenn es Modell einer maximalenExtension ist. Damit gibt es zwar noch keine bijektive Abbildung zwischen minimalenModellen und maximalen Extensionen (weil eine maximale Extension mehrere Modellehaben kann), aber die ∼ = ∆ ∗-Äquivalenzklassen der minimalen Modelle entsprechen genauden maximalen Extensionen.Satz 5.2.15:• Wenn E eine maximale (∆, ❁)-Extension von Φ ist, dann ist jedes Modell I von Φ∪Eein ≺ (∆,❁) -minimales Modell von Φ.• Wenn I ein ≺ (∆,❁) -minimales Modell von Φ ist, dann ist E := { δ ∈ ∆ ∗ ∣ ∣ I |= δ }eine maximale (∆, ❁)-Extension von Φ.Beweis:• Wäre I nicht minimal, so würde es also ein Modell I 0 von Φ geben mit I 0 ≺ (∆,❁) I. Sei∆ ′ die Menge aller ❁-minimalen Defaults unter denen, die nicht denselben Wahrheitswertin beiden Modellen haben. Nach Definition von ≺ (∆,❁) ist ∆ ′ nicht leer, und alle δ ′ ∈ ∆ ′sind in I 0 wahr und in I falsch. Das bedeutet aber, daßΦ ∪ {δ ∈ E | es gibt nicht δ ′ ∈ ∆ ′ mit δ ′ ❁ δ} ∪ ∆ ′konsistent ist (I 0 ist ein Modell), im Widerspruch zur Voraussetzung, daß E eine maximaleExtension ist.• Wäre E keine maximale Extension, dann müßte es ∆ ′ ⊆ ∆ ∗ − E, ∆ ′ ≠ ∅ geben, so daßΦ ∪ {δ ∈ E | es gibt nicht δ ′ ∈ ∆ ′ mit δ ′ ❁ δ} ∪ ∆ ′konsistent ist. Sei also I 0 ein Modell. Nun sei δ ein beliebiger Default, der in I gilt, abernicht in I 0 . Wegen I |= δ ist δ ∈ E, andererseits ist I 0 ein Modell der obigen Menge, und

5.2. DIE VORSICHTIGE CWA 109I 0 ̸|= δ. Also muß es δ ′ ∈ ∆ ′ geben mit δ ′ ❁ δ. Nach Konstruktion gilt I 0 |= δ ′ und I ̸|= δ ′ .Daher ist I 0 ≺ (∆,❁) I im Widerspruch zur vorausgesetzten Minimalität von I. ✷Hieraus folgt sofort, daß der skeptische Ansatz der minimalen Implikation entspricht,d.h. eine Formel ψ gilt in allen minimalen Modellen von Φ genau dann wenn Φ ∪ E ⊢ ψfür alle maximalen Extensionen E von Φ.Der vorangegangene Satz liefert auch eine alternative Definition der vorsichtigenCWA: Sie nimmt diejenigen Defaults an, die in allen maximalen Extensionen enthaltensind, also in allen minimalen Modellen gelten.Satz 5.2.16:Beweis:cwa (∆,❁) (Φ) = Φ ∪ { δ ∈ ∆ ∗ ∣ ∣ I |= δ für alle ≺ (∆,❁) -minimalen Modelle von Φ } .• ”⊆“: Sei δ also in allen maximalen Extensionen enthalten und sei I ein ≺ (∆,❁) -minimalesModell von Φ. Da die in I gültigen Defaults nach Satz 5.2.15 eine maximale Extensionbilden, muß δ auch in I gelten.• ”⊇“: Sei δ also in allen minimalen Modellen von Φ gültig. Zu zeigen ist, daß δ in jedermaximalen Extension E enthalten ist. Aufgrund der Konsistenzforderung gibt es ein ModellI von Φ ∪ E, das nach Satz 5.2.15 minimal ist. Also gilt δ in I. Wäre nun δ ∉ E, sowäre die Maximalitätsforderung verletzt, da Φ ∪ E ∪ {δ} konsistent ist (I is ein Modell).✷Damit kann man jetzt leicht die Vervollständigungs-Stärke der beiden Default-Semantikenvergleichen:Satz 5.2.17: Die vorsichtige CWA ist eine schwächere Vervollständigung als die minimalenModelle, d.h. Φ ⊢ cwa(∆,❁) ψ =⇒ Φ ⊢ min(∆,❁) ψ.Beweis: Da nur solche Defaults angenommen werden, die in allen minimalen Modellen gelten,ist jedes minimale Modell ein Modell der vorsichtigen CWA. Wenn also schon jedes Modellder vorsichtigen CWA die Anfrage ψ erfüllt, so gilt das natürlich erst recht für jedes minimaleModell.✷Die hier angegebenen Sätze sind Verallgemeinerungen von Ergebnissen aus [BL89], dieihrerseits auf [Min82] aufbauen.EigenschaftenSatz 5.2.18:• cwa (∆,❁) ist konsistenzerhaltend (CON).• cwa (∆,❁) ist kumulierend (CUM).• cwa (∆,❁) hat die NCWA-Eigenschaft (NCWA).• cwa (∆,❁) hat die Disjunktions-Eigenschaft für Defaults (DDIS).

110 KAPITEL 5. SEMANTIK VON DEFAULTSBeweis:• (CON): Nach Satz 5.2.16 nimmt die CWA nur solche Defaults an, die in allen minimalenModellen gelten. Damit ist jedes minimale Modell auch Modell der CWA (und es gibtmindestens ein minimales Modell).• (CUM): Gelte cwa (∆,❁) (Φ) ⊢ ϕ. Zu zeigen ist, daß cwa (∆,❁) (Φ) und cwa (∆,❁)(Φ ∪ {ϕ})äquivalent sind. Dazu reicht es zu zeigen, daß in beiden Mengen dieselben Defaults angenommenwerden. Nach Satz 5.2.16 werden genau die Defaults angenommen, die in allenminimalen Modellen gelten. Wegen cwa (∆,❁) (Φ) ⊢ ϕ gilt ϕ nach Satz 5.2.17 in allen minimalenModellen von Φ, also ist min (∆,❁)(Mod(Φ))= min(∆,❁)(Mod(Φ ∪ {ϕ})). Damitwerden natürlich in Φ und Φ ∪ {ϕ} dieselben Defaults angenommen.• (NCWA): Wenn die NCWA für Φ konsistent ist, sind alle minimalen Modelle ∼ = ∆ ∗-äquivalent.Dann gibt es aber nur eine maximale Extension, die mit der naiven CWA übereinstimmt.• (DDIS): Wird ein Default δ ∈ ∆ ∗ (sowohl in cwa (∆,❁) Φ ∪ {ϕ1 } ) angenommen, als auch(in cwa (∆,❁) Φ ∪ {ϕ2 } ) , so gilt er in allen minimalen Modellen der beiden Formelmengen.Nach der Deduktions-Eigenschaft in der Formulierung von Satz 4.1.17 sind aber die minimalenModelle von Φ ∪ {ϕ 1 ∨ ϕ 2 } auch minimale Modelle von Φ ∪ {ϕ 1 } oder von Φ ∪ {ϕ 2 }.(Damit wird δ also erst recht in cwa (∆,❁) Φ ∪ {ϕ1 ∨ ϕ 2 } ) angenommen.✷Beispiel 4.1.13 zeigt, daß die vorsichtige CWA im allgemeinen nicht die Deduktions-Eigenschaft hat. Tatsächlich verletzt die GCWA auch die Expansions-Eigenschaft, dazubraucht man aber mindestens drei Aussagenvariablen:Beispiel 5.2.19:Sei∆ := {¬p, ¬q, ¬r},I 1 := {[¯pqr], [p¯q¯r], [pqr]},I 2 := {[¯pq¯r], [p¯qr], [pqr]}Bei I 1 gibt es entsprechend den minimalen Modellen [¯pqr] und [p¯q¯r] die beiden maximalenExtensionen E 1,1 := {¬p} und E 1,2 := {¬q, ¬r}. Der Schnitt dieser beiden Extensionenist leer, d.h. es wird kein Default angenommen. Daher wird insbesondere das Modell [pqr]ausgewählt.Bei I 2 sind die Extensionen E 2,1 := {¬p, ¬r} und E 2,2 := {¬q}; wieder wird [pqr]ausgewählt.Bei I 1 ∪ I 2 sind schließlich die Modelle [p¯q¯r] und [¯pq¯r] minimal; der Schnitt derentsprechenden Extensionen enthält den Default ¬r.Daher wird das Modell [pqr] in I 1 ∪ I 2 nicht ausgewählt, obwohl es sowohl in I 1 alsauch in I 2 ausgewählt wird. Dies ist eine Verletzung der Expansions-Eigenschaft. ✷Die hier angegebenen Sätze sind zum Teil neu, zum Teil Verallgemeinerungen von Ergebnissenaus [Bra90a].

5.3. WEITERE SEMANTIKEN 111CharakterisierungDie vorsichtige CWA läßt sich auf ganz ähnliche Weise charakterisieren wie die ”minimaleModelle“ Semantik, man muß nur die Abschwächung DDIS der Deduktions-Eigenschaftverwenden:Satz 5.2.20: cwa (∆,❁) ist die schwächste Vervollständigung mit den EigenschaftenNCWA und DDIS.Beweis: cwa (∆,❁) hat diese beiden Eigenschaften. Sei comp eine beliebige Vervollständigung,die ebenfalls die Eigenschaften NCWA und DDIS hat. Zu zeigen ist comp(Φ) ⊢ cwa (∆,❁) (Φ).Dazu genügt es zu zeigen, daß comp(Φ) ⊢ δ für jeden Default in cwa (∆,❁) (Φ). Für jedes minimaleModell I von Φ sei ϕ I eine Formel, die in I und allen größeren Modellen von Φ gilt. Dann ist Φ(äquivalent zur Disjunktion dieser ϕ I , andererseits ist ncwa (δ,❁) {ϕI } ) konsistent und enthält δ.Nun kann man mit der Eigenschaft DDIS die Behauptung folgern.✷Dieser Satz ist neu und sehr nützlich zum Verständnis der vorsichtigen CWA.5.3 Weitere SemantikenEs sollen jetzt noch weitere Semantiken für Defaults vorgestellt werden, um zu zeigen,daß die obigen beiden Ansätze bei weitem noch nicht die einzigen möglichen sind. Teilweisehandelt es sich dabei um kleinere Modifikationen der ”minimale Modelle“ und dervorsichtigen CWA-Semantik, teilweise handelt es sich auch um weniger gute Vorschläge.Dies muß aber natürlich erst anhand der in Kapitel 4 vorgestellten Eigenschaften belegtwerden.Die naive CWADie naive CWA, die alle Defaults annimmt, deren Gegenteil nicht folgt, wurde schon inKapitel 4 definiert und im Abschnitt 5.1 modelltheoretisch charakterisiert. Ihr Hauptproblemist die Konsistenzerhaltung. Wenn sie aber konsistenzerhaltend ist, sollte jedevernünftige Semantik mit ihr übereinstimmen.Beispiel 5.3.1:Φ := {p ∨ q},Das klassische Beispiel für die Zerstörung der Konsistenz ist:∆ := {¬p, ¬q}.Da weder ¬¬p, d.h. p, noch ¬¬q, also q, folgen, werden beide Defaults angenommen, unddie Vervollständigung von Φ ist inkonsistent.Dieses Beispiel liefert auch sofort eine Verletzung der Kumulierung: Aus der inkonsistentenVervollständigung folgt ja alles, also auch ¬q. Fügt man diese Formel nun zu Φhinzu, so ist die entstehende Formelmenge äquivalent zu {p, ¬q}, und hier funktioniertdie naive CWA natürlich problemlos. Insbesondere folgt nicht mehr false.

112 KAPITEL 5. SEMANTIK VON DEFAULTSAllgemein sind nicht-konsistenzerhaltende Vervollständigungen fast immer auch nichtkumulierend. Allerdings ist dies keine echte Implikation, wie man am Beispiel der Vervollständigungsieht, die alle Φ auf false abbildet — sie ist nicht konsistenzerhaltend, aberkumulierend.✷Mit der modelltheoretischen Charakterisierung der naiven CWA kann man auch rechtleicht nachweisen, daß sie die Deduktions- und die Expansions-Eigenschaft hat, was vielleichtetwas überraschend ist:Satz 5.3.2:ncwa (∆,❁) hat die Eigenschaften DED und EXP.Beweis:Bezeichne ncwa (∆,❁) hier wieder die modelltheoretische Version der naiven CWA.• (DED): Zu zeigen istncwa (∆,❁) (I 1 ∪ I 2 ) ⊆ ncwa (∆,❁) (I 1 ) ∪ ncwa (∆,❁) (I 2 ).Sei I ∈ ncwa (∆,❁) (I 1 ∪I 2 ). Nach Satz 5.1.22 ist I in I 1 ∪I 2 minimal, und äquivalent zu allenanderen minimalen Modellen. Das bedeutet aber, daß I ≺ (∆,❁) I ′ für jedes nicht-minimaleModell I ′ gilt. Ist etwa I ∈ I 1 , so ist natürlich I ∈ min (∆,❁) (I 1 ), außerdem ist abermin (∆,❁) (I 1 ) ⊆ min (∆,❁) (I 1 ∪ I 2 ), es kommen also keine neuen minimalen Modelle hinzu.Daher ist I äquivalent zu allen minimalen Modellen in I 1 , also gilt I ∈ ncwa (∆,❁) (I 1 ).• (EXP): Zu zeigen istncwa (∆,❁) (I 1 ) ∩ ncwa (∆,❁) (I 2 ) ⊆ ncwa (∆,❁) (I 1 ∪ I 2 ).Sei also I in dem Schnitt auf der linken Seite. Das bedeutet, daß es sowohl in I 1 alsauch in I 2 minimal ist, und äquivalent zu allen anderen minimalen Modellen. Damit ist esnatürlich in I 1 ∪ I 2 minimal (min (∆,❁) erfüllt EXP), und immer noch äquivalent zu allenanderen minimalen Modellen (min (∆,❁) erfüllt DED).✷Die naive CWA wurde in [Rei78] eingeführt, wo auch die Probleme mit der Konsistenzerhaltungdiskutiert wurden. Weitere Ergebnisse hierzu finden sich in [She88]. Die Verallgemeinerungauf priorisierte Defaults und der Nachweis der Eigenschaften DED undEXP sind neu.Eine konsistenzerhaltende Modifikation der naiven CWADas Problem mit der Konsistenzerhaltung kann man natürlich leicht lösen, indem maneinfach gar keine Defaults annimmt, wenn die naive CWA inkonsistent ist. Das Ergebnisist die schwächste Vervollständigung mit der NCWA-Eigenschaft:Definition 5.3.3 (Modifizierte CWA): Die modifizierte CWA sei definiert durch:{ncwa(∆,❁) (Φ) falls konsistentmcwa (∆,❁) (Φ) :=Φsonst.

5.3. WEITERE SEMANTIKEN 113Die modifizierte CWA ist für praktische Zwecke wohl auch nicht viel besser geeignetals die naive CWA, da sich die Vervollständigung beim Einfügen einer Disjunktion sodrastisch ändert. Zwar ist sie konsistenzerhaltend, kumulierend und hat die Expansions-Eigenschaft, aber sie hat nicht die Eigenschaft DDIS (als einzige der betrachteten Vervollständigungen).Satz 5.3.4: Die modifizierte CWA ist konsistenzerhaltend, kumulierend, und hat dieExpansions-Eigenschaft.Beweis:CWA.mcwa (∆,❁) bezeichne hier die modelltheoretische Entsprechung der modifizierten• (CON): Die Konsistenzerhaltung folgt direkt aus der Definition.• (CUM): Zu zeigen ist:mcwa (∆,❁) (I 1 ) ⊆ I 2 ⊆ I 1 =⇒ mcwa (∆,❁) (I 1 ) = mcwa (∆,❁) (I 2 ).Diese Eigenschaft ist schon für min (∆,❁) bewiesen, es braucht also nur noch der Fall betrachtetzu werden, daß I 1 oder I 2 nicht-äquivalente minimale Modelle enthalten. EnthältI 1 nicht-äquivalente Modelle, so gilt mcwa (∆,❁) (I 1 ) = I 1 und daher I 2 = I 1 . Sonst giltmcwa (∆,❁) (I 1 ) = min (∆,❁) (I 1 ), also min (∆,❁) (I 1 ) ⊆ I 2 ⊆ I 1 . Da min (∆,❁) kumulierendist, folgt min (∆,❁) (I 1 ) = min (∆,❁) (I 2 ) und damitmcwa (∆,❁) (I 2 ) = min (∆,❁) (I 2 ) = mcwa (∆,❁) (I 1 ).• (EXP): Zu zeigen istmcwa (∆,❁) (I 1 ) ∩ mcwa (∆,❁) (I 2 ) ⊆ mcwa (∆,❁) (I 1 ∪ I 2 ).Die Behauptung gilt natürlich auf jeden Fall, wenn I 1 ∪ I 2 nicht-äquivalente minimaleModelle hat. Sei I ∉ mcwa (∆,❁) (I 1 ∪ I 2 ). Falls I in dem Schnitt auf der linken Seiteenthalten ist, muß I ∈ I 1 und I ∈ I 2 gelten. Eine dieser Teilmengen, etwa I 1 , enthält aberein minimales Modell aus I 1 ∪ I 2 , das kleiner als alle nicht-minimalen Modelle ist. Daherkommen in I 1 keine neuen minimalen Modelle gegenüber I 1 ∪ I 2 hinzu, die minimalenModelle sind also untereinander äquivalent. Nach Definition der modifizierten CWA istdann I ∉ mcwa (∆,❁) (I 1 ).✷Beispiel 5.3.5: Die modifizierte CWA hat nicht die Eigenschaft DDIS, und damit erstrecht nicht die Deduktions-Eigenschaft. Verwendet man die normalen Negations-Defaultsohne Prioritäten, so wird sowohl in Φ 1 := { p(a), q(a) } als auch in Φ 2 := { p(b), q(a) } derDefault ¬q(b) angenommen, nicht aber in Φ := { p(a) ∨ p(b), q(a) } .✷Beispiel 5.3.6: Die modifizierte CWA kann mit der vorsichtigen CWA simuliert werden,wenn das auch sehr aufwendig ist. In dem Standard-Beispiel ∆ := {¬p, ¬q} würde manfür die vorsichtige CWA folgende Defaults wählen:¬p ∧ ¬q, ¬p ∧ q, p ∧ ¬q, p ∧ q.Im allgemeinen wählt man alle Konjunktionen von Defaults und negierten Defaults, sodaß der Wahrheitwert jedes Defaults bestimmt ist. Die Prioritäten dieser neuen Defaultswählt man so, wie es gerade den entsprechenden minimalen Modellen entspricht, also etwa

114 KAPITEL 5. SEMANTIK VON DEFAULTS¬p∧¬q ❁ ¬p∧q. Die neuen Defaults sind paarweise inkonsistent, jede maximale Extensionbesteht also aus einem einzigen Default. Falls es mehr als eine maximale Extension gibt,ist der Schnitt folglich leer. Beispielsweise würde es bei Φ := {p∨q} die beiden maximalenExtensionen E 1 := {¬p∧q} und E 2 := {p∧¬q} geben (p∧q scheidet aus, weil es geringerePriorität hat). Im Endeffekt würde also kein Default angenommen.✷In der Literatur wurde diese Default-Semantik noch nicht untersucht. Sie ist ja im wesentlichenauch nur deswegen interessant, weil sie eine einfache ”Rettung“ der naiven CWAist.Eine starke CWAEs gibt noch eine andere einfache Möglichkeit, die naive CWA konsistenzerhaltend zumachen. Die Probleme treten ja genau dann auf, wenn mehrere Defaults im Konfliktmiteinander stehen, für die aber keine Priorität spezifiziert wurde.Eine einfache Lösung ist nun, ❁ zu einer linearen Ordnung zu erweitern, indem mansich etwa im Zweifelsfall immer für den lexikographisch kleineren Default entscheidet.Das ähnelt dem Ansatz mit einer durch die Implementierung festgelegten Auswahlder Extension. Typischerweise werden sich die Implementierungen aber nicht nur an derSchreibweise der Defaults orientieren, sondern auch an der Schreibweise und Anordnungder Axiome, so daß es sich dann nicht mehr um eine Vervollständigung in dem hierbetrachteten Sinn handelt.Wenn man von einer lexikographischen oder ähnlichen Ordnung ausgeht, kann manfesthalten, daß diese Default-Semantik im Gegensatz zu allen anderen hier untersuchtenVorschlägen nicht äquivalenzerhaltend bezüglich der Defaults ist.Definition 5.3.7 (Starke CWA): Sei δ 1 , δ 2 , . . . , δ n die Aufzählung von ∆ ∗ , die mit❁ verträglich ist, d.h. δ i ❁ δ j =⇒ i < j, und unvergleichbare Defaults lexikographischanordnet. Sei E 0 := ∅ und{Ei−1 ∪ {δE i :=i } falls Φ ∪ E i−1 ∪ {δ i } konsistent istsonst.E i−1Dann ist die starke CWA definiert durch:scwa (∆,❁) (Φ) := Φ ∪ E n .Es werden also alle Defaults der Reihe nach ausprobiert, ob sie zu der aktuellen Extensionhinzugenommen werden können, ohne die Konsistenz zu zerstören. Dabei wird einetopologische Sortierung von (∆ ∗ , ❁) zugrunde gelegt, d.h. die höher priorisierten Defaultsbekommen ihre Chance zuerst.Bei der starken CWA handelt es sich tatsächlich um eine Form von minimalen Modellen,nur die Ordnungsrelation ist ungewöhnlich:

5.3. WEITERE SEMANTIKEN 115Satz 5.3.8:I 1 ≺ I 2Dann giltSei δ 1 , δ 2 , . . . , δ n wie in Definition 5.3.7 und gelte:⇐⇒ I 1 und I 2 unterscheiden sich in mindestens einem δ iund für das minimale solche i gilt I 1 |= δ i , I 2 ̸|= δ i .I |= scwa (∆,❁) (Φ) ⇐⇒ I ∈ min ≺(Mod(Φ)).Beweis:• =⇒ “: Gelte also I |= scwa ” (∆,❁) (Φ). Wäre I nicht minimal, so gäbe es also I 0 ≺ I.Sei δ i der erste Default in der Aufzählung, in dem sich die beiden Modelle unterscheiden.Dann gilt I 0 |= δ und I ̸|= δ. Dies ist aber nicht möglich, denn dann wäre Φ ∪ E i−1 ∪ {δ i }konsistent (I 0 ist ein Modell), also müßte δ i ∈ scwa (∆,❁) (Φ) sein im Widerspruch zuI |= scwa (∆,❁) (Φ).( )• Sei umgekehrt I ∈ min ≺ Mod(Φ) . Angenommen, I ̸|= scwa(∆,❁) (Φ). Sei nun δ i derin der Aufzählung erste Default aus scwa (∆,❁) (Φ) mit I ̸|= δ i . Nach Konstruktion vonscwa (∆,❁) (Φ) ist Φ ∪ E i−1 ∪ {δ i } konsistent, also gibt es ein Modell I 0 . Im Wahrheitswertder früheren Defaults (δ 1 , . . . , δ i−1 ) stimmen I 0 und I überein, denn beide erfüllen E i−1 undmehr ist nach Konstruktion unmöglich. Also entscheidet δ i , daß I 0 ≺ I im Widerspruchzur Minimalität von I.✷Damit ”erbt“ die starke CWA also viele der guten Eigenschaften der minimalen Modelle,nämlich Konsistenzerhaltung, Kumulation, Deduktions- und Expansions-Eigenschaft.Ein Mangel ist natürlich, daß die Defaults nicht gleich behandelt werden — es werdenDefaults vorgezogen, ohne daß der Entwerfer entsprechende Prioritäten spezifiziert hat.Die starke CWA legt auch die Wahrheitswerte der Defaults vollständig fest. Wähltman etwa wie üblich die negativen Grundliterale als Defaults, so hat man immer nur eineinziges intendiertes Modell. Für einige Anwendungen ist das natürlich wünschenswert,aber unvollständige Information kann man damit nicht mehr darstellen.Schließlich sei noch gezeigt, daß die starke CWA tatsächlich mit der naiven CWAübereinstimmt, wenn diese konsistent ist:Satz 5.3.9:Ist ncwa (∆,❁) (Φ) konsistent, so gilt scwa (∆,❁) (Φ) = ncwa (∆,❁) (Φ).Beweis: Sei also ncwa (∆,❁) (Φ) konsistent, und sei δ i der erste Default in der Aufzählung, beidem sich die beiden Mengen unterscheiden.• δ i ∈ scwa (∆,❁) (Φ), δ i ∉ ncwa (∆,❁) (Φ): Dann müßte ncwa (∆ ∗δi ,❁ δi )(Φ) ⊢ ¬δ gelten, aberandererseits ist aufgrund der Minimalitätsforderung ncwa (∆ ∗δi ,❁ δi )(Φ) ⊆ E i−1 , ein Widerspruchzur Konsistenz von Φ ∪ E i−1 ∪ {δ i }.• δ i ∉ scwa (∆,❁) (Φ), δ i ∈ ncwa (∆,❁) (Φ): Dann ist also Φ ∪ E i−1 ∪ {δ i } inkonsistent. Da iminimal gewählt wurde, gilt aber Φ ∪ E i−1 ⊆ ncwa (∆,❁) (Φ). Dies ist ein Widerspruch zurKonsistenz von ncwa (∆,❁) (Φ).✷

116 KAPITEL 5. SEMANTIK VON DEFAULTSEin skeptischer Ansatz mit konstruktiven ExtensionenDie Probleme der starken CWA sind in erster Linie auf die willkürliche Auswahl einerAufzählung δ 1 , δ 2 , . . . , δ n zurückzuführen. Es liegt daher nahe, nicht nur eine solcheAufzählung zu betrachten, sondern alle möglichen (sofern sie mit ❁ verträglich sind).Auf diese Weise erhält man also mehrere ”konstruktive Extensionen“, und kann nunz.B. den skeptischen Ansatz wählen, d.h. die Anfrage ψ muß aus allen solchen Extensionenfolgen.Definition 5.3.10 (Konstruktive Extension): E ⊆ ∆ ∗ heißt konstruktive (∆, ❁)-Extension von Φ genau dann, wenn es eine mit ❁ verträgliche Aufzählung δ 1 , δ 2 , . . . , δ nvon ∆ ∗ gibt, so daß E = E n , wobei E 0 := ∅ und{Ei−1 ∪ {δE i :=i } falls Φ ∪ E i−1 ∪ {δ i } konsistent istsonst.E i−1Definition 5.3.11 (Konstruktive Implikation): Φ ⊢ cons(∆,❁)ψ genau dann, wenn fürjede konstruktive (∆, ❁)-Extension E von Φ gilt: Φ ∪ E ⊢ ψ.Nun stellt sich natürlich die Frage nach der Beziehung zwischen maximalen und konstruktiven(∆, ❁)-Extensionen. Es wird sich zeigen, daß jede konstruktive Extension auch einemaximale Extension ist, während das Umgekehrte nicht gilt. Zum Vergleich der beidenBegriffe ist der folgende Satz nützlich, der eine Charakterisierung konstruktiver Extensionenangibt, die der Definition von maximaler Extension sehr ähnlich ist:Satz 5.3.12:E ⊆ ∆ ∗ ist eine konstruktive (∆, ❁)-Extension genau dann, wenn• Φ ∪ E konsistent ist und• für alle ∆ ′ ⊆ ∆ ∗ − E, ∆ ′ ≠ ∅ gibt es δ ′ 0 ∈ ∆ ′ , so daßBeweis:Φ ∪ {δ ∈ E | es gibt nicht δ ′ ∈ ∆ ′ mit δ ′ ❁ δ} ∪ {δ ′ 0}inkonsistent ist.• Sei E eine konstruktive Extension und δ 1 , δ 2 , . . . , δ n die entsprechende Aufzählung derDefaults. Nach Konstruktion ist Φ ∪ E konsistent. Sei nun ∆ ′′ ⊆ ∆ ∗ − E und i minimalmit δ i ∈ ∆ ′ . Dann ist Φ ∪ E i−1 ∪ {δ i } inkonsistent und eine Teilmenge vonΦ ∪ {δ ∈ E | es gibt nicht δ ′ ∈ ∆ ′ mit δ ′ ❁ δ} ∪ {δ i }.Daher ist diese Menge auch inkonsistent.• Nun erfülle E die im Satz angegebene Bedingung. Es wird eine topologische Sortierungδ 1 , δ 2 , . . . , δ n folgendermaßen konstruiert, um E i = E ∩ {δ 1 , . . . , δ i } zu garantieren:Zunächst sei die Folge leer und E 0 = ∅. Ist schon ein Anfangsstück δ 1 , δ 2 , . . . , δ i−1 gegeben,so sei ein Default δ i ∈ E ausgewählt, so daß Φ ∪ E i−1 ∪ {δ i } konsistent ist, oder ein Defaultδ i ∉ E, so daß Φ ∪ E i−1 ∪ {δ i } inkonsistent ist. Zu zeigen ist, daß das immer möglich ist:Ist δ i ∈ E, so ist Φ ∪ E ∪ {δ i } konsistent, und nach der Induktionsannahme giltE i−1 ⊆ E, also ist Φ ∪ E i−1 ∪ {δ i } erst recht konsistent.

5.3. WEITERE SEMANTIKEN 117Angenommen, es ist kein solcher Default auswählbar. Sei ∆ ′ die Menge der ❁-minimalen Elemente von ∆ ∗ − {δ 1 , . . . , δ i−1 }, also die Menge der auswählbaren Defaults.Nach der Annahme ist ∆ ′ ⊆ ∆ ∗ − E, ∆ ′ ≠ ∅ und Φ ∪ E i−1 ∪ {δ i } konsistent für jedenDefault δ i ∈ ∆ ′ . Nach der Konstruktion gilt aberΦ ∪ {δ ∈ E | es gibt nicht δ ′ ∈ ∆ ′ mit δ ′ ❁ δ} ∪ {δ i } = Φ ∪ E i−1 ∪ {δ i }.Also ist die Bedingung des Satzes verletzt im Widerspruch zur Voraussetzung.✷Der Unterschied ist also nur, daß hier schon ein einziger Default δ 0 ∈ ∆ ′ ausreichen muß,um die Inkonsistenz zu zeigen, während bei maximalen Extensionen die ganze Menge ∆ ′benutzt werden kann. Daraus folgt sofort:Korollar 5.3.13: Ist E ⊆ ∆ ∗ eine konstruktive (∆, ❁)-Extension, so ist es auch einemaximale (∆, ❁)-Extension.Das folgende Beispiel zeigt, daß die Umkehrung nicht gilt, der Begriff der konstruktivenExtension im allgemeinen also echt einschränkender ist:Beispiel 5.3.14:Es sei wieder die Default-Spezifikation aus Beispiel 5.2.10 betrachtet:✓ ✏ ✓ ✏q p✒ ✑ ✒ ✑✓¬p✒✏✑✓¬q✒✏✑Sei nun Φ := {p ∨ q}. Da jede topologische Sortierung der Defaults mit ¬p oder ¬qbeginnt, muß auch jede konstruktive Extension einen dieser beiden Defaults enthalten,E := {p, q} ist also keine konstruktive Extension. Es ist aber eine maximale Extension,denn im Gegensatz zu Beispiel 5.2.10 (Φ = ∅) kann nun ∆ ′ := {¬p, ¬q} nicht mehrkonsistent hinzugenommen werden.✷Natürlich ist der Begriff der konstruktiven Extension intuitiv sehr einfach, und man könntesich fragen, ob nicht die Definition von maximaler Extension entsprechend geändert werdensollte. Allerdings müßte man dann auch die Definition von ≺ (∆,❁) ändern, wenn manwünscht, daß die Extensionen weiterhin den minimalen Modellen entsprechen. Das folgendeBeispiel zeigt, daß dies nicht möglich ist — es gibt keine Präferenzrelation auf denModellen, die zu den konstruktiven Extensionen paßt:Beispiel 5.3.15: Es sei dieselbe Default-Spezifikation wie im letzten Beispiel betrachtet.Tabelle 5.2 stellt die Auswahlfunktion der konstruktiven Implikation dar. Bei derkonstruktiven Implikation werden gerade die Modelle ausgewählt, die konstruktiven Extensionenentsprechen. Dies gilt auf jeden Fall für [p¯q], [¯pq] und [¯p¯q], denn man kann einetopologische Sortierung wählen, in der gerade die in diesen Modellen gültigen Defaultszuerst kommen. Dagegen entspricht [pq] nur dann einer maximalen Extension, wenneiner der beiden Defaults ¬p oder ¬q nicht angenommen werden kann (kann etwa ¬p

118 KAPITEL 5. SEMANTIK VON DEFAULTSΦ [pq] [p¯q] [¯pq] [¯p¯q] comp(Φ)falsefalse¬p, ¬q • ¬p, ¬q¬p, q • ¬p, q¬p • • ¬pp, ¬q • p, ¬q¬q • • ¬qp ↔ ¬q • • p ↔ ¬q¬p ∨ ¬q • • • ¬p ∨ ¬qp, q • p, qp ↔ q ◦ • ¬p, ¬qq • • q¬p ∨ q ◦ • • ¬pp • • pp ∨ ¬q ◦ • • ¬qp ∨ q ◦ • • p ↔ ¬qtrue ◦ • • • ¬p ∨ ¬qTabelle 5.2: Konstruktive Implikation bei partiell geordneten Defaultsnicht angenommen werden, so wähle man die Aufzählung ¬p, q, ¬q, p). Die Modelle [pq]und [p¯q] müßten bei einer passenden Ordnungsrelation unvergleichbar sein, ebenso [pq]und [¯pq]. Also ist [pq] auch in der Modellmenge {[pq], [p¯q], [¯pq]} minimal, denn keines derbeiden anderen Modelle ist kleiner. Das ist aber ein Widerspruch zu den Überlegungenim vorangegangenen Beispiel, denn hier entspricht [pq] keiner konstruktiven Extension.An diesen drei Modellmengen kann man auch sehen, daß die konstruktive Implikationnicht die Expansions-Eigenschaft hat, denn es gilt:sel ( {[pq], [p¯q]} ) ∩ sel ( {[pq], [¯pq]} ) = {[pq]} ⊈ sel ( {[pq], [p¯q], [¯pq]} ) = {[p¯q], [¯pq]}.Nicht einmal die Abschwächung der Expansions-Eigenschaft, daß jedes ausgeschlosseneModell auch in einem Zweiervergleich geschlagen werden muß, ist hier erfüllt (im Gegensatzdazu gilt diese Eigenschaft für die vorsichtige CWA).✷Diese Probleme treten aber erst bei partiell geordneten Defaults auf, bei Prioritätsstufengibt es keinen Unterschied zwischen konstruktiven und maximalen Extensionen:Satz 5.3.16:Sei ❁ von einer Stufeneinteilung l abgeleitet, d.h. gelteδ 1 ❁ δ 2 ⇐⇒ l(δ 1 ) < l(δ 2 ).Dann ist jede maximale (∆, ❁)-Extension auch eine konstruktive (∆, ❁)-Extension.Beweis: Es ist also wieder eine Aufzählung der Defaults δ 1 , δ 2 , . . . , δ n zu konstruieren, die geradeE liefert. Diese Aufzählung muß natürlich zunächst alle Defaults der höchsten Prioritätsstufe 1enthalten, dann alle der Prioritätsstufe 2 und so weiter. Auf jeder Prioritätsstufe wählt man

5.3. WEITERE SEMANTIKEN 119nun zuerst die Defaults δ ∈ E aus, und erst danach die verbleibenen Defaults δ ∈ ∆ ∗ − E. DieseKonstruktion garantiert folgende Aussage (∗): ”Ist δ i ∉ E, dann ist δ i ❁ δ j für alle δ j ∈ E mitj > i.“Es wird nun zunächst gezeigt, daß wenn δ i ∉ E, dann Φ ∪ E i−1 ∪ {δ i } inkonsistent ist,also δ i in der durch δ 1 , δ 2 , . . . , δ n gegebenen konstruktiven Extension nicht ausgewählt wird.Angenommen, dies würde nicht gelten. Dann sei der erste δ i ∉ E betrachtet, so daß Φ∪E i−1 ∪{δ i }konsistent ist. Dann gilt für ∆ ′ := {δ i } wegen (∗):Φ ∪ E i−1 ∪ {δ i } ⊇ Φ ∪ { δ ∈ E ∣ ∣ es gibt nicht δ ′ ∈ ∆ ′ mit δ ′ ❁ δ } ∪ ∆ ′ .Da die linke Seite konsistent ist, gilt dies auch für die rechte Seite im Widerspruch zur Voraussetzung,daß E eine maximale Extension ist.Damit ist gezeigt, daß kein Default konstruktiv ausgewählt wird, der nicht in E enthaltenist. Da aber Φ ∪ E konsistent ist, müssen die Defaults δ ∈ E ausgewählt werden.✷Oben wurde gezeigt, daß die konstruktive Implikation nicht die Expansions-Eigenschafthat. In dem folgenden Satz wird bewiesen, daß sie die übrigen hier betrachteten Eigenschaftenhat:Satz 5.3.17:⊢ cons(∆,❁)hat die Eigenschaften CON, CUM, DED, SCD und NCWA.Beweis:• (CON): Es gibt mindestens eine konstruktive Extension und konstruktive Extensionen sindkonsistent mit Φ.• (CUM): Gelte Φ ⊢ cons(∆,❁)ϕ, d.h. Φ ∪ E ⊢ ϕ für jede konstruktive (∆, ❁)-Extension E von Φ.Sei eine beliebige Aufzählung δ 1 , δ 2 , . . . , δ n der Defaults gegeben. Zu zeigen ist, daß in Φund Φ ∪ {ϕ} dieselben Defaults ausgewählt werden. Angenommen, dies wäre nicht so, undbei δ i würde der erste Unterschied auftreten. Wegen Φ ∪ {ϕ} ∪ E i−1 ⊢ Φ ∪ E i−1 könntees höchstens sein, daß δ i in Φ ∪ {ϕ} nicht ausgewählt wird, wohl aber in Φ. Sei E dieentsprechende konstruktive Extension von Φ, es gilt dann also E i−1 ∪ {δ i } ⊆ E. Außerdemgilt Φ ∪ E ⊢ ϕ, also ist jedes Modell I von Φ ∪ E auch Modell von ϕ, und daher Modellvon Φ ∪ {ϕ} ∪ E i−1 ∪ {δ i }, diese Menge ist also konsistent und δ i wird auch in Φ ∪ {ϕ}ausgewählt.• (DED): Gelte Φ ∪ {ϕ} ⊢ cons(∆,❁)ψ. Angenommen, Φ ⊬cons(∆,❁)ϕ → ψ, es gäbe also einekonstruktive (∆, ❁)-Extension E von Φ, so daß Φ ∪ E ⊬ ϕ → ψ, d.h. für ein Modell Ivon Φ ∪ E gilt I |= ϕ und I ̸|= ψ. Es wird nun gezeigt, daß E auch eine konstruktiveExtension von Φ ∪ {ϕ} ist:Man betrachte dieselbe Aufzählung der Defaults, das Ergebnis sei E ′ . Angenommen,bei δ i würde der erste Unterschied auftreten. Ist δ i ∈ E, so gilt I |= Φ∪{ϕ}∪E∪{δ i }, also istΦ∪{ϕ}∪E ′ i−1 ∪{δ i} konsistent, d.h. δ i ∈ E ′ . Ist umgekehrt δ i ∈ E ′ , d.h. Φ∪{ϕ}∪E ′ i−1 ∪{δ i}konsistent, so ist natürlich auch die Teilmenge Φ ∪ E ′ i−1 ∪ {δ i} konsistent, d.h. δ i ∈ E.• (SCD): Ist ein Modell I intendiert, d.h. ist es Modell einer konstruktiven Extension E,so ist natürlich jedes Modell, das mindestens dieselben Defaults erfüllt, ebenfalls Modellvon E, also auch intendiert.• (NCWA): Wenn die naive CWA konsistent ist, gibt es bis auf Äquivalenz nur ein minimalesModell. Da jedes Modell einer konstruktiven Extension minimal ist, und zwei verschie-

120 KAPITEL 5. SEMANTIK VON DEFAULTSdene konstruktive Extensionen unverträglich sind, gibt es also auch nur eine konstruktiveExtension, die gerade mit der naiven CWA übereinstimmt.✷Die konstruktiven Extensionen wurden in [Bre91] eingeführt, die Sätze und Beispiele diesesAbschnittes sind neu.5.4 ZusammenfassungEs sollen jetzt die wichtigsten Ergebnisse dieses Kapitels noch einmal tabellarisch zusammengestelltwerden.Garantierte EigenschaftenMan wird von einer guten Default-Semantik erwarten, daß sie grundlegende Eigenschaftenwie Konsistenzerhaltung und Kumulierung für beliebige Default-Spezifikationen (∆, ❁)garantieren kann. Solche Eigenschaften verhindern Überraschungen bei Einfügungenund Löschungen von Axiomen, da das Ergebnis häufig schon aufgrund dieser Eigenschaftenvorhersehbar ist. Andererseits gibt es Anwendungen, die eine Verletzung derDeduktions-Eigenschaft erfordern, garantierte Eigenschaften führen also immer zu einerEinschränkung der Ausdrucksfähigkeit. In der folgenden Tabelle bedeutet •“, daß für”jede Default-Spezifikation (∆, ❁) die zugehörige Vervollständigung die betreffende Eigenschafthat:Eigenschaften von Default-Semantikenmin (∆,❁) cwa (∆,❁) ncwa (∆,❁) mcwa (∆,❁) scwa (∆,❁) ⊢ cons(∆,❁)CON • • — • • •CUM • • — • • •DED • — • — • •DDIS • • • — • •EXP • — • • • —SCD • • • • • •NCWA • • • • • •Stärke der VervollständigungMan kann auch die Stärke der Vervollständigung für dieselbe Default-Spezifikation vergleichenund erhält folgende Hierarchie:Stärke von Default-Semantikenmcwa (∆,❁) =⇒ cwa (∆,❁) =⇒ min (∆,❁) =⇒ ⊢ cons(∆,❁) =⇒ scwa (∆,❁)=⇒ ncwa (∆,❁)

5.4. ZUSAMMENFASSUNG 121Dies ist so zu lesen, daß wenn eine Anfrage bezüglich einer weiter links stehenden Vervollständigungmit ”Ja“ beantwortet wird, sie dann erst recht bezüglich einer weiter rechtsstehenden Vervollständigung mit ”Ja“ beantwortet wird. Die Vervollständigungs-Stärkewächst also von links nach rechts.Allzu starke Vervollständigungen sind nicht zur Darstellung von unvollständiger Informationgeeignet, allzu schwache Vervollständigungen überraschen den Benutzer mitunerwarteten ”Wissenslücken“.Charakterisierungen von Default-SemantikenCharakterisierungen heben einzelne Default-Semantiken aus der Masse der Möglichkeitenhervor. Man will ja nicht eine ganz zufällige Semantik. Die folgenen Charakterisierungenbesagen, daß die betrachteten Semantiken gerade extremal mit bestimmten Eigenschaftensind. Hält man z.B. die NCWA-Eigenschaft und die Deduktions-Eigenschaft für sinnvollund will sich ansonsten keine Modelle unbegründet ausscheiden, so bekommt man geradedie ”minimale Modelle“ Semantik.Charakterisierungen über Eigenschaften und Vervollständigungsstärkencwa (∆,❁) Stärkste Vervollständigung mit NCWAscwa (∆,❁) Eine stärkste Vervollständigung mit NCWA, CON, CD⊢ cons(∆,❁)?min (∆,❁) Schwächste Vervollständigung mit NCWA, DEDcwa (∆,❁) Schwächste Vervollständigung mit NCWA, DDISmcwa (∆,❁) Schwächste Vervollständigung mit NCWAGibt es auch eine entsprechende Charakterisierung für die kon-Offene Frage 5.4.1:struktive Implikation?AusdrucksfähigkeitDie in den Anwendungen benötigten Vervollständigungen sollten natürlich auch durchgeeignete Default-Spezifikationen dargestellt werden können. Gesucht sind also Charakterisierungendes Wertebereichs einer Default-Semantik, oder Vergleiche zwischen denWertebereichen zweier Semantiken. Eine obere Schranke für die Menge der darstellbarenVervollständigungen ist dabei durch die garantierten Eigenschaften (s.o.) gegeben: es istmit Sicherheit keine Vervollständigung darstellbar, die eine dieser Eigenschaften verletzt.In dieser Arbeit konnte nur der Bereich der mit ”minimalen Modellen“ darstellbarenVervollständigungen charakterisiert werden:Charakterisierungen der Ausdrucksfähigkeit über Eigenschaftenmin (∆,❁)CON, CUM, DED, EXP

122 KAPITEL 5. SEMANTIK VON DEFAULTSFür die übrigen Klassen von Vervollständigungen ist zu vermuten, daß hier wesentlichkompliziertere Eigenschaften benötigt werden. Es wäre aber auch ein (nichttrivialer)Algorithmus nützlich, der aus einer als Tabelle gegebenen Vervollständigung die passendenDefaults konstruiert, soweit möglich.Schließlich kann man auch die mit den verschiedenen Default-Semantiken darstellbarenVervollständigungen vergleichen. Hier gelten folgende Inklusionen:Vergleich der Ausdrucksfähigkeit|min| ⊂ |cwa||min| ⊂ | ⊢ cons ||mcwa| ⊂ |cwa||scwa| ⊂ |min|Dabei sei |x| die Menge der mit der Default-Semantik x darstellbaren Vervollständigungen(für beliebiges ∆, ❁).Natürlich besagt das nicht, daß die Umrechnung zwischen den Default-Spezifikationenfür diese Semantiken besonders einfach ist. Wenn man etwa mit der vorsichtigen CWA dieminimalen Modelle simulieren will, so muß man alle Disjunktionen von Defaults einführen.Trotzdem geben solche Inklusionen einen Hinweis auf die Mächtigkeit der Ansätze.WertungWelche Semantik ist also nach den bisherigen Erkenntnissen die beste? Natürlich hängtdas letztlich von der Anwendung ab, aber man kann doch einige Hinweise geben:Die ”minimale Modelle“-Semantik kann viele nützliche Eigenschaften garantieren undauf verschiedene Arten charakterisiert werden, sie ist also sicher nicht eine zufällige Semantik.Sie wäre wohl die erste Wahl, wenn die Anwendung es zuläßt.Die vorsichtige CWA scheint für einige Anwendungen nötig zu sein, die eine stärkereAuslöschung sich gegenseitig blockierender Defaults verlangen. Hier zahlt sich aus, daßdie vorsichtige CWA echt ausdrucksstärker ist als die ”minimale Modelle“-Semantik.Darüberhinaus kann sie einige Eigenschaften garantieren und hat auch eine einfache Charakterisierung.Sie ist aber wohl noch nicht ganz so gut verstanden wie die ”minimaleModelle“-Semantik, weitere Untersuchungen wären nützlich.Die naive CWA scheidet wegen der Probleme mit der Konsistenzerhaltung aus. Fallsman aufgrund der möglichen Axiomenmengen garantieren kann, daß sie konsistent ist,fällt sie ohnehin mit allen anderen Sematiken zusammen.Die modifizierte CWA scheint für praktische Zwecke zu schwach zu sein, außerdemerfüllt sie nicht die intuitiv recht einleuchtende Eigenschaft DDIS (als einzige von denbetrachteten Vervollständigungen).Die starke CWA ist zur Darstellung unvollständiger Information ungeeignet, sie ziehtauch Defaults in einer für den Benutzer überraschenden Weise vor.

5.4. ZUSAMMENFASSUNG 123Die konstruktive Implikation fällt bei Prioritätsstufen mit der ”minimale Modelle“-Semantik zusammen. Bei partiell geordneten Defaults verletzt sie jedoch die Expansions-Eigenschaft. Ihr Vorteil ist natürlich die intuitiv sehr einfache konstruktive Definition.Dafür sollte man aber nicht die regelmäßigere Struktur der minimalen Modelle opfern.

124

Kapitel 6Berechnung von AntwortenIn diesem Kapitel sollen nun Algorithmen für die Anfrageauswertung entwickelt werden.Im Unterschied zu den aus der Literatur bekannten Verfahren werden hier allgemeineKlauseln und benutzerspezifizierbare Defaults zugelassen (anstelle von Hornklauseln mitimpliziter Negation).Für die Semantik der Defaults werden drei Alternativen betrachtet, die den verschiedenenVorgehensweisen bei mehreren Extensionen entsprechen: Die minimale Modelle“-”Semantik ist äquivalent zum skeptischen Ansatz, die vorsichtige CWA ist gerade dervorsichtige Ansatz und der leichtgläubige Ansatz wird als Unterprogramm benötigt.In der Literatur sind im wesentlichen zwei Klassen von Verfahren zur Anfrageauswertungvorgeschlagen worden: Die bottom-up“ Verfahren werden bei deduktiven Datenbankenverwendet, top-down“ Verfahren in der logischen Programmierung. Beide””Vorgehensweisen haben ihre Vorteile: bottom-up“ Verfahren sind mengenorientiert und”kommen daher ohne Doppelarbeit aus, top-down“ Verfahren gehen zielgerichtet vor und”vermeiden überflüssige Arbeit.Eine Verallgemeinerung dieser Verfahren auf allgemeine Klauseln ist nicht schwer:Wenn man sich in der Literatur zum automatischen Beweisen“ umsieht, stellt man fest,”daß das bottom-up“ Verfahren ein Spezialfall der positiven Hyperresolution ist, während”die SLD-Resolventenmethode von Prolog auf der OL-Resolution basiert. Allerdings mußfür die Hyperresolution noch eine mengenorientierte Implementierung entwickelt werden,und bei der OL-Resolution sind noch Überlegungen zur Terminierung anzustellen.Mehr Mühe machen die allgemeinen (benutzerspezifizierbaren) Defaults. Natürlichkönnte man im Prinzip einfach die maximalen Extensionen konstruieren, aber diesesVerfahren würde zu einem enormen Aufwand führen. Einer der Gründe, Defaults einzuführen,war ja gerade die Speicherplatz-Ökonomie, da die Anzahl der angenommenenDefault-Ausprägungen die der nicht angenommenen bei weitem übersteigt.Statt dessen werden hier Begründungen“ für Antworten berechnet, also Mengen von”Defaults, die zur Rechtfertigung einer Antwort nötig sind. Es ist dann natürlich nochzu überprüfen, ob die entsprechenden Defaults wirklich angenommen werden können.Dies geschieht, indem widersprechende Begründungen“ berechnet werden, also Konflikte,”an denen die betrachteten Defaults beteiligt sind. Insgesamt hat man also einen sehr125

126 KAPITEL 6. BERECHNUNG VON ANTWORTENzielgerichteten Umgang mit den Defaults.Es ist noch zu bemerken, daß dies etwa bei der naiven CWA oder der modifiziertenCWA nicht möglich wäre. Dort kann die Konsistenz ja auch durch Defaults zerstört werden,die keine Beziehung zur Anfrage haben. Interessant wäre also sicher eine allgemeineTheorie der Antwort-Algorithmen, die etwa zeigt, daß bestimmte Default-Semantikenprinzipiell einfacher zu berechnen sind als andere.6.1 Bottom-UpIn diesem Abschnitt wird eine bottom-up“ Methode zur Anfrageauswertung bei allgemeinenKlauseln und expliziten Defaults eingeführt. Das Verfahren läuft in zwei Phasen ab:”Zuerst werden mit einem Resolventenverfahren Folgerungen aus den gegebenen Faktenund Regeln gebildet. Dies liefert einerseits mögliche Antworten mit ihren Begründungen,und andererseits Konflikte zwischen den Defaults. Aus diesen Informationen werdendann in der zweiten Phase die korrekten Antworten berechnet, was im Normalfall durcheinfaches Nachschauen in den zuvor berechneten Tabellen erfolgen kann.Diese Zweiteilung ist auch deswegen naheliegend, weil man zur Anwendung der Defaultsja sicher sein muß, daß ihr Gegenteil nicht mehr abgeleitet werden kann. Da allerelevanten Folgerungen bereits in der ersten Phase berechnet wurden, steht diese Informationdann in der zweiten Phase zur Verfügung.Im folgenden ist zwischen den algorithmischen Grundlagen und der mengenorientiertenImplementierung zu unterscheiden. Die Grundlagen werden formal definiert undbewiesen, die Implementierung wird dagegen nur an Beispielen demonstriert.Dieser Abschnitt basiert auf der Arbeit [BL92], allerdings kann die Methode hierwesentlich ausführlicher dargestellt werden. Für die mengenorientierte Implementierungwerden hier flache Relationen verwendet, in [BL92] aber geschachtelte Relationen. Esbietet sich also an, die betreffenden Abschnitte der beiden Arbeiten zu vergleichen.Eingaben der AnfrageauswertungDie Anfrageauswertung benutzt natürlich die Axiome Φ, die Defaults ∆ und eine Anfrageψ. Wie in Kapitel 2 erläutert wurde, kann vorausgesetzt werden, daß die zugrundeliegendeSignatur Σ endlich ist.Die hier betrachteten Resolutionsbeweiser arbeiten allerdings nur mit Klauseln. Eswird daher die in Kapitel 2 eingeführte Normalform verwendet, d.h. Φ wird um die Regelnanswer(X 1 , . . . , X n ) ← ψ,δ ← default δ (X 1 , . . . , X n )erweitert, wobei answer und die default δ (δ ∈ ∆) neue Prädikate sind, deren Argumentsortenzu den in ψ bzw. δ auftretenden Variablen X 1 , . . . , X n passen. Die so erweiterteSignatur heiße ¯Σ.

6.1. BOTTOM-UP 127Die erweiterte Axiomenmenge ist natürlich immer noch keine Klauselmenge, aber siekann mit dem in Kapitel 2 angegebenen Verfahren in eine logisch äquivalente Klauselmenge¯Φ überführt werden.Im folgenden sei answer[θ] das zur Substitution θ für die Antwortvariablen X 1 , . . . , X ngehörige Literal der Formanswer(X 1 , . . . , X n )θ.Entsprechend sei default[δ] das zur Default-Ausprägung δ ∈ ∆ ∗ gehörige Literal.Die Umrechnung zwischen beiden Signaturen ist mit folgenden Lemmata möglich:Lemma 6.1.1:Sei Ī ein ¯Σ-Herbrandmodell von ¯Φ und I ihr Σ-Redukt.• Ī |= default[δ] =⇒ I |= δ.• Ī ̸|= answer[θ] =⇒ I ̸|= ψθ.Beweis:• Ein Grundbeispiel der neuen Regeln ist δ ← default[δ]. Da Ī diese Implikation erfüllenmuß und außerdem ein Modell von default[δ] ist, muß es natürlich auch δ erfüllen.• Diese Behauptung folgt aus Ī |= answer[θ] ← ψθ.✷Lemma 6.1.2: Sei I ein Σ-Herbrandmodell von Φ. Dann gibt es ein ¯Σ-Herbrandmodell Īvon ¯Φ mit• Ī |= answer[θ] ⇐⇒ I |= ψθ für alle Antwortsubstitutionen θ, und• Ī |= default[δ] ⇐⇒ I |= δ für alle δ ∈ ∆∗ .Beweis:Ī sei die ¯Σ-Erweiterung von I mit(c 1 , . . . , c n ) ∈ Ī [answer ] :⇐⇒ I |= ψ〈X 1 ⊳ c 1 , . . . , X n ⊳ c n 〉,(c 1 , . . . , c n ) ∈ Ī [default δ0] :⇐⇒ I |= δ 0 〈X 1 ⊳ c 1 , . . . , X n ⊳ c n 〉,wobei X 1 , . . . , X n gerade die in ψ bzw. δ 0 vorkommenden Variablen sind. Die Behauptung folgtdann direkt aus der Konstruktion.✷Die klassische ”bottom-up“ MethodeEs soll zunächst die bottom-up“ Auswertung für Hornklauseln beschrieben werden, die”dann auf beliebige Klauseln zu verallgemeinern ist.Bei der bottom-up“ Auswertung ist die Unterscheidung zwischen Fakten (positiven”Grundliteralen) und Regeln wesentlich: Die Fakten werden in der Datenbank abgespeichert,während die Regeln benutzt werden, um neue Fakten abzuleiten. Bei deduktivenDatenbanken geht man normalerweise davon aus, daß wesentlich mehr Fakten als Regelnzu verwalten sind.Sei also ¯Φ unterteilt in Fakten Φ F und Regeln Φ R . Man berechnet nun iterativ dieMenge ˆΦ der implizierten Fakten, beginnend mit ˆΦ 0 := Φ F . Die Hornklausel-Regelnkönnen in der Formλ 0 ← λ 1 ∧ · · · ∧ λ n

128 KAPITEL 6. BERECHNUNG VON ANTWORTENgeschrieben werden, wobei alle λ j positive Literale sind. Eine solche Regel wird angewendet,indem für die ”Rumpf-Literale“ λ 1 , . . . , λ n passende Fakten aus ˆΦ i−1 eingesetztwerden, und dann das entsprechende Faktum für das ”Kopf-Literal“ λ 0 in ˆΦ i eingetragenwird:ˆΦ i := ˆΦ i−1 ∪ { λ 0 θ ∣ ∣ es gibt λ 0 ← λ 1 ∧ · · · ∧ λ n ∈ Φ R und λ 1 θ, . . . , λ n θ ∈ ˆΦ i−1}.Ein Beispiel wäre etwa:p(a)✎ ↑p(X) ← q 1 (X) ∧ q 2 (X, Y ).✍↑ ↑q 1 (a) q 2 (a, b)Eine Implementierung mit Datenbank-Techniken würde natürlich die Menge aller mitdieser Regel aus ˆΦ i−1 ableitbaren Fakten in einem Schritt berechnen.Die Berechnung der ”direkt implizierten Fakten“ wird nun solange iteriert, bis sichnichts mehr ändert (ˆΦ i = ˆΦ i−1 ). Dann sei ˆΦ := ˆΦ i . Aufgrund der Bereichsbeschränkungentstehen bei dieser Berechnung auch nur Fakten (also nicht etwa Literale mit Variablen),so daß ˆΦ sehr einfach in der Datenbank repräsentiert werden kann. Außerdem enthaltendiese Fakten nur in Φ vorkommende Konstanten, so daß die Terminierung sichergestelltist.Es gibt nun noch viele Feinheiten oder Optimierungen bei der Berechnung, die hiernur kurz angedeutet werden können. Für eine genauere Behandlung sei auf [BR86, Ull88,Ull89, CGT90, Gog90] verwiesen.Zunächst wird die Berechnung der Fakten, die auf einer Iterationsstufe hinzu gekommensind, auf jeder folgenden Stufe wiederholt, denn die verwendeten Rumpf-Literale sindauch in den späteren ˆΦ i enthalten. Aus diesem Grund heißt die beschriebene Methodedie ”naive Auswertung“. Ziel der ”semi-naiven Auswertung“ ist es nun, nur neue Fakten,d.h. ˆΦ i − ˆΦ i−1 zu berechnen. Dafür darf natürlich nicht diese Mengendifferenz verwendetwerden, dann hätte man ja nichts gewonnen. Eine einfache Verbesserung ist es, nacheinanderfür jedes Rumpf-Literal nur in ˆΦ i−1 neu hinzugekommene Fakten einzusetzen. Diesliefert jedoch nicht notwendigerweise nur neue Fakten (vgl. z.B. p(X) ← p(X)), und fürdie anderen Literale werden immer noch Berechnungen wiederholt.Im wesentlichen wird die Berechnung von ˆΦ i für jedes Prädikat oder sogar jede Regeleinzeln durchgeführt. Es ist natürlich nicht nötig, alle Regeln nacheinander immer wiederzu iterieren. Um eine passende Reihenfolge festzulegen, konstruiert man den Abhängigkeitsgraphender Regeln, wobei eine Regel der Formp(. . .) ← q 1 (. . .) ∧ · · · ∧ q n (. . .)von jeder Regel abhängig ist, bei der ein q i im Kopf vorkommt. Im einfachsten Falleiner nicht-rekursiven Regelmenge braucht man jede Regel nur ein einziges Mal anzuwenden,wenn man eine topologische Sortierung dieses Graphen verwendet. Bei Rekursionenbraucht man entsprechend nur die an einem Zyklus beteiligten Regeln zu iterieren.☞✌

6.1. BOTTOM-UP 129Einfache HyperresolutionZiel ist es nun, diese Methode auf beliebige Klauseln zu verallgemeinern. Dies liefertgerade die Hyperresolution oder semantische Resolution (zur Vereinfachung wird hierzunächst eine Optimierung weggelassen, s.u.).Die Grundidee der Verallgemeinerung ist, anstelle der Fakten nun ”disjunktive Fakten“zu verwenden, d.h. positive Grundklauseln. Der Ableitungsschritt wird wie bisherdurchgeführt, indem für die Rumpf-Literale Fakten eingesetzt werden, allerdings hat jedesFaktum jetzt möglicherweise einen ”disjunktiven Kontext“. Dieser Kontext wird einfachan die Disjunktion angehängt, die sich aus den Kopf-Literalen ergibt:✎✍p(a) ∨ p(b) ∨ r(c) ✛↑ ↑☞p(X) ∨ p(Y ) ← q 1 (X) ∧ q 2 (X, Y ).✌↑ ↑q 1 (a) q 2 (a, b) ∨ r(c)Die folgende Definition beschreibt die Umrechnung von der Darstellung einer Klausel alsMenge (Disjunktion) von Literalen in Regeln, wie sie von der Hyperresolution verwendetwerden. Formal ist die Definition etwas aufwendiger, weil nun auch die verschiedenenArten von Prädikatsymbolen zu berücksichtigen sind. Man beachte, daß sich die Begriffe” positives Literal“ und negatives Literal“ auf die Darstellung als Disjunktion beziehen”(wie in Kapitel 2 definiert):Definition 6.1.3 (Klassifizierung von Literalen):• Ein auswertbares Literal ist ein Literal mit einem Datentyp-Prädikat p ∈ P D .• Ein Kopf-Literal ist ein nicht auswertbares Literal, und zwar entweder- ein positives Literal, für dessen Prädikat β(p) = + oder β(p) = ∗ gilt, oder- ein negatives Literal mit negativ bindendem Prädikat (β(p) = −).Ein variablenfreies Kopf-Literal wird auch Faktum genannt.• Ein Rumpf-Literal ist ein nicht auswertbares Literal, das kein Kopf-Literal ist.Definition 6.1.4 (Fakten und Regeln):• disjunktives Faktum, wenn sie nur aus Fakten besteht.• Regel, wenn sie mindestens ein Rumpf-Literal enthält.Eine bereichsbeschränkte Klausel heißtMan beachte, daß diese Unterscheidung vollständig ist, weil eine bereichsbeschränkteKlausel mit Variablen mindestens ein Rumpf-Literal enthalten muß (Kopf-Literale wirkennicht bindend). Außer dieser Unterscheidung in Klauseln mit und ohne Variablenist aber noch ein zweiter Aspekt wichtig: Die zu definierende Resolventenmethode wirdgerade Fakten und Regeln miteinander resolvieren, aber niemals Fakten mit Fakten oderRegeln mit Regeln. Diese Zweiteilung der Klauseln funktioniert dann, wenn es eine In-

130 KAPITEL 6. BERECHNUNG VON ANTWORTENterpretation I gibt, in der die Fakten falsch und die Regeln wahr sind [CL73] (deswegenheißt eine solche Resolventenmethode auch semantische Resolution“).”Aufgrund der Einschränkung, daß Fakten keine Variablen enthalten sollen, hat manbei positiv und negativ bindenden Prädikaten keine Wahl: I muß die positiv bindendenPrädikate als falsch und die negativ bindenden als wahr interpretieren (wenn man beliebigeAxiomenmengen Φ zuläßt). Bei den nicht bindenden Prädikaten könnte dagegen einebeliebige Interpretation gewählt werden. Oben wurden sie zur technischen Vereinfachungwie positiv bindende Prädikate behandelt, aber in speziellen Fällen könnte eine andereWahl günstiger sein. Ziel sollte es dabei sein, möglichst viele der vorgegebenen Axiome Φals Fakten behandeln zu können, und nur wenige Regeln zu haben.Datentyp-Prädikate können bei der Regelanwendung gleich ausgewertet werden, daihre Interpretation durch I D eindeutig bestimmt ist und die Variablen anderweitig gebundensind.Definition 6.1.5 (Einfache Hyperresolution): Sei Φ F eine Menge von disjunktivenFakten und Φ R eine Menge von Regeln. Ein disjunktives Faktum ˆϕ heißt aus Φ F ∪ Φ Rmit einfacher Hyperresolution direkt ableitbar, wenn es• eine Regel λ H 1 ∨· · ·∨λ H n ← λ B 1 ∧· · ·∧λ B m ∧λ E 1 ∧· · ·∧λ E m ′ ∈ Φ R mit Kopf-Literalen λ H ,Rumpf-Literalen ∼ λ B und auswertbaren Literalen ∼ λ E• eine Grundsubstitution θ für diese Regel, und• disjunktive Fakten der Form λ B i θ ∨ λ C i,1 ∨ · · · ∨ λ C i,k i∈ Φ F (i = 1, . . . , m)gibt, so daß• I D |= λ E j θ für j = 1, . . . , m ′ , und• ˆϕ = λ H 1 θ ∨ · · · ∨ λ H n θ ∨ λ C 1,1 ∨ · · · ∨ λ C 1,k 1∨ · · · ∨ λ C m,1 ∨ · · · ∨ λ C m,k m.Definition 6.1.6 (ableitbar): Ein disjunktives Faktum ˆϕ heißt aus Φ F ∪ Φ R miteinfacher Hyperresolution ableitbar, wenn für ˆΦ 0 := Φ F ,ˆΦ i := ˆΦ i−1 ∪ { ˆϕ ′ | ˆϕ ′ ist aus ˆΦ i−1 ∪ Φ R direkt ableitbar}und ein i ∈ IN gilt: ˆϕ ∈ ˆΦ i .Es ist jetzt die Korrektheit und Vollständigkeit dieser Resolventenmethode zu zeigen. ImGegensatz zur üblichen Vollständigkeitsaussage [CL73], die sich nur auf die leere Klauselbezieht, wird hier die Vollständigkeit für minimale disjunktive Fakten benötigt.Es sei noch daran erinnert, daß bei eingebauten Prädikaten aus P D natürlich auchbei der logischen Folgerung nur solche Modelle betrachtet werden, die mit I D kompatibelsind. So gilt etwa ∅ ⊢ (2 = 1 + 1).Lemma 6.1.7:Ist ˆϕ mit einfacher Hyperresolution aus ¯Φ ableitbar, so gilt ¯Φ ⊢ ˆϕ.Beweis: Dies ergibt sich ganz direkt mit vollständiger Induktion über der Länge der Ableitung,d.h. über dem Index i von ˆΦ i . Hat man ein Modell der verwendeten disjunktiven Fakten, dasaußerdem die Regel und die auswertbaren Literale erfüllt, so muß dieses Modell natürlich auchdas abgeleitete disjunktive Faktum erfüllen.✷

6.1. BOTTOM-UP 131Lemma 6.1.8: Sei ˆϕ ein disjunktives Faktum mit ¯Φ ⊢ ˆϕ, das minimal mit dieserEigenschaft ist (d.h. keine echte Teildisjunktion folgt auch aus ¯Φ). Dann ist ˆϕ aus ¯Φ miteinfacher Hyperresolution ableitbar.Beweis: Zunächst wird die Behauptung für Mengen ¯Φ von Grundklauseln gezeigt, und zwarmit vollständiger Induktion über der Anzahl n der vorkommenden Grundatome.Für n = 0 ist die Behauptung trivial, ˆϕ kann höchstens die leere Klausel sein, und wegen¯Φ ⊢ ˆϕ muß ¯Φ die leere Klausel enthalten (¯Φ kann ja keine anderen Klauseln enthalten).Im Induktionsschritt kann nun angenommen werden, daß die Behauptung für alle ¯Φ und ˆϕmit weniger als n Grundatomen bewiesen ist.Sei ˆϕ zunächst nicht leer. Dann sei λ 0 eines der Grundliterale von ˆϕ und ˆϕ ′ sei der Rest.Weiterhin entstehe ¯Φ ′ aus ¯Φ, indem λ 0 aus dem Kopf jeder Klausel gestrichen wird und außerdemjede Klausel gestrichen wird, die λ 0 im Rumpf enthält (dies entspricht gerade einer Interpretationvon λ 0 als falsch). Nach Konstruktion gilt:• ¯Φ ′ und ˆϕ ′ enthalten mindestens ein Grundliteral weniger als ¯Φ und ˆϕ.• Es gilt ¯Φ ′ ⊢ ˆϕ ′ . Wäre dies nicht der Fall, gäbe es also ein Modell I ′ von ¯Φ ′ mit I ′ ̸|= ˆϕ ′ ,so könnte man daraus ein Modell I von ¯Φ mit I ̸|= ˆϕ machen, indem man λ 0 als falschinterpretiert. (Weil λ 0 in ˆϕ vorkommt, ist es kein auswertbares Literal, sonst wäre seineInterpretation ja vorgeschrieben.)• ˆϕ ′ ist noch minimal: Sei ˆϕ ′′ eine echte Teildisjunktion von ˆϕ ′ . Weil ˆϕ minimal ist, gibt esein Modell I von ¯Φ mit I ̸|= ˆϕ ′′ ∨ λ 0 . In diesem Modell ist λ 0 natürlich falsch, also ist Iauch Modell von ¯Φ ′ .Damit ist die Induktionsannahme anwendbar, und man erhält, daß ˆϕ ′ aus ¯Φ ′ mit einfacherHyperresolution ableitbar ist. Dieselben Ableitungsschritte kann man nun mit den Regeln von ¯Φnachvollziehen, es kann dabei höchstens das zusätzliche Kopf-Literal λ 0 hinzukommen, das aberim weiteren Verlauf der Ableitung nicht stört. Nach der Konstruktion konnten ja beim Beweisvon ˆϕ ′ keine Regeln verwendet werden, die λ 0 im Rumpf enthalten.Im zweiten Teil des Induktionsschrittes ist nun der Fall zu behandeln, daß ˆϕ die leere Klauselist. Falls in ¯Φ nur noch auswertbare Literale vorkommen, muß wegen ¯Φ ⊢ ˆϕ der Rumpf einerder Regeln in I D erfüllt sein, so daß man sofort die leere Klausel erhält. Ansonsten sei λ 0 einbeliebiges in ¯Φ vorkommendes nicht auswertbares Grundliteral. Geht man wieder zu ¯Φ ′ wieoben konstruiert über, so gilt natürlich ¯Φ ′ ⊢ ✷ (wäre ¯Φ ′ nicht inkonsistent, so könnte man auseinem Modell I ′ sofort ein Modell I von ¯Φ machen). Trivialerweise ist ✷ auch minimal mitdieser Eigenschaft. Aus der Induktionsannahme erhält man also eine Ableitung von ✷ aus ¯Φ ′ .Führt man dieselbe Ableitung mit den Klauseln aus ¯Φ durch, so erhält man entweder ✷ oder ψ 0 .Im ersten Fall ist man fertig; im zweiten Fall betrachtet man die Klauselmenge ¯Φ ′′ , die aus ¯Φ ′entsteht, indem λ 0 aus dem Rumpf aller Klauseln gestrichen wird, und die Klauseln weggelassenwerden, die λ 0 im Kopf enthalten (dies entspricht der Interpretation von λ 0 als wahr). Wiederliefert die Induktionsannahme eine Ableitung von ✷ aus ¯Φ ′′ . Will man diese Ableitung mit denKlauseln aus ¯Φ nachvollziehen, so braucht man möglicherweise das Rumpf-Literal λ 0 . Dies istjedoch nach der vorangegangenen Überlegung aus ¯Φ ableitbar.Damit ist der Induktionsschritt vollständig. Die Behauptung ist nun also für alle endlichenMengen ¯Φ von Grundklauseln bewiesen. Aufgrund der Bereichsbeschränkung werden bei jedemAbleitungsschritt alle vorkommenden Variablen an Konstanten gebunden, die explizit in ¯Φ

132 KAPITEL 6. BERECHNUNG VON ANTWORTENvorkommen. Daher sind genau dieselben Ableitungsschritte möglich, wenn man ¯Φ durch dieMenge seiner Grundbeispiele mit den endlich vielen vorkommenden Konstanten ersetzt. Fürdiese Menge wurde aber oben die Vollständigkeit bewiesen.✷HyperresolutionWenn man die disjunktiven Fakten in eine Regel einsetzt, so spaltet man sie in das resolvierteFaktum und den disjunktiven Kontext auf. Diese Trennung ist aber im allgemeinennicht eindeutig bestimmt. Im schlimmsten Fall paßt jedes der Literale des disjunktivenFaktums auf das betrachtete Rumpf-Literal. Zumindest muß man aber durch einen Vergleichfeststellen, daß dies nicht der Fall ist. Die Anzahl der erzeugten disjunktiven Faktenkann auf diese Weise sogar exponentiell wachsen, wie folgendes Beispiel zeigt:¯Φ := {p 1 ∨ · · · ∨ p n , q 1 ← p 1 , . . . , q n ← p n }.Hier sind die 2 n disjunktiven Fakten der Form λ 1 ∨ · · · ∨ λ n mit λ ∈ ∈ {p i , q i } ableitbar.Es wäre also sehr nützlich, wenn man den disjunktiven Fakten ansehen könnte, was daseigentlich aktive Literal und was der Kontext ist.In [CL73] ist dazu eine Ordnung auf den Prädikaten vorgesehen, und es wird nurerlaubt, ein Literal mit minimalem Prädikat innerhalb des disjunktiven Faktums für einRumpf-Literal einzusetzten. Weil ein disjunktives Faktum häufig mehrere Literale mitgleichem Prädikat enthält, ist dadurch das ”aktive Literal“ allerdings noch nicht eindeutigbestimmt.Da hier aber nur bereichsbeschränkte Klauseln verwendet werden, ist es möglich,statt dessen eine Ordnung auf den Grundliteralen einzusetzen (etwa die lexikographischeReihenfolge). Ist diese Ordnung linear, so kann immer nur ein Literal eines disjunktivenFaktums an der Ableitung teilnehmen; die Aufspaltung in dieses ”aktive Literal“ und denKontext ist also eindeutig.Definition 6.1.9 (Hyperresolution): Sei Φ F eine Menge von disjunktiven Fakten, Φ Reine Menge von Regeln und < eine Ordnung auf den Fakten.Die Hyperresolution unterscheidet sich von der einfachen Hyperresolution (Definition6.1.5) nur dadurch, daß für die Ableitbarkeit eines disjunktiven Faktums zusätzlichfolgende Bedingung erfüllt sein muß:• In den verwendeten disjunktiven Faktenλ B i θ ∨ λ C i,1 ∨ · · · ∨ λ C i,k iist λ B i θ < λ C i,j für i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , k i .Natürlich muß die Vollständigkeitsaussage jetzt etwas abgeschwächt werden. Im obigenBeispiel¯Φ := {p 1 ∨ · · · ∨ p n , q 1 ← p 1 , . . . , q n ← p n }

6.1. BOTTOM-UP 133folgen ja wirklich die 2 n disjunktiven Fakten, mit der Optimierung folgen aber nur nochDisjunktionen der Formq 1 ∨ · · · ∨ q i ∨ p i+1 ∨ · · · ∨ p n(wenn die p i kleiner als die q j sind). Tatsächlich braucht man für die Anfragebearbeitungnur solche Disjunktionen, die nur aus Literalen mit den Prädikaten answer und defaultbestehen. Diese Prädikate kommen in Φ nur positiv (answer) bzw. negativ vor (default).Wenn sie in einem disjunktiven Faktum enthalten sind, können sie also nie wieder wegresolviertwerden. Daher liegt es nahe, sie gerade als maximal in der Ordnung einzustufen,also als ”am wenigsten aktive Literale“ Λ 0 . Dafür gilt folgende Vollständigkeitsaussage:Lemma 6.1.10:Seien folgende Voraussetzungen erfüllt:• Λ 0 ist eine Menge von Fakten mit: Wenn λ ∈ Λ 0 und λ < λ ′ , dann λ ′ ∈ Λ 0 (Abschlußunter >).• In den Grundbeispielen der Regeln aus ¯Φ taucht kein λ ∈ Λ 0 als Rumpf-Literal auf.• ˆϕ besteht nur aus Λ 0 -Literalen.• Es gilt Φ ⊢ ˆϕ und ˆϕ ist minimal mit dieser Eigenschaft.Dann ist ˆϕ aus ¯Φ mittels Hyperresolution ableitbar.Beweis: Der Beweis verläuft ganz analog zum Beweis von Lemma 6.1.8, es ist nur sicherzustellen,daß man die von der Induktionsannahme gelieferten Ableitungen auch mit der ursprünglichenKlauselmenge ¯Φ nachvollziehen kann.Im ersten Teil des Induktionsschrittes folgt dies direkt aus den Voraussetzungen: Da dasneue Literal λ 0 in ˆϕ vorkommt, ist es also Element von Λ 0 . Daher ist in keinem der verwendetendisjunktiven Fakten das neue Literal λ 0 das aktive Literal, es sei denn ganz zum Schluß, wennohnehin keine weiteren Ableitungsschritte mehr möglich sind (wenn λ 0 das aktive Literal ist,kann die ganze Klausel nur noch aus Λ 0 -Literalen bestehen).Im zweiten Teil des Induktionsschrittes ( ˆϕ = ✷) wähle man ein

134 KAPITEL 6. BERECHNUNG VON ANTWORTENNatürlich wird man mit einem Standard-Datenbanksystem nicht die größtmöglicheEffizienz erreichen können, an einigen Stellen sind noch etwas umständliche Formulierungennötig, die höchstens ein sehr intelligenter Optimierer geschickt auswerten könnte.Etwas besser wäre schon ein NF 2 -Datenbanksystem, wie es in [BL92] verwendet wurde.Auch dort sind aber eine ganze Reihe von Restrukturierungen nötig, von denen zu hoffenist, daß sie nicht wirklich ausgeführt werden.Im folgenden wird die ”flache“ Relationenalgebra verwendet, weil entsprechende Datenbanksystemeleichter verfügbar sind, und für Prototypen spielt die Effizienz ja nur eineuntergeordnete Rolle. Vor allem aber sind die Implementierungstechniken bekannter, sodaß man den Aufwand der verschiedenen Operationen oder auch mögliche Optimierungenbesser einschätzen kann.Der Idealfall bleibt natürlich ein Datenbanksystem, bei dem auch die unteren Schichtenan diese Anwendung angepaßt sind. Auch bei diesem Ziel ist aber das folgende Beispielnützlich, um zu sehen, wo die Standard-Techniken eingesetzt werden können.Es sei folgende typische Regel R1 gewählt:p(X, a) ∨ p(X, b) ← q 1 (X, Y ) ∧ q 2 (Y, c).Nun ist zunächst eine relationale Darstellung für ˆΦ zu wählen. Eine besonders einfacheLösung ist, nur eine einzige Tabelle zu verwenden. Es gibt natürlich eine ganze ReiheAlternativen, die im folgenden kurz angedeutet werden.DIS FACTSid pred arg1 arg2 active lit length1 q 1 a d T q 1 (a, d) 21 r a — F r(a) 22 q 1 b e T q 1 (b, e) 13 q 2 d c T q 2 (d, c) 14 q 2 e c T q 2 (e, c) 24 r e — F r(e) 2Diese Tabelle repräsentiert folgende Menge von disjunktiven Fakten:ˆΦ 0 := {q 1 (a, d) ∨ r(a), q 1 (b, e), q 2 (d, c), q 2 (e, c) ∨ r(e)}.Die Attribute bedeuten folgendes:• id: Mit diesem Attribut werden die Literale eines disjunktiven Faktums verkettet.• pred: Das Prädikat des in dem Tupel dargestellten Literals.• arg1: Das erste Argument des Literals.• arg2 : Das zweite Argument des Literals (bei Bedarf wird ein Nullwert eingetragen).• active: ”T“, falls das aktive Literal in dieser Disjunktion, ”F“ sonst.• lit: Es vereinfacht die Überprüfung der Ordnung zwischen den Literalen sowieVerbund-Bedingungen, wenn das Literal auch noch einmal als Zeichenkette vorliegt.Ansonsten ist diese Information natürlich redundant. Die Bezeichner für answer

6.1. BOTTOM-UP 135und default seien so gewählt, daß sie größer als jedes andere Prädikat eingestuftwerden.• length: Die Anzahl der Literale in der Disjunktion. Auch diese Information isteigentlich redundant.Zunächst definiert man zwei Teilanfragen für die beiden Rumpf-Literale:(BODY1 := π id:id1,arg1:X,arg2 :Y σpred=’q1 ’∧active=’T ’(DIS FACTS) )(BODY2 := π id:id1,arg1:Y σpred=’q2 ’∧active=’T ’∧arg2 =’c’(DIS FACTS) )Die Selektionen für pred und active wären natürlich überflüssig, wenn man die aktivenLiterale für jedes Prädikates in eine eigene Tabelle eintragen würde. Dies würde aberspäter zu aufwendigen Vereinigungen und Aufspaltungen führen. Die Selektion für die inder Regel auftretende Konstante c ist eine Übereinstimmung mit der klassischen ”bottomup“Methode. Auch der nun folgende Join über den gemeinsamen Variablen der Rumpf-Literale ist ”klassisch“:BODY := BODY1 ✶ BODY2 .Falls der Rumpf noch auswertbare Literale enthielte, würde hier eine entsprechende Selektioneingebaut.Nun ist die durch die Regelanwendung erzeugte Disjunktion aufzubauen. Das fängtmit der etwas mühsamen Erzeugung eines neuen Bezeichners id für die Disjunktion an. Eswerden hier einfach Identifikatoren für die Regel und die verwendeten Fakten als Stringsaneinandergehängt (◦ bezeichne die Konkatenation):BODY ′ := π ’R1 (’◦id1◦’,’◦id2 ◦’)’:new id,id1,id2 ,X (BODY ).Einfacher wäre es natürlich, wenn man eine Funktion hätte, die bei jedem Aufruf eineneue Zahl liefert (etwa in ”ORACLE“ vorhanden).Die neue Disjunktion ergibt sich nun aus den beiden Kopf-Literalen und den Kontextender beiden Rumpf-Literale:NEW := π new id:id,’p’:pred,X:arg1,’a’:arg2 ,’p(’◦X◦’,’◦’a’◦’)’:lit (BODY ′ )∪ π new id:id,’p’:pred,X:arg1,’b’:arg2 ,’p(’◦X◦’,’◦’b’◦’)’:lit (BODY ′ )(∪ π new id:id,pred,arg1,arg2 ,lit σactive=’F ’ (BODY ′ ✶ DIS FACTS) )( id1=id∪ π new id:id,pred,arg1,arg2 ,lit σactive=’F ’ (BODY ′ ✶ DIS FACTS)) .id2 =idNEWid pred arg1 arg2 litR1(1, 3) p a a p(a, a)R1(1, 3) p a b p(a, b)R1(1, 3) r a — r(a)R1(2, 4) p b a p(b, a)R1(2, 4) p b b p(b, b)R1(2, 4) r e — r(e)Die Verbunde mit dem Kontext wären natürlich nicht nötig, wenn man etwa eine NF 2 -Darstellung gewählt hätte. Dann hätte man den Kontext mit den aktiven Literalen

136 KAPITEL 6. BERECHNUNG VON ANTWORTENmitführen können. Dafür wären bei der NF 2 -Darstellung mehrere Restrukturierungennötig gewesen.Es ist jetzt noch festzustellen, welches Literal jeweils das aktive Literal ist. Außerdemist für die Eliminierung nicht-minimaler Disjunktionen die Anzahl der Literale wichtig:NEW ′ := ( γ idid,count(∗):length,min(lit):min lit (NEW )) ✶ NEW(NEW ′′ := π id,pred,arg1,arg2 ,’T ’:active,lit,length σlit=min lit (NEW ′ ) )∪ π id,pred,arg1,arg2 ,’F ’:active,lit,length(σlit≠min lit (NEW ′ ) ) .Der Operator γA C(B) entspreche dabei dem select A from B group by C“ in SQL. Man”beachte, daß die Berechnung des aktiven Literals und der Disjunktions-Länge bei einemeinmaligen Durchlauf durch die entsprechend sortierte Relation NEW vorgenommen werdenkann.Nun fehlt nur noch die Eliminierung nicht-minimaler Disjunktionen. Bei einem NF 2 -Datenbanksystem würde man einfach einen Teilmengen-Verbund verwenden. Leser, diesich mit der Implementierung und Komplexität dieser Operation auskennen, können denRest dieses Abschnittes überspringen.Bei einem relationalen Datenbanksystem kann der Teilmengenverbund mit folgendemhübschen Trick implementiert werden: Man stellt fest, wie häufig sich eine neue und einealte (oder neue) Disjunktion in einem Literal überlappen (mit dem Verbund über lit).Nun kennt man außerdem die Längen der beiden Disjunktionen. Stimmt die Anzahlder gemeinsamen Literale mit einer dieser beiden Längen überein, so ist die betreffendeDisjunktion Teildisjunktion der anderen.DIS FACTS := DIS FACTS ∪ NEW ′′OVERLAP := π id,lit,length (DIS FACTS) ✶ π id:id ′ ,lit,length:length ′(NEW ′′ )OVERLAP ′ := γ id,id ′id,id ′ ,length,length ′ ,count(∗):common (OVERLAP)Im Beispiel werden folgende Überlappungen festgestellt:OVERLAP ′id id ′ length length ′ common1 R1(1, 3) 2 3 14 R1(2, 4) 2 3 1Die Löschung nicht-minimaler Disjunktionen funktioniert dann folgendermaßen (im Beispielsind keine Disjunktionen betroffen):(DELETE := π id σcommon=length ′ ∧common

6.1. BOTTOM-UP 137tionsstufe nichts mehr geändert hat. Dieses Verfahren kann natürlich auf viele Artenverbessert werden; hier sollen einige kurze Andeutungen genügen.Zunächst ist natürlich auch hier eine semi-naive Auswertung wünschenswert, mindestenssollten nicht für alle Rumpf-Literale nur alte Fakten eingesetzt werden.Die Anordnung der Regeln mit einem Abhängigkeitsgraphen ist deutlich schwierigerals im Fall der Hornklauseln. Das Problem ist, daß man aufgrund der disjunktivenKontexte einer Regel nicht einfach ansehen kann, welches Prädikat das abgeleitete aktiveLiteral haben wird. Hat man etwa die Regelr(X) ← p(X)und setzt hier das disjunktive Faktum p(a) ∨ q(a) ein, so entsteht das disjunktive Faktumq(a) ∨ r(a). Das aktive Literal ist hier q(a) und entspricht damit nicht dem Kopf-Literal der verwendeten Regel. Man braucht also eine Analyse, welche Prädikate zusammenmit welchen anderen Prädikaten in disjunktiven Fakten vorkommen können.Die Ordnung auf den Grundliteralen muß nicht notwendigerweise die lexikographischeOrdnung sein, man kann sie vielmehr als ein Mittel zur Optimierung einsetzen. Hat manetwa die Regelp(Y ) ∨ q(X) ← p(X) ∧ r(X, Y )zusammen mit den Faktenp(1), r(1, 2), . . . , r(99, 100),so werden lange Disjunktionen der Form p(i) ∨ q(1) ∨ · · · ∨ q(i − 1) aufgebaut. Mit denzusätzlichen Regeln answer ← p(100) und ← q(X) schrumpfen sie dann wieder zu derAntwortklausel“ answer. Wählt man nun die Ordnung”q(. . .) < p(. . .) < r(. . .) < answer,so werden immer nacheinander Disjunktionen der Form p(i) ∨ q(i − 1) und Fakten derForm p(i) erzeugt. Auf diese Weise spart man Speicherplatz, die Tests auf schon vorhandeneTeilklauseln werden schneller, und man hat man genauere Information über dieForm der erzeugten disjunktiven Fakten (ihre Länge ist bekannt).Am effizientesten wäre es natürlich, die beiden Regeln zu kombinieren:p(Y ) ← p(X) ∧ r(X, Y ).Diese Technik ist in der logischen Programmierung als ”unfolding“ bekannt. Man kannsich hier nicht einfach auf den Standpunkt stellen, daß solche Umformungen schon vomBenutzer/Datenbankentwerfer durchgeführt werden sollen, da ihre Nützlichkeit im allgemeinenvon der Anfrage abhängt (das unterdrückte Zwischenergebnis darf nur an einerbzw. wenigen Stellen weiterverwendet werden). Auch die Umkehrung (Eliminierung vongleichen Teilausdrücken durch neue Prädikate) kann sich auszahlen.Potentielle AntwortenNachdem nun alle Folgerungen ˆΦ aus der Axiomenmenge ¯Φ berechnet sind, beginnt die

138 KAPITEL 6. BERECHNUNG VON ANTWORTENzweite Phase der Anfrageauswertung: Es sind jetzt die Antworten unter Berücksichtigungder Defaults zu erzeugen.Zur Vereinfachung wird hier davon ausgegangen, daß keine Prioritäten zwischen denDefaults spezifiziert sind. Eine Verallgemeinerung auf Prioritätsstufen kann mit einerIteration über den Stufen vorgenommen werden [BG89, BL92].Um zu sehen, welche Vorarbeit die erste Phase geleistet hat, sei hier noch ein Beispielangegeben:Beispiel 6.1.11:Seien folgende Axiome gegeben:Φ := {p(a), p(b) ∨ p(c), ¬p(d), q(a), q(b), q(c), q(d), q(e)}.Als Default sei ¬p(X) spezifiziert und die Anfrage sei ¬p(X) ∧ q(X). Die Normalisierungfügt folgende Regeln zu der Axiomenmenge hinzu:¯Φ := Φ ∪ {¬p(X) ← default(X), answer(X) ← ¬p(X) ∧ q(X)}.Die erste Regel wird von der Hyperresolution gerade umgekehrt behandelt, nämlich als¬default(X) ← p(X),denn default ist negativ bindend, ¬default(X) ist also ein Kopf-Literal. Die zweite Regelist folgendermaßen in Kopf und Rumpf eingeteilt:answer(X) ∨ p(X) ← q(X).Schließlich enthält Φ selbst noch eine dritte Regel, nämlich← p(d).Eine Anwendung der ersten Regel ergibt folgende disjunktiven Fakten:¬default(a),¬default(b) ∨ p(c).Die zweite Regel liefert:answer(a) ∨ p(a),answer(b) ∨ p(b),answer(c) ∨ p(c),answer(d) ∨ p(d),answer(e) ∨ p(e).Die dritte Regel erzeugt nun folgendes Faktum:answer(d).Die Disjunktion answer(d) ∨ p(d) ist jetzt nicht mehr minimal und wird gelöscht. Dieerste Regel muß noch einmal angewendet werden und liefert:¬default(b) ∨ ¬default(c),answer(a) ∨ ¬default(a),answer(b) ∨ ¬default(b),answer(c) ∨ ¬default(c),answer(e) ∨ ¬default(e).

6.1. BOTTOM-UP 139Die Disjunktion answer(a)∨¬default(a) ist nicht minimal (¬default(a) ist schon bekannt),also wird auch sie gelöscht. Eine weitere Anwendung der Regeln liefert keine neuendisjunktiven Fakten.✷Von den erzeugten disjunktiven Fakten sind natürlich solche am interessantesten, die nurdas Prädikat answer enthalten. Solche Disjunktionen entsprechen disjunktiven Antworten,die schon logisch korrekt sind, also ohne Verwendung von Defaults ableitbar sind. Indem Beispiel ist das nur answer(d), und tatsächlich ist 〈X ⊳ d〉 eine korrekte Antwort.Nützlich sind aber auch Disjunktionen, die answer und default enthalten. Sie entsprechen”potentiellen Antworten“, die von der Anwendbarkeit der betreffenden Defaultsabhängen:answer(b) ← default(b), answer(c) ← default(c), answer(e) ← default(e).Definition 6.1.12 (Begründung): Eine Menge von Default-Ausprägungen D ⊆ ∆ ∗heißt Begründung für eine Formel ψ ′ genau dann, wenn• Φ ∪ D ⊢ ψ ′ .• Φ ∪ D ist konsistent.Definition 6.1.13 (Potentielle Antwort): Eine potentielle Antwort ist eine Mengevon Substitutionen {θ 1 , . . . , θ k } für die Variablen einer Anfrage ψ, so daß es für die Formelψθ 1 ∨ · · · ∨ ψθ keine Begründung D ⊆ ∆ ∗ gibt.Aus dieser Definition von potentieller Antwort folgt nun sofort, daß eine potentielle Antwortim leichtgläubigen Sinne korrekt ist:Lemma 6.1.14:• Ist {θ 1 , . . . , θ k } eine potentielle Antwort mit Begründung D, so gibt es eine maximale∆-Extension E von Φ mit Φ ∪ E ⊢ ψθ 1 ∨ · · · ∨ ψθ k .• Gilt umgekehrt Φ ∪ E ⊢ ψθ 1 ∨ · · · ∨ ψθ k für eine maximale ∆-Extension E von Φ,so ist {θ 1 , . . . , θ k } eine potentielle Antwort mit Begründung E.Beweis:• Nach Lemma 5.2.14 kann D zu einer maximalen ∆-Extension E erweitert werden. Dannfolgt die Behauptung aus der Monotonie der logischen Folgerung ⊢.• Die Umkehrung folgt direkt aus der Definition.Im folgenden ist nun die Beziehung zwischen potentiellen Antworten und den Disjunktionenaus answer- und default-Literalen nachzuweisen:✷

140 KAPITEL 6. BERECHNUNG VON ANTWORTENDefinition 6.1.15 (Antwortklausel): Eine Antwortklausel ist eine minimale Disjunktionder Formanswer[θ 1 ] ∨ · · · ∨ answer[θ k ] ∨ ¬default[δ 1 ] ∨ · · · ∨ ¬default[δ m ],die aus ¯Φ folgt (k > 0, m ≥ 0).Lemma 6.1.16: Ist answer[θ 1 ] ∨ · · · ∨ answer[θ k ] ∨ ¬default[δ 1 ] ∨ · · · ∨ ¬default[δ m ] eineAntwortklausel, so ist {θ 1 , . . . , θ k } eine potentielle Antwort mit Begründung {δ 1 , . . . , δ m }.Beweis: Sei D := {δ 1 , . . . , δ m }. Angenommen, {θ 1 , . . . , θ k } wäre keine potentielle Antwortmit dieser Begründung. Dann müßte eine der beiden Bedingungen aus Definition 6.1.12 verletztsein.Gilt Φ ∪ D ⊬ ψθ 1 ∨ · · · ∨ ψθ k , so gibt es also ein Σ-Modell I von Φ ∪ D mit I ̸|= ψθ i .Für die Interpretation Ī nach Lemma 6.1.2 gilt nun: Ī |= Φ, Ī ̸|= answer[θ i ] (i = 1, . . . , k).Ī |= default[δ j ] (j = 1, . . . , m), Das bedeutet aberΦ ⊬ answer[θ 1 ] ∨ · · · ∨ answer[θ k ] ∨ ¬default[δ 1 ] ∨ · · · ∨ ¬default[δ m ]im Widerspruch zur Voraussetzung.Die zweite Bedingung an eine potentielle Antwort ist, daß ihre Begründung D konsistentmit Φ ist. Wäre dies nicht erfüllt, so würde schon¯Φ ⊢ ¬default[δ 1 ] ∨ · · · ∨ ¬default[δ m ]gelten, denn andernfalls müßte es ein ¯Σ-Modell Ī von ¯Φ geben mitĪ ̸|= ¬default[δ 1 ] ∨ · · · ∨ ¬default[δ m ],d.h. Ī |= default[δ i] (i = 1, . . . , k), dies liefert aber nach Lemma 6.1.1 ein Modell I von Φ∪D. Daalso schon die echte Teildisjunktion aus den default-Literalen aus ¯Φ folgt, ist die Antwortklauselnicht minimal.✷Lemma 6.1.17: Sei {θ 1 , . . . , θ k } eine potentielle Antwort mit Begründung {δ 1 , . . . , δ n }und minimal in dem Sinn, daß keine der beiden Mengen verkleinert werden kann, ohnedie andere zu vergrößern. Dann istanswer[θ 1 ] ∨ · · · ∨ answer[θ k ] ∨ ¬default[δ 1 ] ∨ · · · ∨ ¬default[δ n ]eine Antwortklausel.Beweis:Zunächst ist zu zeigen:¯Φ ⊢ answer[θ 1 ] ∨ · · · ∨ answer[θ k ] ∨ ¬default[δ 1 ] ∨ · · · ∨ ¬default[δ n ].Wäre dies nicht der Fall, so gäbe es ein Modell Ī von ¯Φ mit Ī ̸|= answer[θ i] (i = 1, . . . , m) undĪ |= default[δ j ] (j = 1, . . . , k). Hierzu erhält man nach Lemma 6.1.1 ein Σ-Herbrandmodell Ivon Φ mit I ̸|= ψθ i und I |= δ j . Also istΦ ∪ {δ 1 , . . . , δ n } ⊢ ψθ 1 ∨ · · · ∨ ψθ mnicht erfüllt.Nun ist noch die Minimalität der Antwortklausel zu zeigen. Würde eine echte Teildisjunktionebenfalls aus ¯Φ folgen, so würde die nach Lemma 6.1.16 konstruierte potentielle Antwort dievorausgesetzte Minimalität von ( {θ 1 , . . . , θ k }, {δ 1 , . . . , δ n } ) widerlegen. (Die Teildisjunktion mußnoch mindestens ein answer-Literal enthalten, da Φ ∪ {δ 1 , . . . , δ n } konsistent ist.)✷

6.1. BOTTOM-UP 141Aus den in der ersten Phase der Anfrageauswertung berechneten Antwortklauseln erhältman also alle minimalen Paare von potentieller Antwort und Begründung. Man interessiertsich ja auch nur für minimale Antworten, und eine Begründung ist natürlich umsoeinfacher zu akzeptieren, je weniger Defaults sie enthält. In diesem Sinne ist die Berechnungder potentiellen Antworten also vollständig.Beispiel 6.1.18:answer(b) ← default(b),answer(c) ← default(c),answer(d),answer(e) ← default(e).In Beispiel 6.1.11 wurden folgende Antwortklauseln berechnet:Die potentielle Antwort 〈X ⊳ d〉 hat also die Begründung ∅, d.h. es gilt Φ ⊢ ψ〈X ⊳ d〉.Die anderen potentiellen Antworten hängen von jeweils einem Default ab, so gilt etwaΦ ∪ {¬p(b)} ⊢ ψ〈X ⊳ b〉.Die vier Antworten 〈X ⊳ b〉, 〈X ⊳ c〉, 〈X ⊳ d〉 und 〈X ⊳ e〉 wären alle im leichtgläubigenSinn korrekt, allerdings basieren 〈X ⊳ b〉 und 〈X ⊳ c〉 auf unterschiedlichen Extensionen,nämlichE 1 := {¬p(b), ¬p(d), ¬p(e)} und E 2 := {¬p(c), ¬p(d), ¬p(e)}.Der leichtgläubige Ansatz wird hier nicht weiter verfolgt, da er ja nicht unter Konjunktionabgeschlossen ist (siehe Kapitel 2).✷Konflikte zwischen DefaultsBei der ”minimale Modelle“-Semantik und der ”vorsichtigen CWA“ sind die Begründungenjetzt noch genauer zu überprüfen. Hierzu ist es nützlich, die maximalen Extensionenzu betrachten, die von einer Begründung ” überdeckt“ werden:Definition 6.1.19 (Überdeckte Extensionen):|D| := {E | E ist maximale Extension mit D ⊆ E}die Menge der überdeckten Extensionen.Für D ⊆ ∆ ∗ seiBeispiel 6.1.20: Im obigen Beispiel ist|{p(b)}| = {E 1 }, |{p(c)}| = {E 2 }, |{p(e)}| = {E 1 , E 2 }.Natürlich gilt auch für die Begründung ∅ von 〈X ⊳ d〉, daß |∅| = {E 1 , E 2 }.✷Besonders nützlich sind Begründungen, die alle maximalen Extensionen überdecken: indiesem Fall sind die entsprechenden Defaults in jeder Extension und damit in ihremSchnitt enthalten. Dies erlaubt gerade die Berechnung von Antworten bezüglich dervorsichtigen CWA:

142 KAPITEL 6. BERECHNUNG VON ANTWORTENLemma 6.1.21: Sei D eine Begründung für die potentielle Antwort {θ 1 , . . . , θ k }, so daß|D| die Menge aller maximalen ∆-Extensionen von Φ ist. Dann gilt:cwa ∆ (Φ) ⊢ ψθ 1 ∨ · · · ∨ ψθ k .Beweis: Aus der Definition der vorsichtigen CWA folgt direkt: Φ ∪ D ⊆ cwa ∆ (Φ). DaaußerdemΦ ∪ D ⊢ ψθ 1 ∨ · · · ∨ ψθ k ,folgt die Behauptung sofort aus der Monotonie von ⊢.✷Es fehlt jetzt also nur noch eine Möglichkeit, zu überprüfen, ob eine Begründung alleExtensionen überdeckt. Ein konstruktiver Nachweis, daß dies nicht der Fall ist, bestehtin der Angabe nicht überdeckter Extensionen mit einer ”widersprechenden Begründung“:Definition 6.1.22 (Widersprechende Begründung): Sei D := {δ 1 , . . . , δ m } eineMenge von Default-Ausprägungen. Eine widersprechende Begründung zu D ist eineBegründung ˆD für ¬δ 1 ∨ · · · ∨ ¬δ m .Lemma 6.1.23:Sei ˆD eine widersprechende Begründung zu D. Dann gilt:• |D| ∩ | ˆD| = ∅ (die Mengen der überdeckten Extensionen sind disjunkt),• | ˆD| ≠ ∅.Beweis:• Da ˆD eine widersprechende Begründung zu D ist, ist Φ ∪ ˆD ∪ D inkonsistent, also kannkeine maximale Extension E beide Mengen umfassen, denn Φ ∪ E ist definitionsgemäßkonsistent.• Dies folgt aus der Konsistenz von Φ ∪ ˆD mit Lemma 5.2.14.Lemma 6.1.24: Es gibt eine widersprechende Begründung ˆD zu D ⊆ ∆ ∗ genau dann,wenn D nicht alle maximalen Extensionen überdeckt.Beweis:• ”=⇒ “: Gibt es eine widersprechende Begründung, so folgt direkt aus Lemma 6.1.23: Esgibt E ∈ | ˆD| und für solche E gilt E ∉ |D|.• ⇐= “: Gibt es eine maximale Extension E mit E ∉ |D|, so ist E automatisch eine widersprechendeBegründung. (Da die zugrundeliegende Signatur endlich ist, ist E natürlich”auch endlich. Man könnte sonst aber auch leicht mit dem Kompaktheitssatz eine endlicheTeilmenge ˆD ⊆ E konstruieren, so daß Φ ∪ ˆD ∪ D inkonsistent ist.)✷Widersprechende Begründungen kann man nun leicht aus den ”Konflikten“ zwischen Defaultskonstruieren, die man in der ersten Phase der Anfrageauswertung berechnet hat:Definition 6.1.25 (Konflikt): Ein Konflikt Ω ⊆ ∆ ∗ ist eine minimale Menge vonDefault-Ausprägungen, so daß Φ ∪ Ω inkonsistent ist.✷

6.1. BOTTOM-UP 143Beispiel 6.1.26: In Beispiel 6.1.11 gibt es zwei Konflikte: {¬p(a)} und {¬p(b), ¬p(c)},entsprechend den beiden Formeln p(a) und p(b) ∨ p(c) in Φ. Dies bedeutet, daß der Default¬p(a) sicher nicht angenommen werden kann, während die Defaults ¬p(b) und ¬p(c)nur nicht zusammen angenommen werden können.✷Lemma 6.1.27:Eine Menge Ω = {δ 1 , . . . , δ m } ⊆ ∆ ∗ ist genau dann ein Konflikt, wenn¬default[δ 1 ] ∨ · · · ∨ ¬default[δ m ]ein minimales, von ¯Φ impliziertes disjunktives Faktum ist.Beweis: Es reicht, zu zeigen, daß Φ ∪ {δ 1 , . . . , δ m } genau dann inkonsistent ist, wenn¯Φ ⊢ ¬default[δ 1 ] ∨ · · · ∨ ¬default[δ m ]. Die beiden Minimalitätsforderungen entsprechen sichdann gerade.• Sei also Φ ∪ {δ 1 , . . . , δ m } inkonsistent. Würde ¯Φ ⊢ ¬default[δ 1 ] ∨ · · · ∨ ¬default[δ m ] nichtgelten, so gäbe es ein Modell Ī von ¯Φ mit Ī |= default[δ i], daraus erhielte man nachLemma 6.1.1 ein Modell I von Φ ∪ Ω (im Widerspruch zur vorausgesetzten Inkonsistenz).• Gelte umgekehrt ¯Φ ⊢ ¬default[δ 1 ]∨· · ·∨¬default[δ m ]. Wäre Φ∪{δ 1 , . . . , δ m } konsistent, sokönnte man aus einem Modell I nach Lemma 6.1.2 ein Modell Ī von ¯Φ mit Ī ̸|= ¬default[δ i]konstruieren (Widerspruch zur Voraussetzung).✷Damit ist gezeigt, daß die erste Phase der Anfragebearbeitung alle Konflikte vollständigberechnet hat.Es fehlt nun nur noch die Beziehung zwischen Konflikten und widersprechendenBegründungen. Im wesentlichen entsprechen die widersprechenden Begründungen zu Dgerade den Konflikten, mit denen D einen nichtleeren Schnitt hat:Lemma 6.1.28:• Ist Ω ein Konflikt und D eine Menge von Default-Ausprägungen mit D ∩ Ω ≠ ∅, soist ˆD := Ω − D eine widersprechende Begründung zu D.• Ist ˆD eine widersprechende Begründung zu D, so gibt es einen Konflikt Ω mitΩ ⊆ D ∪ ˆD, Ω ∩ D ≠ ∅ und Ω ∩ ˆD ≠ ∅.Beweis:• Da Φ ∪ Ω inkonsistent ist, ist wegen Ω ⊇ D ∪ ˆD natürlich erst recht Φ ∪ ˆD ∪ D inkonsistent.Andererseits ist ˆD ⊂ Ω (wegen D ∩ Ω ≠ ∅), aus der Minimalität von Ω folgt also dieKonsistenz von Φ ∪ ˆD.• Da ˆD eine widersprechende Begründung ist, ist Φ ∪ ˆD ∪ D inkonsistent. Man wähle nuneine minimale Teilmenge Ω ⊆ ˆD ∪ D, so daß Φ ∪ Ω inkonsistent ist. Nach Konstruktionist Ω ein Konflikt. Weil Φ ∪ D und Φ ∪ ˆD konsistent sind, gilt Ω ⊈ D und Ω ⊈ ˆD, Ω mußalso mit beiden einen nichtleeren Schnitt haben.✷Damit hat man jetzt also einen Algorithmus zur Anfragebeantwortung unter der vorsichtigenCWA: Man testet einfach für jede potentielle Antwort, ob ihre Begründungein gemeinsames Element mit einem Konflikt hat. Die übrigen Antworten können dannausgegeben werden (nach der Eliminierung nicht-minimaler Antworten).

144 KAPITEL 6. BERECHNUNG VON ANTWORTENBeispiel 6.1.29: In dem laufenden Beispiel werden also 〈X⊳ d〉 und 〈X⊳ e〉 ausgegeben.Dies sind auch die einzigen (minimalen) korrekten Antworten, denn es istcwa ∆ (Φ) = Φ ∪ {¬p(d), ¬p(e)}.Die Begründungen der Antworten 〈X ⊳ b〉 und 〈X ⊳ c〉 überlappen sich mit dem Konflikt{¬p(b), ¬p(c)}.✷Die ”minimale Modelle“-SemantikNach dem leichtgläubigen und dem vorsichtigen Ansatz zur Behandlung mehrfacher Extensionenwird nun der skeptische Ansatz als Grundlage der Anfrage-Bearbeitung verwendet..Er ist äquivalent zur ”minimale Modelle“-Semantik, da die maximalen Extensionengerade den minimalen Modellen entsprechen.Eine Formel folgt skeptisch, wenn sie aus allen maximalen Extensionen folgt. Hierist es wieder nützlich, die von einer Begründung überdeckten Extensionen zu betrachten:Man braucht offensichtlich Begründungen, die zusammen alle Extensionen überdecken.Lemma 6.1.30: Sei {θ i,1 , . . . , θ i,ki } für i = 1, . . . , n eine potentielle Antwort mitBegründung D i . Ist |D 1 | ∪ · · · ∪ |D n | die Menge aller maximalen Extensionen, so istdie Antwort {θ 1,1 , . . . , θ 1,k1 , . . . , θ n,1 , . . . , θ n,kn } korrekt bezüglich min ∆ .Beweis: Zu zeigen ist, daß jedes minimale Modell I von Φ auch Modell von ψθ 1,1 ∨ · · · ∨ ψθ n,knist. Nach Satz 5.2.15 ist I auch Modell einer maximalen Extension E. Nach der Voraussetzungist E ∈ |D i | für ein i. Da D i eine Begründung für die potentielle Antwort {θ i,1 , . . . , θ i,ki } ist,gilt alsoΦ ∪ E ⊢ ψθ i,1 ∨ · · · ∨ ψθ i,ki .Also erfüllt I diese Disjunktion und damit natürlich erst recht ψθ 1,1 ∨ · · · ∨ ψθ n,kn .Beispiel 6.1.31: In dem Beispiel betrifft dies gerade die potentiellen Antworten 〈X⊳ b〉und 〈X ⊳ c〉 mit den Begründungen {¬p(b)} und {¬p(c)}: Die erste Begründung überdecktE 1 und die zweite E 2 , daher ist die disjunktive Antwort {〈X⊳ b〉, 〈X⊳ c〉} bezüglichder minimale Modelle“-Semantik korrekt.✷”Natürlich müssen bei der Anwendung dieses Lemmas nicht immer disjunktive Antwortenentstehen: Es ist ja auch möglich, daß man verschiedene Begründungen für dieselbe Antworthat. Trotzdem ist festzuhalten, daß die Erzeugung der Antworten jetzt nicht mehrnur in einer einfachen Auswahl der vorher berechneten potentiellen Antworten besteht,vielmehr müssen potentielle Antworten kombiniert werden.Daher ist natürlich besonders wichtig, sich die Vollständigkeit dieser Vorgehensweiseklar zu machen:Lemma 6.1.32: Sei {θ 1 , . . . , θ k } eine bezüglich min ∆ korrekte Antwort. Dann gibt esD 1 , . . . , D n ⊆ ∆ ∗ , so daß {θ 1 , . . . , θ k } eine potentielle Antwort mit Begründung D i ist(i = 1, . . . , n).✷

6.1. BOTTOM-UP 145Beweis: Da {θ 1 , . . . , θ k } eine korrekte Antwort ist, gilt ψθ 1 ∨ · · · ∨ ψθ k in jedem minimalenModell. Nach Satz 5.2.15 ist jedes Modell einer maximalen Extension E minimal, also giltΦ ∪ E ⊢ ψθ 1 ∨ · · · ∨ ψθ k .Da die zugrundeliegende Signatur endlich ist, gibt es nur endlich viele maximale ExtensionenE 1 , . . . , E n . Diese kann man nun selbst als Begründungen D 1 , . . . , D n verwenden. ✷Natürlich hat man in der ersten Phase der Anfragebeantwortung nur die minimalenPaare von potentieller Antwort und Begründung berechnet, aber dies ist offensichtlichausreichend: Man interessiert sich ja nur für minimale Antworten und nicht-minimaleBegründungen überdecken höchstens weniger Extensionen.Man muß jetzt also überprüfen, ob eine Menge von Begründungen D 1 , . . . , D n allemaximalen Extensionen überdeckt. Dazu ist es nützlich, das Komplement der überdecktenExtensionen mit Hilfe widersprechender Begründungen zu repräsentieren:Definition 6.1.33 (Vollständige Menge widersprechender Begründungen):Seien D 1 , . . . , D n und ˆD 1 , . . . , ˆD m Mengen von Default-Ausprägungen. { ˆD 1 , . . . , ˆD m }heißt vollständige Menge widersprechender Begründungen zu {D 1 , . . . , D n } genau dann,wenn• ( |D 1 | ∪ · · · ∪ |D n | ) ∩ ( | ˆD 1 | ∪ · · · ∪ | ˆD m | ) = ∅,• Φ ∪ ˆD i ist konsistent für i = 1, . . . , m,• für jede maximale Extension E mit E ∉ |D 1 | ∪ · · · ∪ |D n | gilt E ∈ | ˆD 1 | ∪ · · · ∪ | ˆD m |.Für einzelne Begründungen D i bilden die nach Lemma 6.1.28 berechneten widersprechendenBegründungen natürlich eine vollständige Menge. Was noch fehlt, ist eine Möglichkeit,solche vollständigen Mengen widersprechender Begründungen zusammensetzen zukönnen, also den Schnitt der von ihnen überdeckten Extensionen auszurechnen:Lemma 6.1.34:Seien D 1 , . . . , D n Mengen von Default-Ausprägungen und seien{ ˆD i,1 , . . . , ˆD i,mi } (i = 1, . . . , n)vollständige Mengen widersprechender Begründungen zu {D i }. Dann ist{ ˆD 1,j1 ∪ · · · ∪ ˆD n,jn | es gibt keinen Konflikt Ω mit Ω ⊆ ˆD 1,j1 ∪ · · · ∪ ˆD n,jn }eine vollständige Menge widersprechender Begründungen zu {D 1 , . . . , D n }.Beweis:• Offensichtlich gilt | ˆD 1,j1 ∪ · · · ∪ ˆD n,jn | = | ˆD 1,j1 | ∩ · · · ∩ | ˆD n,jn |. Daher werden nur solcheExtensionen überdeckt, die von keinem D i überdeckt werden.• Φ∪ ˆD 1,j1 ∪· · ·∪ ˆD n,jn ist konsistent, denn sonst wäre eine minimale Teilmenge ein Konflikt.• Sei E eine maximale Extension von Φ mit E ∉ |D 1 |∪· · ·∪|D n |, d.h. E ∉ |D i | (i = 1, . . . , n).Also ist E ∈ | ˆD i,1 | ∪ · · · ∪ | ˆD i,mi |, sei etwa E ∈ | ˆD i,ji | (i = 1, . . . , n). Dann gilt natürlichE ∈ | ˆD 1,j1 ∪ · · · ∪ ˆD n,jn |.✷

146 KAPITEL 6. BERECHNUNG VON ANTWORTENDamit wäre also folgender Algorithmus korrekt und vollständig, aber sehr aufwendig:In der ersten Phase der Anfragebeantwortung wurden die potentiellen Antworten{θ i,1 , . . . , θ i,ki } mit ihren Begründungen D i berechnet, und auch die Konflikte Ω j . Nachder Methode von Lemma 6.1.28 kann man nun zu jeder Begründung D i eine vollständigeMenge widersprechender Begründungen berechnen. Nach Lemma 6.1.34 kann man fürjede Teilmenge der potentiellen Antworten die vollständigen Mengen widersprechenderBegründungen zusammensetzen. Nach Lemma 6.1.30 und Lemma 6.1.32 sind geradedie zusammengesetzten Antworten korrekt, deren vollständige Menge widersprechenderBegründungen leer ist.Dieser Algorithmus ist aber bei einer größeren Menge potentieller Antworten nichtpraktisch durchführbar, weil exponentiell viele Teilmengen betrachtet werden müssen.Man möchte natürlich nur solche potentiellen Antworten zusammensetzten, die etwas zudem Ziel beitragen, alle Extensionen zu überdecken. Hier hilft das folgende Lemma:Lemma 6.1.35: Seien { ˆD i,1 , . . . , ˆD i,mi } (i = 1, . . . , n) vollständige Mengen widersprechenderBegründungen zu D i mit(| ˆD1,1 | ∪ · · · ∪ | ˆD 1,m1 | ) ∩ · · · ∩ ( | ˆD n,1 | ∪ · · · ∪ | ˆD n,mn | ) = ∅.Sei n > 1 und D i nötig in dem Sinn, daß sonst der entsprechende Schnitt nicht leerwäre. Dann gibt es ein i ′ ≠ i sowie j und j ′ und einen Konflikt Ω mit Ω ∩ ˆD i,j ≠ ∅ undΩ ∩ ˆD i ′ ,j ′ ≠ ∅.Beweis: Wenn man(| ˆD1,1 | ∪ · · · ∪ | ˆD 1,m1 | ) ∩ · · · ∩ ( | ˆD n,1 | ∪ · · · ∪ | ˆD n,mn | ) (∗)ausmultipliziert, erhält man eine Vereinigung von Schnitten, von der jeder einzelne leer seinmuß, d.h. für jede Auswahl von j 1 , . . . , j n gilt:| ˆD 1,j1 | ∩ · · · ∩ | ˆD n,jn | = ∅.Andererseits ist (∗) ohne | ˆD i,1 | ∪ · · · ∪ | ˆD i,mi | nicht leer, man kann also j 1 , . . . , j n so wählen, daß| ˆD 1,j1 | ∩ · · · ∩ | ˆD i−1,ji−1 | ∩ | ˆD i+1,ji+1 | ∩ · · · ∩ | ˆD n,jn | ≠ ∅.Also ist Φ∪ ˆD 1,j1 ∪· · ·∪ ˆD n,jn inkonsistent und es gibt einen Konflikt Ω mit Ω ⊆ ˆD 1,j1 ∪· · ·∪ ˆD n,jn .Andererseits istΦ ∪ ˆD 1,j1 ∪ · · · ∪ ˆD i−1,ji−1 ∪ ˆD i+1,ji+1 ∪ · · · ∪ ˆD n,jnkonsistent, Ω kann also keine Teilmenge hiervon sein, d.h. Ω ∩ ˆD i,ji ≠ ∅. Es ist aber natürlichauch Φ ∪ ˆD i,ji konsistent, also Ω ⊈ ˆD i,ji , es muß daher ein i ′ ≠ i geben mit Ω ∩ ˆD i ′ ,j i ′≠ ∅.Damit ist die Behauptung für j := j i und j ′ := j i ′ gezeigt. ✷Dies führt zu folgendem Algorithmus: Man berechne wieder die potentiellen Antworten{θ i,1 , . . . , θ i,ki } und jeweils eine vollständige Menge widersprechender Begründungen{ ˆD i,1 , . . . , ˆD i,mi }. Falls ein m i = 0 ist, kann man die Antwort {θ i,1 , . . . , θ i,ki } ausgebenund sie von den noch zu überprüfenden Antworten streichen. Sonst setzt man jeweils zweipotentielle Antworten {θ i,1 , . . . , θ i,ki } und {θ i ′ ,1, . . . , θ i ′ ,k i ′ } zusammen, für die es j, j ′ undeinen Konflikt Ω mit Ω ∩ ˆD i,j ≠ ∅ und Ω ∩ ˆD i ′ ,j′ ≠ ∅ gibt. Diese Zusammensetzung liefert

6.1. BOTTOM-UP 147die potentielle Antwort {θ i,1 , . . . , θ i,ki , θ i ′ ,1, . . . , θ i ′ ,k i ′ }. Die zugehörige vollständige Mengewidersprechender Begründungen ist entsprechend Lemma 6.1.34:{ˆDi,ν ∪ ˆD i ′ ,ν ′ ∣ ∣ es gibt keinen Konflikt Ω ′ mit Ω ′ ⊆ ˆD i,ν ∪ ˆD i ′ ,ν ′ }.Falls die Menge leer ist, kann man die Antwort ausgeben und braucht sie nicht weiterzu berücksichtigen. Man iteriert diese paarweise Zusammensetzung, bis sich nichts mehrändert.Beispiel 6.1.36: Im laufenden Beispiel sind die Mengen widersprechender Begründungenzu {¬p(d)} und {¬p(e)} leer, die Antworten 〈X ⊳ d〉 und 〈X ⊳ e〉 können also sofortausgegeben werden. Dagegen hat {¬p(b)} die widersprechende Begründung {¬p(c)}und umgekehrt. Weil die beiden widersprechenden Begründungen sich mit dem Konflikt{¬p(b), ¬p(c)} überlappen, werden sie zusammengesetzt, das Ergebnis enthält aber geradediesen Konflikt, so daß es gelöscht wird. Das bedeutet, daß die Antwort {〈X⊳ b〉, 〈X⊳ c〉}keine widersprechender Begründungen hat, und ausgegeben werden kann. Damit ist dieMenge der noch zu überprüfenden potentiellen Antworten leer, die Iteration endet alsoschon nach dem ersten Schritt.✷Beispiel 6.1.37: Es soll jetzt noch ein etwas komplizierteres Beispiel betrachtet werden.Die Defaults seien∆ := {p 1 , . . . , p 4 , q 1 , . . . , q 5 }.Als Axiome seien nun einerseits solche gegeben, die eine Begründung für die Antwort ”ja“auf die Anfrage r liefern:r ← p 1 , r ← p 2 ∧ p 3 , r ← p 4 .Andererseits seien Axiome gegeben, die gerade den Konflikten entsprechen:¬p 1 ∨ ¬q 1 , ¬p 1 ∨ ¬q 2 ∨ ¬q 3 , ¬p 2 ∨ ¬q 4 , ¬p 4 ∨ ¬q 4 , ¬q 1 ∨ ¬q 4 ∨ ¬q 5 , ¬q 3 ∨ ¬q 5 .Es gibt also folgende Begründungen und widersprechende Begründungen:θ D ˆD” ja“ {p 1} {q 1 }, {q 2 , q 3 }” ja“ {p 2, p 3 } {q 4 }” ja“ {p 4} {q 5 }Im ersten Iterationsschritt läßt sich nun jede Zeile mit jeder anderen zusammensetzen undman erhält:θ D ˆD” ja“ {p 1}, {p 2 , p 3 } {q 1 , q 4 }, {q 2 , q 3 , q 4 }” ja“ {p 1}, {p 4 } {q 1 , q 5 }, [{q 2 , q 3 , q 5 }]” ja“ {p 2, p 3 }, {p 4 } {q 4 , p 5 }Die in eckigen Klammern angegebene Menge von Defaults enthält einen Konflikt und wirdgelöscht. Im zweiten Iterationsschritt ergibt sich:θ D ˆD” ja“ {p 1}, {p 2 , p 3 }, {p 4 } [{q 1 , q 4 , q 5 }], [{q 1 , q 2 , q 3 , q 4 , q 5 }]

148 KAPITEL 6. BERECHNUNG VON ANTWORTENDa es keine widersprechenden Begründungen mehr gibt, ist die Antwort ”ja“ korrekt. ✷Natürlich kann dieser Algorithmus noch weiter optimiert werden:• Bei dem Test, ob es sich lohnt, zwei potentielle Antworten zu kombinieren, brauchennur solche Konflikte berücksichtigt zu werden, deren Defaults auch in mindestenseiner widersprechenden Begründung vorkommen. Dies reduziert die Anzahl derPaare von potentiellen Antworten, die betrachtet werden müssen.• Zwei widersprechende Begründungen ˆD 1,j1 und ˆD 2,j2 , deren potentielle Antwortenzusammengesetzt werden, sollten sich nicht nur mit demselben Konflikt Ω überlappen,sondern mit disjunkten Anteilen dieses Konfliktes. Man kann also forden,da߈D 1,j1 ∩ (Ω − ˆD 2,j2 ) ≠ ∅ und (Ω − ˆD 1,j1 ) ∩ ˆD 1,j1 ≠ ∅.• Häufig werden die n-elementigen Teilmengen auf verschiedenen Wegen durch Zweier-Kombinationen aufgebaut (wie im obigen Beispiel). Dies kann man allerdings nurdann reduzieren, wenn man schon weiß, daß die kleineren Teilmengen keine korrektenAntworten produzieren.Mengenorientierte ImplementierungNun ist zu demonstrieren, daß auch die zweite Phase der Anfragebeantwortung mengenorientiertimplementiert werden kann.Die erste Phase lieferte die Menge ˆΦ in der Relation DIS FACTS. Hieraus sind nundie Antwortklauseln und die Konflikte zu extrahieren. Wählt man die Prädikatbezeichnerso, daß alle answer-Literale vor allen default δ -Literalen kommen (und natürlich nach allenanderen Literalen), so ist folgende Selektion möglich:(POT ANS := π id σactive=’T ’∧pred=’answer’ (DIS FACTS) ) ✶ DIS FACTS,(CONFLICT := π id σactive=’T ’∧pred like ’default%’ (DIS FACTS) ) ✶ DIS FACTS.Würde man die Disjunktionen physisch zusammen abspeichern, so wären die Verbundenatürlich sehr effizient auszuführen. In Beispiel 6.1.11 erhielte man folgende Menge potentiellerAntworten:POT ANSid pred arg1 active lit length10 answer b T answer(b) 210 default b F ¬default(b) 211 answer c T answer(c) 211 default c F ¬default(c) 212 answer d T answer(d) 113 answer e T answer(e) 213 default e F ¬default(e) 2

6.1. BOTTOM-UP 149Die beiden Konflikte sind in folgender Tabelle dargestellt:CONFLICTid pred arg1 active lit length14 default a T ¬default(a) 115 default b T ¬default(b) 215 default c F ¬default(c) 2Beim leichtgläubigen Ansatz sind alle potentiellen Antworten korrekt:ANSWER := σ pred=’answer’ (POT ANS).Natürlich müßte man jetzt noch gegebenenfalls nicht-minimale Antworten löschen (mitder oben für Disjunktionen gezeigten Methode).Beim vorsichtigen Ansatz hat man nur zu testen, ob sich die Begründung mit einemKonflikt überlappt:OVERLAP := π ans id,con id(πid:ans id,lit (POT ANS) ✶ π id:con id,lit (CONFLICT ) ) ,ANSWER := σ pred=’answer’(POT ANS − POT ANS ✶ πans id:id (OVERLAP) ) .Mit dem Verbund über lit wird die Überlappung festgestellt:OVERLAPans id con id10 1511 15Der Rest dient dann nur noch dazu, die übrigen Antworten in das gewünschte Format zubringen.Etwas mühsamer ist nun der skeptische Ansatz. Zunächst muß man die widersprechendenBegründungen für jede potentielle Antwort berechnen:CONTRA := ( OVERLAP ✶ π id:con id,lit (CONFLICT ) )CONTRAans id con id lit10 15 ¬default(c)11 15 ¬default(b)− ( OVERLAP ✶ π id:ans id,lit (POT ANS) ) .Außerdem initialisiert man noch ANSWER mit der leeren Menge, dann beginnt die Iteration.Zunächst kann man die Antworten ausgeben, die keine widersprechende Begründungen(mehr) haben:ANSWER :=ANSWER∪ σ pred=’answer’(POT ANS − POT ANS ✶ πans id:id (CONTRA) ) .An dieser Stelle kann man aus POT ANS und CONTRA auch alle potentiellen Antwortenlöschen, die höchstens eine Obermenge einer korrekten Antwort liefern könnten. Damit

150 KAPITEL 6. BERECHNUNG VON ANTWORTENeliminiert man auch weitere Begründungen für bereits ausgegebene Antworten. Ein entsprechenderTeilmengentest wurde oben schon vorgeführt.Nun stellt man fest, bei welchen potentiellen Antworten es sich lohnen könnte, sie zukombinieren:COMB ANS := π ans id:ans id ′ ,lit:lit ′(CONTRA) ✶ π lit:lit ′ ,id(CONFLICT )✶ π lit:lit ′′ ,id(CONFLICT ) ✶ π ans id:ans id ′′ ,lit:lit ′′(CONTRA),COMB ANS ′ := σ ans id ′

6.2. TOP-DOWN 151Identifikatoren für die zusammengesetzten potentiellen Antworten erzeugt werden, mußman die Duplikateliminierung explizit programmieren (etwa mit einer Tabelle, in derdarüber Buch geführt wird, welche der ursprünglichen potentiellen Antworten in einerzusammengesetzten Antwort stecken). Bei einem NF 2 -Datenbanksystem geschieht einesolche Duplikateliminierung natürlich automatisch, ist aber nicht weniger aufwendig.6.2 Top-DownIn diesem Abschnitt wird ein ”top-down“ Algorithmus zur Anfrage-Bearbeitung angegeben,der also von der Anfrage ausgehend rekursiv Unteranfragen bearbeitet, die schließlichmit den Fakten direkt beantwortet werden können. Im Unterschied zum ”bottom-up“Algorithmus wird hier zielgerichtet vorgegangen, dafür kann dieselbe Unteranfrage abermehrfach auftreten und die Vorteile einer mengenorientierten Arbeitsweise werden nichtgenutzt. Die aus der logischen Programmierung bekannte SLDNF-Resolution [Llo87] istein ”top-down“ Algorithmus für Hornklauseln mit Negations-Defaults. Ziel ist es hier,einen ähnlichen Algorithmus für beliebige Klauseln und Defaults zu entwickeln.Der hier vorgeschlagene Algorithmus hat gewisse Ähnlichkeiten zu den Algorithmenaus [Prz89, Gin89, BG89]. Alle diese Algorithmen prüfen allerdings die Anwendbarkeit derDefaults in einer eigenen zweiten Phase, während der hier angegebene Algorithmus diesso früh wie möglich tut (verzahnt mit der Berechnung der Antworten). Dies ist einerseitsein Effizienzvorteil, andererseits aber auch nötig, um disjunktive Antworten zu berechnen:Da die Antworten von unterschiedlichen Extensionen abhängen, braucht man hier eineRückkopplung von der Prüfung der Defaults zu dem eigentlichen Beweiser. Außerdemwird dadurch die Ähnlichkeit zur SLDNF-Resolution größer, die negative Literale ja auchsofort auswertet. Wie in der Einleitung erläutert wurde, ist es gerade diese Ähnlichkeit,die auf effiziente Implementierungen hoffen läßt.[Prz89, Gin89, BG89] basieren ihrerseits wieder auf [Rei80]: Hierher stammt die Idee,die Benutzung von Defaults in Beweisen zuzulassen, aber über die verwendeten DefaultsBuch zu führen.OL-ResolutionAuch in diesem Abschnitt wird so vorgegangen, daß ein aus der Literatur bekannter Beweiserum Defaults erweitert wird. Es wird hier die OL-Resolution [CL73] verwendet, aberman könnte auch eine ganze Reihe anderer Beweiser auf entsprechende Weise erweitern.Die OL-Resolution ist ein Widerlegungsbeweiser, d.h. sie versucht, aus Φ ∪ {¬ψ} dieleere Klausel abzuleiten, also einen Widerspruch. Gelingt dies, so gilt Φ ⊢ ∃(ψ) (derExistenzabschluß entfällt natürlich, wenn ψ keine Variablen enthält).Als linearer Resolventenbeweiser hat die OL-Resolution immer eine aktuelle Zielklausel“( center clause“), zu der sie ein Axiom als Seitenklausel“ ( side clause“) hinzu-” ” ””nimmt, um die nächste Zielklausel abzuleiten. Die Zielklausel wird mit der Negation der

152 KAPITEL 6. BERECHNUNG VON ANTWORTENAnfrage initialisiert und kann als Konkatenation der noch abzuarbeitenden Unteranfragenverstanden werden.Während die einzelne Ableitung von der Anfrage bis zur leeren Klausel also linearist, gilt dies nicht für den Suchraum: Im allgemeinen können verschiedene Axiome alsSeitenklausel verwendet werden, die nacheinander ausprobiert werden müssen (z.B. mit” Backtracking“).Die wesentliche Struktur eines linearen Resolventenbeweisers ist also folgende:prove(Φ, ψ) :-refute(Φ, ψ, ¬ψ).refute(Φ, ψ, Γ) :-empty(Γ).refute(Φ, ψ, Γ) :-ϕ ∈ Φ ∪ {¬ψ},resolve(Γ, ϕ, Γ ′ , θ),refute(Φ, ψ, Γ ′ ).Es wird hier eine Art Prolog-Pseudocode verwendet, um die Algorithmen zu notieren,weil dadurch das Backtracking nicht explizit programmiert werden muß.Dieses Programm dient im folgenden als Grundlage für die Entwicklung des topdown“-Verfahrenszur Anfrage-Auswertung. Der eigentliche Ableitungsschritt ist dabei ”in der Prozedur resolve verborgen, die aus der Zielklausel Γ und der Seitenklausel ϕdie neue Zielklausel Γ ′ ableitet (die dabei verwendete Substitution θ wird erst späterbenötigt). Die Prozedur resolve soll hier nur informell erklärt werden. Eine formaleDefinition findet sich in [CL73].Tatsächlich gibt es verschiedene Arten von Ableitungsschritten, der wichtigste ist derResolutionsschritt. Er besteht in der Anwendung der Axiome als Regeln, d.h. ist dieaktuelle Zielklausel← λ 1 ∧ λ 2 ∧ · · · ∧ λ nund gibt es ein Axiom der Formλ ′ 1 ← λ ′ 2 ∧ · · · ∧ λ ′ m,so daß λ 1 θ = λ ′ 1θ für eine Substitution θ gilt, so kann man zu folgender Zielklauselübergehen:← λ ′ 2θ ∧ · · · ∧ λ ′ mθ ∧ λ 2 θ ∧ · · · ∧ λ n θ.Eine Substitution θ mit dieser Eigenschaft heißt ein Vereinheitlicher ( unifier“) der beiden”Klauseln. Es reicht aus, nur allgemeinste“ Vereinheitlicher zu betrachten, die keine”unnötigen Variablenbindungen vornehmen.Die OL-Resolution ist sehr ähnlich zur SLD-Resolution [Llo87] von Prolog. Da es sichaber nicht um Hornklauseln handelt, kann ein Axiom auf verschiedene Arten als Regelgelesen werden, p ← q ∧ ¬r kann zum Beispiel auch in der Form r ← q ∧ ¬p angewendet

6.2. TOP-DOWN 153werden, und sogar in der Form ¬q ← ¬p ∧ ¬r, denn natürlich kann auch die Zielklauseljetzt negative Literale enthalten.Eine Spezialität der OL-Resolution sind die sogenannten ”gerahmten Literale“ ( ”framedliterals“) in der Zielklausel. Sie enthalten Steuerinformation, durch die man es vermeidenkann, frühere Zielklauseln aufbewahren zu müssen. Der Grundgedanke ist dabei,daß die früheren Zielklauseln in einem Suffix mit der aktuellen Zielklausel übereinstimmen,da immer nur vorne etwas geändert wird. Am interessantesten sind nun natürlichmöglichst kurze frühere Zielklauseln, die bis auf das wegresolvierte Literal noch in deraktuellen Klausel enthalten sind. Dieses Literal bewahrt man nun in Form eines gerahmtenLiterals auf, d.h. bei dem obigen Resolventenschritt erhält man eigentlich folgendeZielklausel:← λ ′ 2θ ∧ · · · ∧ λ ′ mθ ∧ [λ 1 θ] ∧ λ 2 θ ∧ · · · ∧ λ n θ.Natürlich gehören diese gerahmten Literale nicht zu dem logischen Inhalt der Zielklausel.Die gerahmten Literale werden in einem sogenannten Reduktions-Schritt verwendet.Dabei wird ein Resolutionsschritt mit derjenigen Zielklausel simuliert, bei der das gerahmteLiteral eingeführt wurde. Enthält eine Zielklausel← λ 1 ∧ λ 2 ∧ · · · ∧ λ nein gerahmtes Literal [λ i ], für das λ 1 θ = ∼λ i θ gilt (d.h. die beiden Literale stimmen bisauf das Vorzeichen überein), so kann man zu folgender Zielklausel übergehen:← λ 2 θ ∧ · · · ∧ λ n θ.Die frühere Zielklausel war dann ja← λ i ∧ λ i+1 ∧ · · · ∧ λ n(oder eine noch allgemeinere Klausel, weil in der Zwischenzeit eventuell Substitutionenangewendet wurden). Würde man den Resolutionsschritt wirklich ausführen, so würdennur Literale hinzukommen, die in der Zielklausel ohnehin schon enthalten sind.Hierfür ist es wichtig, die Zielklausel bis auf die Anwendung der Substitutionen alsStack zu behandeln, also immer nur vorne etwas zu verändern. Kommt dabei ein gerahmtesLiteral nach vorne, so wird es gelöscht (Kontraktionsschritt). Für alle in der Zielklauselenthaltenen gerahmten Literale ist der Rest der entsprechenden früheren Zielklausel alsonoch vollständig erhalten (er liegt ja unter dem gerahmten Literal im Stack).Schließlich besteht auch noch die Möglichkeit der Faktorbildung, bei der man zweiLiterale der Zielklausel durch Anwendung einer Substitution verschmilzt. Zusätzlich eliminiertman natürlich immer doppelte Literale. Dabei muß man beachten, daß mandas am weitesten rechts stehende Literal stehen läßt, so daß die Invariante bezüglich dergerahmten Literale erhalten bleibt. Auch bei den Seitenklauseln kann man eine Faktorbildungdurchführen.Beispiel 6.2.1: Das folgende Beispiel ist ein beliebter Test für lineare Resolventenmethoden,weil es einen Resolutionsschritt mit einer früheren Zielklausel erfordert:Φ := {p ∨ ¬q, ¬p ∨ q, ¬p ∨ ¬q},ψ = ¬p ∧ ¬q.

154 KAPITEL 6. BERECHNUNG VON ANTWORTENMan kann etwa auf folgende Weise die leere Klausel ableiten:← ¬p ∧ ¬q (Startklausel p ∨ q)← ¬q ∧ [¬p] ∧ ¬q (Resolutionsschritt mit ¬p ∨ q, d.h. ¬p ← ¬q)← [¬p] ∧ ¬q (Eliminierung doppelter Literale)← ¬q(Kontraktionsschritt)← ¬p ∧ [¬q] (Resolutionsschritt mit p ∨ ¬q, d.h. ¬q ← ¬p)← q ∧ [¬p] ∧ [¬q] (Resolutionsschritt mit ¬p ∨ ¬q, d.h. ¬p ← q)← [¬p] ∧ [¬q] (Reduktionsschritt)← [¬q] (Kontraktionsschritt)✷(Kontraktionsschritt)Die Kontraktionsschritte und die Eliminierung doppelter Literale werden in Zukunft nichtmehr explizit angegeben, denn sie sind ja auf jeden Fall auszuführen.✷Es fehlen jetzt natürlich noch die auswertbaren Literale. Man braucht hier nur dafürzu sorgen, daß sie rechts von den zugehörigen bindenden Literalen stehen. Dann sindihre Variablen gebunden, wenn sie an den Anfang der Zielklausel gekommen sind, so daßsie einfach ausgewertet werden können. Formal beweist man mit Induktion über derLänge der Ableitung, daß die Zielklausel eine sichere Klausel ist (Variablenvorkommen ingerahmten Literalen zählen dabei nicht als bindend).TerminierungDie OL-Resolution ist vollständig, d.h. wenn Φ ∪ {¬ψ} inkonsistent ist, dann gibt eseine Ableitung der leeren Klausel [CL73]. Dies ist aber wenig hilfreich, denn im Zusammenhangmit Defaults muß der Beweiser terminieren, damit man sicher sein kann,daß die Negation eines Defaults nicht ableitbar ist. Aus diesem Grund sind Folgerungenmit Defaults im allgemeinen nicht rekursiv aufzählbar (die Folgerungsrelation ist ja nursemi-entscheidbar).Um diese Schwierigkeiten zu vermeiden, wurden hier keine Funktionssymbole und nurendlich viele Konstanten erlaubt. Damit wird die Folgerungsrelation trivialerweise entscheidbarund bei der Hyperresolution traten auch tatsächlich keine Probleme auf. Beider OL-Resolution ergeben sich die ersten Schwierigkeiten dagegen schon in der Aussagenlogik:Beispiel 6.2.2:Ableitung:Sei Φ := {p ← q, q ← p}, ψ := p. Dann ergibt sich folgende unendliche← p (Startklausel)← q ∧ [p] (Resolutionsschritt mit p ← q)← p ∧ [q] ∧ [p] (Resolutionsschritt mit q ← p). . . (jetzt wieder Resolutionsschritt mit p ← q)Natürlich folgt p nicht aus Φ, aber um dies sicher feststellen zu können, müßte die Ableitungterminieren.✷

6.2. TOP-DOWN 155Man könnte die Terminierung sicherstellen, indem man die früheren Zielklauseln aufbewahrtund bei einer gleichen Zielklausel diesen Zweig der Ableitung abbricht. Da es inder Aussagenlogik nur endlich viele Zielklauseln gibt, müssen die Ableitungen also endlichsein.Allerdings war ein Vorteil der OL-Resolution ja gerade, daß man frühere Zielklauselnnicht abspeichern mußte. Es geht tatsächlich auch wesentlich effizienter mit folgendemTrick:Ist das erste Literal der Zielklausel gleich einem ihrer gerahmten Literale, so kannman die Ableitung abbrechen. Dann ist nämlich die entsprechende frühere Zielklauseleine Teilklausel der aktuellen Klausel.Man muß sich nun natürlich noch davon überzeugen, daß die Terminierung hierdurchgewährleistet ist (in der Aussagenlogik). Dazu betrachtet man in einer unendlichen Ableitungdas am weitesten links stehende Literal, das nie wegresolviert wird (so ein Literalmuß es geben, sonst hätte man die leere Klausel). Vor diesem Literal müssen sich nununendlich viele gerahmte Literale ansammeln, denn an der nächsten Position finden jaimmer wieder Resolutionsschritte statt. Es gibt aber nur endlich viele gerahmte Literale,und keines kann doppelt hineinkommen, denn sonst hätte man die Ableitung abbrechenmüssen.Wenn man den Fall der Aussagenlogik verläßt, kann man dieses Verfahren natürlichverallgemeinern, so daß es einem etwas abgeschwächten Test auf ”Subsumption“ entspricht.Eine Klausel Γ subsumiert eine Klausel Γ ′ genau dann, wenn es eine Substitutionθ gibt mit Γθ ⊆ Γ ′ . Dann ist Γ also allgemeiner als Γ ′ und man braucht Ableitungenmit Γ ′ nicht mehr zu betrachten.Überraschenderweise kann aber auch ein voller Subsumptionstest die Terminierungnicht garantieren:Beispiel 6.2.3:Enthalte Φ Regeln zur Berechnung der transitiven Hülle:p(X, X ′ ) ← p(X, Y ) ∧ p(Y, X ′ ).p(X, X ′ ) ← q(X, X ′ ).Sei die Anfrage nun p(a, b). Es ergibt sich dann folgende Ableitung (ohne die gerahmtenLiterale, sie spielen für die Subsumption ja keine Rolle):← p(a, b)← p(a, Y 1 ) ∧ p(Y 1 , b)← p(a, Y 2 ) ∧ p(Y 2 , Y 1 ) ∧ p(Y 1 , b). . .← p(a, Y n ) ∧ p(Y n , Y n−1 ) ∧ p(Y n−1 , Y n−2 ) ∧ · · · ∧ p(Y 1 , b). . .Von diesen Klauseln subsumiert keine eine andere. Man braucht dazu nur ein Modellbetrachten, das aus einem Pfad der Länge n von a nach b besteht: In diesem Beispiel istdie Klausel mit n − 1 Variablen falsch, während alle anderen wahr sind.

156 KAPITEL 6. BERECHNUNG VON ANTWORTENInteressant ist auch folgende Variante:p(a, X) ← p(a, Y ) ∧ p(Y, X).Während man im obigen Beispiel noch die beiden Regeln hätte abwechselnd benutzenkönnen, erzwingt diese Formulierung, daß man erst eine Zielklausel der passenden Längeaufbaut.✷Eine direkte Lösung des Problems ist, die Anzahl der in der Zielklausel vorkommendenVariablen auf die Anzahl der Konstanten zu begrenzen. Allerdings darf man die Ableitungnicht einfach abbrechen, wenn diese Grenze überschritten ist, sondern muß je zweiVariablen identifizieren. Außerdem braucht man natürlich den Subsumptionstest.Eine andere Lösung ist, die Anzahl der vorkommenden Literale zu begrenzen (aufdie Anzahl aller Grundliterale). Hier übernimmt die ohnehin nötige Faktorisierung dieIdentifikation der Variablen, man kann die Ableitung also abbrechen, wenn die Grenzeüberschritten ist (allerdings ist diese Grenze wesentlich größer als die andere). Statt desSubsumptionstests genügt es hier, zu überprüfen, ob die Zielklausel zwei gleiche gerahmteLiterale enthält.Beide Vorschläge sind natürlich sehr ineffizient. Es ist daher wohl das beste, diekritischen Klauseln einfach zu verbieten, d.h. zur Compilezeit“ eine Analyse der Klauseln”durchzuführen. Dies wird natürlich im allgemeinen nur ein hinreichendes Kriterium sein.Die transitive Hülle müßte man dann so aufschreiben, wie es in Prolog üblich ist:p(X, X ′ ) ← q(X, X ′ ).p(X, X ′ ) ← q(X, Y ) ∧ p(Y, X ′ ).Allgemein darf bei einem rekursiven Aufruf eines Prädikates die Gesamtzahl der vorkommendenVariablen nicht größer werden.Beispiel 6.2.4: Solange nur die Anzahl der vorkommenden Variablen beschränkt ist,reicht der Test, ob das erste Literal noch einmal gerahmt vorkommt, nicht aus. Hat manetwa die Klausel p(a) ← p(X), so erhält man folgende unendliche Ableitung:← p(X)← p(X) ∧ [p(a)]← p(X) ∧ [p(a)] ∧ [p(a)]. . .Man kann sich hier helfen, indem man die Ableitung abbricht, sobald dasselbe gerahmteLiteral zweimal vorkommt. Während der erste Test die Ableitung nur abbricht, wenn einefrühere Zielklausel die aktuelle subsumiert, gilt dies nicht für dieses Verfahren:← p(a, X)(Startklausel)← p(Y, b) ∧ q ∧ [p(a, b)] (Resolution mit p(a, b) ← p(Y, b) ∧ q)← r ∧ [p(a, b)] ∧ q ∧ [p(a, b)] (Resolution mit p(a, b) ← r)An dieser Stelle bricht man die Ableitung ab, obwohl keine der drei Zielklauseln eineandere subsumiert. Trotzdem bleibt das Verfahren vollständig: Der Grundgedanke ist,daß man an der Stelle, wo das weiter rechts stehende gerahmte Literal eingeführt wurde,

6.2. TOP-DOWN 157auch gleich hätte die Seitenklausel anwenden können, die zu dem weiter links stehendenLiteral geführt hat (und anschließend gegebenenfalls die weiteren Ableitungsschrittewiederholen). Die so konstruierte Klausel subsumiert dann die aktuelle Zielklausel.Dieser Test und eine Beschränkung der Anzahl der vorkommenden Variablen garantierendie Terminierung der Anfrageauswertung: Wie oben erläutert, müßten sich in einerunendlichen Ableitung immer mehr gerahmte Literale ansammeln. Aufgrund der Bereichsbeschränkungmüssen die in gerahmten Literalen vorkommenden Variablen auchin echten Literalen vorkommen, daher ist ihre Anzahl beschränkt. Also muß dasselbegerahmte Literal doppelt vorkommen.✷Zum Abschluß dieses Abschnittes bleibt festzuhalten, daß beim top-down“-Ansatz Einschränkungender zulässigen Axiome und Defaults nötig sind, wenn man die Terminierung”ohne allzu großen Aufwand garantieren will. Das Ziel ist dabei eine Beschränkung derAnzahl der vorkommenden Variablen. Übrigens ist dieses Problem unabhängig von derErweiterung auf allgemeine Klauseln, in Beispiel 6.2.3 handelte es sich ja um eine Hornklauselmenge.Die beim bottom-up“ Verfahren hilfreiche Bereichsbeschränkung ist beim”top-down“ Ansatz dagegen von eher untergeordneter Bedeutung.”Eine andere Lösung dieses Problems ist es, bottom-up“ Elemente in den top-down“-” ”Beweiser einzubauen ( logic programming with memoing“, siehe etwa [Bry90]).”Berechnung von logisch korrekten AntwortenMit der OL-Resolution kann man also die leere Klausel ableiten, falls Φ∪{¬ψ} inkonsistentist. Damit ist dann Φ ⊢ ∃(ψ) gezeigt, d.h. die Existenz einer logisch korrekten Antwort.Die Antwortsubstitution selbst erhält man nun wie bei der SLD-Resolution, indem manüber die Substitutionen für die Antwortvariablen Buch führt. Der Grundgedanke ist dabeifolgender: Wenn die Variablen von ψ im Laufe des Beweises durch Konstanten gemäßeiner Substitution θ ersetzt wurden, dann kann man denselben Beweis ausgehend von ¬ψθdurchführen. Damit erhält man dann Φ ⊢ ψθ (aufgrund der Bereichsbeschränkung werdenalle Variablen im Laufe des Beweises durch Konstanten ersetzt).Im Unterschied zur SLD-Resolution kann hier die Anfrage aber mehrfach in der Ableitungverwendet werden, das liefert dann gerade die disjunktiven Antworten. Wenn manaus Φ ∪ {¬ψθ 1 , . . . , ¬ψθ k } die leere Klausel ableiten kann, so ist diese Menge inkonsistentund es giltΦ ⊢ ¬ψθ 1 ∨ · · · ∨ ¬ψθ k .Allerdings wird die Buchführung über die Substitutionen jetzt natürlich etwas mühsamer.Ein hübscher Implementierungstrick hierfür wurde in [Gre69] vorgeschlagen: Manhängt ein Literal answer(X 1 , . . . , X n ) an die Anfrage an, mit einem neuen Prädikat answerund den Antwortvariablen X 1 , . . . , X n . In diesen Literalen sammeln sich dann die Substitutionenfür X 1 , . . . , X n an, ansonsten werden sie bei der Ableitung ignoriert (insbesonderewird eine Klausel, die nur noch aus solchen Literalen besteht, wie die leere Klauselbehandelt).

158 KAPITEL 6. BERECHNUNG VON ANTWORTENDaher muß man die Beweisprozedur so erweitern, daß sie die schließlich erreichte” leere“ Klausel in einem Rückgabeparameter“ A liefert. Diese Klausel entspricht dann”der berechneten disjunktiven Antwort:prove(Φ, ψ, A) :-refute(Φ, ψ, ¬ψ, A).refute(Φ, ψ, Γ, A) :-empty(Γ),A = Γ.refute(Φ, ψ, Γ, A) :-ϕ ∈ Φ ∪ {¬ψ},resolve(Γ, ϕ, Γ ′ , ),refute(Φ, ψ, Γ ′ , A).Beispiel 6.2.5: Sei etwa Φ := {p(a) ∨ p(b)}. Hat man nun die Anfrage p(X), erhältman folgende Ableitung:← p(X) ∧ answer(X)(Startklausel)← ¬p(b) ∧ [p(a)] ∧ answer(a)(Resolution mit p(a) ← ¬p(b))← answer(b) ∧ [¬p(b)] ∧ [p(a)] ∧ answer(a) (Resolution mit ¬p(X) ← answer(X))← answer(b) ∧ answer(a)(Antwortklausel)Hieraus erhält man nun direkt die disjunktive Antwort {〈X ⊳ a〉, 〈X ⊳ b〉}.Dies entspricht natürlich im wesentlichen der Normalisierunganswer(X 1 , . . . , X n ) ← ψ,die bei der bottom-up“-Methode vorgenommen wurde. Tatsächlich kann man es bei”beiden Verfahren entweder als Buchführungs-Mechanismus verstehen, oder als echte Normalisierungmit logischem Inhalt.Die Buchführung über die verwendeten Default-Ausprägungen geschieht hier anders(s.u.), so daß eine Normalisierung nach Kapitel 2 nur dann nötig ist, wenn die Defaultskeine Klauseln sind.Bei den Axiomen wird natürlich auch vorausgesetzt, daß sie in die Klauseldarstellunggebracht wurden.✷Ein leichtgläubiger BeweiserNachdem jetzt also logisch korrekte Antworten berechnet werden können, sollen auchDefaults in dem Beweis benutzt werden. Am einfachsten ist zunächst die ”leichtgläubige“Default-Semantik, die später auch als Unterprogramm benötigt wird. Zunächst seien hierwieder Prioritäten ausgeschlossen, die für die Verwendung von Prioritäten notwendigenErweiterungen können jedoch auf die eine einzige Prozedur (extend) beschränkt werden,wie unten erläutert wird.

6.2. TOP-DOWN 159Die Grundidee ist nun, einfach die Verwendung der Defaults in dem Beweis zuzulassen,sie also im wesentlichen wie Axiome zu behandeln. Der leichtgläubige Beweiser ist jaauch nichts anderes als ein logischer Beweiser, angewendet auf Φ ∪ E für eine maximaleExtension E.Da man E nicht kennt, erlaubt man zunächst einfach die Verwendung beliebigerDefault-Ausprägungen δ ∈ ∆ ∗ , aber überprüft jeweils, ob δ zusammen mit den bisherim Beweis verwendeten Defaults D noch zu einer maximalen Extension erweitert werdenkann. Solange keine Prioritäten zwischen den Defaults existieren, ist dies genau dann derFall, wenn Φ ∪ D ∪ {δ} konsistent ist, d.h. Φ ∪ D ⊬ ¬δ. An dieser Stelle kann der obeneingeführte logische Beweiser verwendet werden.Um die Berücksichtigung von Prioritäten vorzubereiten, wird der Test in eine eigeneProzedur extend verlagert:extend(Φ, D, δ, D ′ ) :-not prove(Φ ∪ D, ¬δ, A),D ′ = D ∪ {δ}.Der leichtgläubige Beweiser entsteht nun aus dem bereits bekannten logischen Beweiserdurch Hinzufügung einer Regel, die Resolutionsschritte mit Defaults beschreibt. Außerdemwird noch ein Eingabeparameter D für die bisher verwendeten Defaults benötigt,sowie der Ausgabeparameter D für die insgesamt verwendeten Defaults:proveCred(Φ, ψ, A, D) :-refuteCred(Φ, ψ, ¬ψ, ∅, A, D).refuteCred(Φ, ψ, Γ, D, A, D) :-empty(Γ),A = Γ,D = D.refuteCred(Φ, ψ, Γ, D, A, D) :-ϕ ∈ Φ ∪ {¬ψ} ∪ D,resolve(Γ, ϕ, Γ ′ , ),refuteCred(Φ, ψ, Γ ′ , D, A, D).refuteCred(Φ, ψ, Γ, D, A, D) :-δ ∈ ∆,resolve(Γ, δ, Γ ′ , θ),ground(δθ, δθθ ′ ),extend(Φ, D, δθθ ′ , D ′ ),refuteCred(Φ, ψ, Γ ′ θ ′ , D ′ , A, D).Die von diesem Programm konstruierte partielle Extension D ist gerade eine Begründungim Sinne von Definition 6.1.12: Mit Hilfe dieser Default-Ausprägungen und den durch Agegebenen Grundbeispielen der Anfrage wurde die leere Klausel abgeleitet. Die Konsistenzvon Φ ∪ D stellt die Prozedur extend sicher.

160 KAPITEL 6. BERECHNUNG VON ANTWORTENEine Feinheit bei dem Programm ist noch, daß die Grundbeispiel-Bildung für dieDefault-Regel δ hier erst nach dem Resolventenschritt vorgenommen wird. Im Normalfallbindet schon die vereinheitlichende Substitution θ alle Variablen des Defaults, insbesonderegilt dies aufgrund der Bereichsbeschränkung für die klassischen Negations-Defaults(wenn man die Literale entsprechend anordnet). Falls aber δθ noch Variablen enthält, somuß man alle Grundbeispiele δθθ ′ durchprobieren. Dies entspricht dem ”floundering“ beider SLDNF-Resolution [Llo87]. Ein Beispiel für dieses Problem ist:Beispiel 6.2.6: Sei Φ := {vogel(tweety)} und ∆ := {kann fliegen(X) ← vogel(X)}.Stellt man nun die Anfrage kann fliegen(X), so ist nur der Default anwendbar, aber seineVariable wird bei dem Resolventenschritt nicht gebunden, daher kann seine Anwendbarkeitnicht geprüft werden (manche Ausprägungen sind anwendbar, andere nicht).Die offensichtliche Lösung ist, diese Überprüfung noch zu verschieben, bis X gebundenist (durch die Resolution mit vogel(tweety)). Dieses Verschieben kann etwa geschehen, indemman den Default durch das Axiom kann fliegen(X) ← vogel(X)∧default(X) ersetzt,zusammen mit dem neuen Default default(X) (entsprechend der Normalformbildung). ✷Ein vorsichtiger BeweiserBei der vorsichtigen CWA können bekanntlich gerade die Defaults δ angenommen werden,die in allen maximalen Extensionen enthalten sind. Das ist natürlich äquivalent dazu, daßes keine maximale Extension E mit δ ∉ E gibt. Für jede solche Extension müßte aberaufgrund der Maximalität schon Φ ∪ E ⊢ ¬δ gelten, sonst könnte man δ ja zu E hinzunehmen.Daher kann der vorsichtige Beweiser genau diejenigen Defaults δ annehmen,für die ¬δ nicht mit dem obigen leichtgläubigen Beweiser abgeleitet werden kann. Derleichtgläubige Beweiser berechnet hier gerade die widersprechenden Begründungen.proveCaref(Φ, ψ, A) :-refuteCaref(Φ, ψ, ¬ψ, A).refuteCaref(Φ, ψ, Γ, A) :-empty(Γ),A = Γ.refuteCaref(Φ, ψ, Γ, A) :-ϕ ∈ Φ ∪ {¬ψ},resolve(Γ, ϕ, Γ ′ , ),refuteCaref(Φ, ψ, Γ ′ , A).refuteCaref(Φ, ψ, Γ, A) :-δ ∈ ∆,resolve(Γ, δ, Γ ′ , θ),ground(δθ, δθθ ′ ),not proveCred(Φ, ¬(δθθ ′ ), , ),refuteCaref(Φ, ψ, Γ ′ θ ′ , A).

6.2. TOP-DOWN 161Da beim vorsichtigen Ansatz die Defaults unabhängig von einander angenommen werdenkönnen, ist nicht wie beim leichtgläubigen Beweiser eine Buchführung über die bisherangenommenen Defaults nötig. Sie könnte allerdings helfen, Doppelarbeit zu vermeiden.Ein skeptischer BeweiserBei der skeptischen oder minimale Modelle“-Semantik ist es nicht mehr möglich, einen”Default einfach anzunehmen oder zurückzuweisen. Es ist zu zeigen, daß die Anfrage ausallen maximalen Extensionen folgt, aber in den verschiedenen Extensionen können verschiedeneDefaults zum Beweis verwendet werden. Es ist also eine Fallunterscheidungnötig, wobei das Ziel ist, sowenig Fälle wie möglich betrachten zu müssen, und insbesonderenicht jede einzelne Extension.Der aktuelle Zustand in dieser Fallunterscheidung sind die bisher angenommenen DefaultsD, also eine partielle Extension. Zu zeigen ist, daß die Anfrage in allen von Düberdeckten Extensionen gilt, also in allen Extensionen E mit D ⊆ E.Wenn nun eine Default-Ausprägung δ in dem Beweis angenommen werden soll, wirdversucht, ¬δ mit dem leichtgläubigen Beweiser herzuleiten. Der leichtgläubige Beweiserwird dabei mit D gestartet, da er nur im aktuell betrachteten Bereich |D| nach maximalenExtensionen suchen soll, die δ nicht enthalten. Falls es solche Extensionen gibt,liefert der leichtgläubige Beweiser in dem Rückgabe-Parameter D eine Begründung für ¬δ.Man läßt den leichtgläubigen Beweiser jetzt backtracken, um alle solchen Begründungenzu erhalten. Die Menge {D 1 , . . . , D k } bildet eine vollständige Menge widersprechender”Begründungen“ (relativ zu D). Im einzelnen hat sie folgende Eigenschaften:• D ⊆ D i für i = 1, . . . , k,• für jedes D i gibt es eine maximale Extension E i mit D i ⊆ E i ,• Φ ∪ D i ⊢ ¬δ,• für jede maximale Extension E mit D ⊆ E und Φ ∪ E ⊢ ¬δ gibt es D i mit D i ⊆ E.Betrachtet man die Menge der überdeckten Extensionen, so ergibt sich folgendes Bild:✬D✬D ∪ {δ}✫D 1✬✫✫✩· · ·✪D k✬✫✩✩✪✩✪✪

162 KAPITEL 6. BERECHNUNG VON ANTWORTENNach dem Ausgang des leichtgläubigen Beweises von ¬δ sind folgende Fälle zu unterscheiden:• Der Beweis schlägt fehlt, also k = 0: Dann ist δ also in allen maximalen ExtensionenE ⊆ |D| enthalten und kann ohne weitere Fallunterscheidung angenommenwerden.• Eines der D i ist gerade D: Dann ist δ in keiner maximalen Extension E ∈ |D|enthalten und kann nicht angenommen werden.• Andernfalls ist eine Fallunterscheidung nötig, denn δ ist in einer, aber nicht allenExtensionen aus |D| enthalten. Die Idee ist nun einfach, daß man für die übrigenExtensionen einen anderen Beweis benötigt (der δ nicht verwendet). Man ruft alsoden skeptischen Beweiser rekursiv mit jedem D i auf. Diese Rekursion terminiert, weiljedes D i eine echte Obermenge von D ist (außerdem ist die Anzahl der betrachtetenmaximalen Extensionen echt kleiner geworden).Beispiel 6.2.7: Sei Φ := {p(a), p(b), q(a) ∨ q(b)} und ∆ := {¬p(X), ¬q(X)}. AlsAnfrage sei nun p(X) ∧ ¬q(X) betrachtet. Der Beweis beginnt mit D := ∅, d.h. es werdenalle maximalen Extensionen betrachtet. Es wird nun p(X) mit dem Axiom p(a) resolviert,anschließend kann nur die Default-Ausprägung ¬q(a) verwendet werden. Aber q(a) kannmit dem leichtgläubigen Beweiser unter der Annahme von D := {¬q(b)} abgeleitet werden.Also muß nun die Anfrage beginnend mit D := {¬q(b)} hergeleitet werden. Es wirdwieder zuerst mit p(a) resolviert, aber nun wird der Default ¬q(a) sofort widerlegt. Alsowird nach dem Backtracking das Axiom p(b) verwendet. Zusammen mit dem bereits angenommenenDefault ¬q(b) wird die leere Klausel abgeleitet. Dies liefert die Antwort 〈X⊳b〉für den durch D = {¬q(b)} beschriebenen Bereich.Nun kann der ursprüngliche Beweis mit D := {¬q(a)} fortgesetzt werden. Man erhältauch hier die leere Klausel und den Anteil 〈X ⊳ a〉 zu der Antwort {〈X ⊳ a〉, 〈X ⊳ b〉}. ✷Aus diesen Überlegungen ergibt sich der folgende Algorithmus. Es wird dabei das eingebautePrädikat findall verwendet, das mittles Backtracking alle Lösungen eines nichtdeterministischenAufrufs liefert.proveSkept(Φ, ψ, A) :-refuteSkept(Φ, ψ, ¬ψ, ∅, A).refuteSkept(Φ, ψ, Γ, D, A) :-empty(Γ),A = Γ.refuteSkept(Φ, ψ, Γ, D, A) :-ϕ ∈ Φ ∪ {¬ψ} ∪ D,resolve(Γ, ϕ, Γ ′ , ),refuteSkept(Φ, ψ, Γ ′ , D, A).

6.2. TOP-DOWN 163refuteSkept(Φ, ψ, Γ, D, A) :-δ ∈ ∆,resolve(Γ, δ, Γ ′ , θ),groundInst(δθ, δθθ ′ ),findall(D, refuteCred(Φ, ¬(δθθ ′ ), δθθ ′ , D, , D), {D 1 , . . . , D k }),D ∉ {D 1 , . . . , D k },proveSkeptMulti(Φ, ψ, {D 1 , . . . , D k }, A 0 ),refuteSkept(Φ, ψ, Γ ′ θ ′ , D ∪ {δθθ ′ }, A 1 ),A = A 0 ∨ A 1 .Das Prädikat proveSkeptMulti berechnet durch rekursiven Aufruf des skeptischen Beweisersalternative Antworten für die übrigen Extensionen {D 1 , . . . , D k }:proveSkeptMulti(Φ, ψ, {D 1 , . . . , D k }, A) :-refuteSkept(Φ, ψ, ¬ψ, D 1 , A 0 ),proveSkeptMulti(Φ, ψ, {D 2 , . . . , D k }, A 1 ),A = A 0 ∨ A 1 .proveSkeptMulti(Φ, ψ, ∅, false).Erweiterung auf Defaults mit PrioritätsstufenIn den oben angegebenen Algorithmen wurde nur in der Prozedur extend benutzt, daßes zwischen den Defaults keine Prioritäten gibt. Dort wurde davon ausgegangen, daß einepartielle Extension D := {δ 1 , . . . , δ n−1 } um einen Default δ n erweitert werden kann, wennΦ ∪ D ⊬ ¬δ n .Dies reicht bei priorisierten Defaults nicht mehr aus, wie man sich leicht an folgendemBeispiel klarmachen kann:Φ := {p ∨ q}, ∆ := {¬p, ¬q}, l(¬p) := 1, l(¬q) := 2.Hier gilt Φ ∪ ∅ ⊬ q, aber D ′ := {¬q} ist keine partielle Extension (die einzige maximaleExtension ist E := {¬p}).Man kann hier stufenweise vorgehen, indem man testet, ob ¬δ 1 ∨ · · · ∨ ¬δ n mit demskeptischen Beweiser bezüglich∆ ′ := { δ ∈ ∆ ∣ ∣ δ < max{l(δ i ) | 1 ≤ i ≤ n} }bewiesen werden kann (eine solche Methode wird in [BG89] verwendet).Diese Lösung ist jedoch nicht verträglich mit dem Ziel, die Anwendbarkeit der Defaultsso früh wie möglich zu testen — zumindest müßte man dann die Berechnung bei jedemneu hinzugenommenen Default wiederholen. Man braucht hier also eine inkrementelleVorgehensweise, ähnlich wie im nicht priorisierten Fall.Sei im folgenden zur Abkürzung wieder∆ i := {δ ∈ ∆ | l(δ) ≤ i}.

164 KAPITEL 6. BERECHNUNG VON ANTWORTENDer Schlüssel zu einer inkrementellen Berechnung partieller Extensionen ist nun folgenderBegriff von stabiler Extension“, bei der jeder Default δ ∈ D gegen widersprechende” ”Begründungen“ aus ∆ ∗ l(δ)−1 durch andere Defaults aus D geschützt“ ist:”Definition 6.2.8 (Stabile Extension): D = {δ 1 , . . . , δ n } heißt stabile (∆, l)-Extensiongenau dann, wenn es für kein i ∈ {1, . . . , n} ein ˆD i ⊆ ∆ ∗ l(δ i )−1gibt mit• Φ ∪ {δ 1 , . . . , δ i−1 } ∪ ˆD i ist konsistent, und• Φ ∪ {δ 1 , . . . , δ i−1 } ∪ ˆD i ⊢ ¬δ i .Satz 6.2.9: Sei D eine stabile (∆, l)-Extension. Dann gibt es eine maximale (∆, l)-Extension E mit D ⊆ E.Beweis: Die Behauptung wird mit Induktion über der Anzahl n der in D vorkommendenDefaults bewiesen. Im Fall n = 0 ist die Behauptung trivial, denn es gibt mindestens einemaximale Extension.Sei die Behauptung nun für n − 1 bewiesen und ein neuer Default δ n in D einzufügen,d.h. D = {δ 1 , . . . , δ n }. Nach Induktionsannahme gibt es eine maximale Extension E ′ mit{δ 1 , . . . , δ n−1 } ⊆ E ′ . Sei nunˆD n := E ′ ∩ ∆ ∗ l(δ n)−1 .Natürlich ist Φ ∪ {δ 1 , . . . , δ n−1 } ∪ ˆD n konsistent, also ist nach der Voraussetzung auchkonsistent.Φ ∪ {δ 1 , . . . , δ n−1 } ∪ ˆD n ∪ {δ n }Man konstruiert nun E, indem man hiervon ausgehend auf jeder Stufe eine maximale Mengevon Defaults hinzunimmt, so daß die Konsistenz erhalten bleibt: Sei E 0 := {δ 1 , . . . , δ n } ∪ ˆD nDamit istD ⊆ E 0 und E 0 ∩ ∆ ∗ l(δ n)−1 = E′ ∩ ∆ ∗ l(δ n)−1 .Sei nun δ 1 ′ , . . . , δ′ m eine Aufzählung der Defaults aus ∆ ∗ − ∆ ∗ l(δ n)−1, die verträglich mit denPrioritätsstufen ist (Defaults mit niedrigerem l-Wert kommen zuerst). Dann sei{E i−1 ∪ {δ j ′ E i :=} falls Φ ∪ E i−1 ∪ {δ j ′ } konsistent istsonst.E i−1Schließlich sei E := E m .Nach Konstruktion ist Φ ∪ E konsistent und es gilt D ⊆ E. Zu zeigen ist noch die Maximalitätsforderung.Da E in den Defaults der Stufen < l(δ n ) mit E ′ übereinstimmt, kann dieMaximalitätsforderung höchstens durch einen der Defaults δ ′ 1 , . . . , δ′ m verletzt werden. Angenommen,für ein δ ′ j ∉ E wäreΦ ∪ {δ ∈ E | l(δ) ≤ l(δ ′ j)} ∪ {δ ′ j}konsistent. Nach Konstruktion istΦ ∪ {δ ∈ E | l(δ) ≤ l(δ ′ j)} ∪ {δ ′ j} ∪ {δ 1 , . . . , δ n−1 }inkonsistent. Sei i nun minimal, so daßΦ ∪ {δ ∈ E | l(δ) ≤ l(δ ′ j)} ∪ {δ ′ j} ∪ {δ 1 , . . . , δ i }

6.2. TOP-DOWN 165inkonsistent ist. Es gilt l(δ ′ j ) < l(δ i), denn wegen δ i ∈ E wäre δ i sonst in dem als konsistentbekannten Anteil. Damit wäre die Eigenschaft von ”stabiler Extension“ aber für δ i undˆD i := {δ ∈ E | l(δ) ≤ l(δ ′ j)} ∪ {δ ′ j}verletzt.✷Stabile Extensionen kann man nun mit dem skeptischen Beweiser berechnen, und zwarruft man ihn mit der bisherigen stabilen Extension auf und versucht die Negation desneuen Defaults δ zu beweisen, wobei nur Defaults mit echt kleinerem l-Wert verwendetwerden dürfen (deswegen terminiert die Rekursion). Falls der skeptische Beweis nungelingt, so kann δ natürlich nicht angenommen werden. Andernfalls betrachtet man diebei der Fallunterscheidung erzeugten partiellen Extensionen, in denen kein leichtgläubigerBeweis von ¬δ möglich war. Sie bilden zusammen mit δ eine stabile Extension.Der günstigste Zeitpunkt für die Prüfung der DefaultsOben wurde erläutert, daß es ein wesentlicher Vorteil der hier angegebenen Methode ist,die Anwendbarkeit der Defaults so früh wie möglich zu testen, und diesen Test nicht aufeine zweite Phase zu verschieben. Allerdings ist dies nicht immer der günstigste Zeitpunkt.Dies sei an der Regelp ← ¬q ∧ rerläutert. Wenn die Überprüfung des Defaults ¬q sehr aufwendig ist und wenn der Beweisvon r sehr schnell fehlschlägt, dann ist es natürlich günstiger, zuerst den Beweis von r zuversuchen: Da dies fehlschlägt, braucht man den Default nicht mehr zu überprüfen. Eskann allerdings auch die umgekehrte Situation eintreten, daß der Default schnell widerlegtwird, während der Beweis von r sehr aufwendig ist. In diesem Fall hätte man den Defaultzuerst testen sollen.Der richtige Zeitpunkt für die Überprüfung der Defaults ist also anwendungs-abhängig.Die hier angegebene Methode kann aber leicht so verallgemeinert werden, daß der Datenbankentwerfersteuern kann, wann die Defaults überprüft werden (innerhalb der Regelnist dies schon jetzt durch die Anordnung der Literale zu steuern). Dagegen sind diein [Prz89, Gin89, BG89] vorgeschlagenen Verfahren inhärent zweiphasig (erst werden Folgerungenunter Verwendung beliebiger Defaults berechnet, dann die Anwendbarkeit derDefaults überprüft).

166

Kapitel 7AusblickZiel dieser Arbeit war es, die Semantik von Defaults zu klären und die algorithmischenGrundlagen für die Anfrage-Auswertung unter Berücksichtigung von Defaults zu legen.Damit sollte ein sauberes und tragfähiges Fundament für die Erweiterung deduktiverDatenbanken um allgemeine Klauseln und Defaults gelegt werden.In diesem Kapitel sollen nun Perspektiven für die weitere Arbeit aufgezeigt werden.DynamikDer Inhalt einer Datenbank ist üblicherweise ständigen Änderungen unterworfen. Wenndiese Änderungsoperationen nicht vorbereitet sind, also im Extremfall mit einem Texteditoreinfach die Formelmenge geändert wird, dann ist das einerseits unbequem undandererseits gefährlich für die Integrität der Datenbank: Es kann ja leicht passieren, daßder Datenbankzustand durch einen Eingabefehler sinnlos wird.Natürlich könnte man Programme in einer höheren Programmiersprache schreiben, diediese Änderungen kontrolliert vornehmen. Das hat aber den Nachteil, daß die Semantikdieser Programme schwer formal zu behandeln ist, so daß der einfache deklarative Rahmendeduktiver Datenbanken verlassen wird.Besser ist es, diese Änderungsoperationen stattdessen in geeigneten Logiken zu spezifizieren,etwa dynamischer oder temporaler Logik. Ein solcher Ansatz wurde auch imIS-CORE Projekt gewählt [SS91, ESS92]. Ziel dieses Projektes ist es, den Entwurf vonbeweisbar korrekten Informationssystemen zu ermöglichen und die Wiederverwendbarkeitvon Spezifikationen zu unterstützen. Dabei wurde ein objekt-orientierter Ansatz gewählt,wobei die Objekte über gemeinsame Ereignisse kommunizieren.In Abschnitt 3.3 wurde schon motiviert, daß bei der Semantik von ÄnderungsoperationenDefaults eine zentrale Rolle spielen. Es bleibt hier aber noch viel zu untersuchen.Zunächst sind die Ergebnisse dieser Arbeit auf solche allgemeineren Logiken zu übertragen,und dann auch das Zusammenspiel der verschiedenen Arten von Defaults zu klären(etwa zeitliche Defaults und solche, die die Vererbung beschreiben).Außerdem sind natürlich auch die Antwortalgorithmen entsprechend zu erweitern.167

168 KAPITEL 7. AUSBLICKDies ist wohl keine leichte Aufgabe, zumindest, wenn man mächtige Anfragen zuläßt(etwa Planungsaufgaben).Als Beispiel für den Nutzen solcher Beweiser sei ein kommerzielles Textadventurespiel( ”The Pawn“) genannt, bei dem man eine wesentliche Aufgabe in einer von den Autorenoffensichtlich nicht vorhergesehenen Weise umgehen konnte. So ein Textadventurespiel istim Grunde auch nichts anderes als eine Datenbank mit einem umfangreichen Satz vorgefertigterÄnderungsoperationen (und einer natürlichsprachlichen Schnittstelle). Wäre dasAdventurespiel nun in einer temporalen Logik spezifiziert worden, und hätte man einenentsprechenden Beweiser, so hätte man die naheliegende Anfrage stellen können, ob alleAufgaben erst gelöst werden müssen, bevor der Gewinnzustand erreicht wird.Module, Objekt-OrientierungBei größeren Datenbanken ist natürlich eine Strukturierung in kleine, überschaubare Einheitenunbedingt wünschenswert. Dies könnte eine objekt-orientierte Vorgehensweise leisten.Umgekehrt darf man aber natürlich auch nicht die Vorteile einer logikbasierten Spezifikationverlieren: die meisten zur Zeit verfügbaren objekt-orientierten Systeme sind eherimperativ und haben keine formale Semantik. Eine Integration von objekt-orientiertenund deduktiven Ansätzen ist daher ein aktuelles Forschungsthema.Da sich die Semantik der Vererbung mit Defaults erklären läßt, sind die hier gelegtenGrundlagen natürlich auch für eine solche Integration nützlich.Der Ausbau auf eine dynamische Logik ist oben schon genannt worden: Ein wichtigerUnterschied zwischen objekt-orientierten und deduktiven Ansätzen ist ja der Zustandsbegriff,der als lokaler Speicher zu Objekten unbedingt dazugehört, von den Verfechterneiner deduktiven Vorgehensweise aber als Rückfall in die Zeiten imperativer Programmierungabgelehnt wird. Mit einer dynamischen oder temporalen Logik kann man hier nundoch noch eine Integration erreichen.Logische Spezifikationen verletzen leicht das Lokalitätsprinzip, da sich jede Regel jaauch umgekehrt als Kontraposition lesen läßt. Hier haben objekt-orientierte Ansätze denVorteil, daß sich klar zwischen definierenden und benutzenden Vorkommen eines Symbolsunterscheiden läßt. In [BL91] wurde eine entsprechende Forderung auch in die Semantikeiner logischen Spezifikation eingebaut, was sich als überraschend mächtiger Mechanismusherausgestellt hat. Weitere Untersuchungen sind hier nötig.Datenstrukturen, Komplexe ObjekteEin wichtiger Unterschied von DATALOG zu Prolog ist der Verzicht auf Funktionssymbole,also auf Datenstrukturen wie etwa Listen und Bäume. Auch beim relationalenDatenmodell hat sich Beschränkung auf atomare Werte als zu stark für bestimmte Anwendungenerwiesen; es gibt hier Vorschläge für geschachtelte Relationen [SS86] oderListen [GZC89].

169Entsprechend besteht bei einigen Anfragesprachen für deduktive Datenbanken [NT89]die Möglichkeit, direkt auf Mengen von Objekten Bezug zu nehmen, wie etwa bei einerLogik 2. Stufe (aber mit Einschränkungen, um die Berechenbarkeit sicherzustellen). Ineiner solchen Sprache sind Aggregationen (z.B. die Summe aller Posten einer Rechnung)natürlich kein Problem.Wünschenswert wäre ein entsprechender Ausbau des hier vorgeschlagenen Ansatzes.DatenbankentwurfBeim relationalen Datenmodell gibt es eine umfangreiche Theorie, um die Aufgabe desDatenbankentwurfs zu unterstützen. Diese Aufgabe ist natürlich in einer deduktivenDatenbank eher noch komplizierter, weil es mehr Parameter gibt. Andererseits sind abernatürlichere Formulierungen möglich, während man beim relationalen Datenbankentwurfmanchmal nach der am wenigsten schlechten“ Lösung suchen muß.”Der Datenbankentwurf in einem logischen Datenmodell wurde in [BC89, Con89] untersucht.Es bleibt zu untersuchen, inwieweit sich die dort erzielten Ergebnisse auf den hierverfolgten Ansatz übertragen lassen. Zusätzlich ergeben sich aber durch die erweitertenMöglichkeiten hinsichtlich Defaults und allgemeinen Klauseln ganz neue Fragestellungen.Konkrete Syntax, EntwurfswerkzeugeNachdem die theoretischen und algorithmischen Grundlagen gelegt sind, sollten natürlichauch realistische Anwendungsbeispiele ausgearbeitet werden. Dafür ist eine möglichst bequemeSyntax mit nützlichen Abkürzungen wünschenswert. Auch eine graphische Sprachefür den ”Entwurf im großen“ wäre hilfreich.Außerdem sollten natürlich Entwurfswerkzeuge zur Verfügung gestellt werden. Nebensyntaxgestützten und graphischen Editoren ist hier insbesondere ein Konsistenzprüfer zunennen (siehe z.B. [BDM88, LNP + 89]).ImplementierungDiese Arbeit enthält die algorithmischen Grundlagen, aber es sind natürlich noch vieleOptimierungen auf verschiedenen Ebenen möglich und nötig.Prototypen des ”top-down“ [Ern92, Bra92a] und des ”bottom-up“ Verfahrens [Bri92]sind inzwischen verfügbar. Jetzt muß es das Ziel sein, Erfahrungen mit diesen Programmenzu sammeln, und so Verbesserungsmöglichkeiten zu erkennen.Insbesondere sollen natürlich die Vorteile beider Verfahren verbunden werden, wiedas bei deduktiven Datenbanken normalerweise mit ”magischen Mengen“ [BR86, Ull89,Bry90] oder ähnlichen Techniken erreicht wird. Auch im Bereich des logischen Programmierensgibt es entsprechende Vorschläge [Bur91]. Eine Anwendung dieser Methode aufden hier verfolgten Ansatz sollte möglich sein.

170 KAPITEL 7. AUSBLICKDer ”bottom-up“ Ansatz sollte langfristig auch um eine angepaßte Externspeicher-Verwaltung erweitert werden. Wie in Kapitel 6 erläutert wurde, ist die Benutzung einesrelationalen Datenbanksystems nur ein Behelf. Auch ein NF 2 -System müßte schon sehrspezielle Optimierungen enthalten, um eine effiziente Implementierung dieses Verfahrenszuzulassen.Für den ”top-down“ Ansatz lassen sich viele der Implementierungstechniken von Prologübernehmen. Interessant wäre insbesondere eine Compilierung. Es ist nicht unrealistisch,daß man für stratifizierte Klauselmengen dieselbe Effizienz wie Prolog erreicht,und bei sparsamer Verwendung allgemeinerer Konstrukte nur wenig an Effizienz verliert.

SymbolverzeichnisGriechische Buchstabenα Variablenbelegung (2.1.12, S. 18)β Bindungstyp der Prädikate, Bestandteil von Σ (2.1.2, S. 14)γ Sortierung der Konstanten, Bestandteil von Σ (2.1.2, S. 14)Γ Zielklausel∆ Menge aller Defaults (2.2.2, S. 28)∆ ∗ Menge der Default-Ausprägungen (2.2.4, S. 30)δ Default oder Default-Ausprägung (2.2.2, S. 28)θ SubstitutionΞ Variablendeklaration: X → S (2.1.8, S. 17)π Sortierung der Prädikate, Bestandteil von Σ (2.1.2, S. 14)Σ Signatur (2.1.2, S. 14)Φ Menge der Axiome (Formeln) (2.2.1, S. 27)ϕ Axiom oder allgemeine Formel (2.1.11, S. 18)ψ Anfrage (2.3.1, S. 39)Ω Konflikt (6.1.25, S. 142)Lateinische BuchstabenA Alphabet, Zeichenvorrat (2.1.1, S. 14)A L Logische Zeichen, Teilmenge von A (2.1.1, S. 14)A V Menge der Variablen, Teilmenge von A L (2.1.1, S. 14)C Menge der Konstanten von Σ (2.1.2, S. 14)c Konstante, Element von C (2.1.2, S. 14)D Begründung (6.1.12, S. 139)E Maximale Extension, Teilmenge von ∆ (5.2.1, S. 102)I Interpretation (meist Herbrandinterpretation) (2.1.4, S. 16)I Menge von (Herbrand-)Interpretationen (2.1.4, S. 16)171

172 SYMBOLVERZEICHNISI Σ Menge aller Herbrand-Interpretationen über Σ (2.1.4, S. 16)i Natürliche Zahlj Natürliche Zahlk Natürliche ZahlL Σ Menge aller quantorenfreien Formeln über Σ (2.1.11, S. 18)L ∗ ΣL + ΣMenge aller variablenfreien Formeln über Σ (2.1.11, S. 18)Menge aller bereichsbeschränkten Formeln über Σ (2.1.19, S. 21)l Prioritätsstufe, ∆ → IN, je kleiner, desto höhere Priorität (2.2.3, S. 29)m Natürliche ZahlIN Menge der natürlichen Zahlen 1, 2, . . .n Natürliche ZahlP Prädikate von Σ, Teilmenge von A (2.1.2, S. 14)p Prädikat, Element von P (2.1.2, S. 14)q Prädikat, Element von P (2.1.2, S. 14)r Prädikat, Element von P (2.1.2, S. 14)S Sorten von Σ, Teilmenge von A (2.1.2, S. 14)s Sorte, Element von S (2.1.2, S. 14)t Term, Element von C ∪ X (2.1.9, S. 18)u Term, Element von C ∪ X (2.1.9, S. 18)X Menge von Variablen, Teilmenge von A V (2.1.1, S. 14)X Variable, Element von A V (2.1.1, S. 14)Y Variable, Element von A V (2.1.1, S. 14)Bezeichner mit mehreren Buchstabencomp syntaktische Vervollständigung (2.2.9, S. 35)cwa ∆ vorsichtige CWA (5.2.4, S. 103)cwa (∆,l) vorsichtige CWA mit Prioritätsstufen (5.2.7, S. 104)cwa (∆,❁) vorsichtige CWA mit partiell geordneten Defaults (5.2.7, S. 104)min ≺ minimale Modelle Vervollständigung bezüglich ≺ (5.1.2, S. 90)min ∆ minimale Modelle Vervollständigung bezüglich ≺ ∆ (5.1.2, S. 90)min (∆,l) minimale Modelle Vervollständigung bezüglich ≺ (∆,l) (5.1.11, S. 95)min (∆,❁) minimale Modelle Vervollständigung bezüglich ≺ (∆,❁) (5.1.18, S. 98)Mod(Φ) Menge der Herbrandmodelle von Φ (2.1.15, S. 19)mcwa (∆,❁) modifizierte CWA (5.3.3, S. 112)ncwa (∆,❁) naive CWA (4.3.7, S. 86)

SYMBOLVERZEICHNIS 173scwa (∆,❁) starke CWA (5.3.7, S. 114)sel modelltheoretische Vervollständigung (2.2.6, S. 30)Th(I) eine Formelmenge mit den Modellen I (2.1.15, S. 19)th(I) eine variablenfreie Formel mit den Modellen I (2.1.15, S. 19)Sonstige Zeichen∧ Junktor ”und“ in logischen Formeln, Element von A L∨ Junktor ”oder“ in logischen Formeln, Element von A L← Junktor ”wenn“ in logischen Formeln, Element von A L→ Junktor ”dann“ in logischen Formeln, Element von A L¬ Junktor ”nicht“ in logischen Formeln, Element von A L∼ Umwandlung zwischen positiven und negativen Literalen (2.1.24, S. 24)⇐= metasprachliches ”wenn“=⇒ metasprachliches ”dann“⇐⇒metasprachliches ”genau dann, wenn“:⇐⇒ gelte definitionsgemäß genau dann, wenn“”:= sei definiert als“”∼ = ist logisch äquivalent zu“ (2.1.15, S. 19)”∼ =∆ ∗ erfüllt dieselben Defaults (4.3.1, S. 84)|= ”ist Modell von“ (2.1.15, S. 19)⊢ die logische Folgerungsrelation (2.1.15, S. 19)⊢ c vervollständigte Folgerungsrelation (2.2.10, S. 36)⊢ sel durch sel gegebene vervollständigte Folgerungsrelation (2.2.11, S. 37)⊢ comp durch comp gegebene vervollständigte Folgerungsrelation (2.2.11, S. 37)⊢ cons(∆,❁)konstruktive Implikation (5.3.11, S. 116)⊆ ”ist Teilmenge von (oder gleich)“⊂ ”ist echte Teilmenge von“✷ die leere Klausel (2.1.25, S. 25)❁ Prioritätsrelation auf ∆ bzw. ∆ ∗ , kleiner: höhere Priorität (2.2.3, S. 29)≺ Präferenzrelation auf den Modellen (5.1.2, S. 90)≺ ∆ durch ∆ gegebene Präferenzrelation (5.1.1, S. 90)≺ (∆,l) durch (∆, l) gegebene Präferenzrelation (5.1.11, S. 95)≺ (∆,❁) durch (∆, ❁) gegebene Präferenzrelation (5.1.18, S. 98)|D| von D überdeckte maximalen Extensionen (6.1.19, S. 141)

174

Literaturverzeichnis[ABW88] K. R. Apt, H. A. Blair, A. Walker: Towards a theory of declarativeknowledge. In J. Minker (ed.), Foundations of Deductive Databases and LogicProgramming, 89–148, Morgan Kaufmann Publishers, Los-Altos (Calif.),1988.In dieser Arbeit wurden stratifizierte logische Programme mit ihrer Fixpunktsemantikeingeführt, die Konsistenz der CDB für solche Programme gezeigt,und die Grundlagen passender Interpreter untersucht (60 Seiten).[App85] H.-J. Appelrath: Von Datenbanken zu Expertensystemen. Informatik-Fachberichte 102. Springer-Verlag, Berlin, 1985.Gegenstand dieses Buches sind deduktive Datenbanken und ihre Anwendungzur Wissensbereitstellung für Expertensysteme (159 Seiten).[BC89] J. Biskup, B. Convent: Towards a schema design methodology for deductivedatabases. In J. Demetrovics, B. Thalheim (eds.), 2nd Symposiumon Mathematical Fundamentals of Database Systems (MFDBS’89),37–52, LNCS 364, Springer-Verlag, Berlin, 1989.In dieser Arbeit wird ein allgemeiner Ansatz für den Datenbank-Entwurf indeduktiven Datenbanken entwickelt. Insbesondere wird der Begriff der Anfragetreuedefiniert, mit dem man formalisieren kann, daß das transformierteSchema noch dieselben Informationen enthält (16 Seiten).[BDM88] F. Bry, H. Decker, R. Manthey: A uniform approach to constraintsatisfaction and constraint satisfiability in deductive databases. In Advancesin Database Technology — EDBT’88, 488–505, LNCS 303, Springer-Verlag,1988.In dieser Arbeit wird ein Ansatz zur Vereinfachung statischer Integritätsbedingungenbei deduktiven Datenbanken vorgestellt. Außerdem wird auf dasProblem der Überprüfung von Integritätsbedingungen auf Konsistenz eingegangen;die vorgeschlagene Lösung setzt Techniken der Integritätssicherungein (18 Seiten).[Bes88] P. Besnard: An Introduction to Default Logic. Springer-Verlag, Berlin,1988.In diesem Lehrbuch wird die Default-Logik ausführlich und formal behandelt,daneben aber auch die verschiedenen Varianten der Circumscription undandere nicht-monotonen Logiken (208 Seiten).175

176 LITERATURVERZEICHNIS[BG89][BH86]A. B. Baker, M. L. Ginsberg: A theorem prover for prioritized circumscription.In Proc. 11th International Joint Conf. on Artificial Intelligence(IJCAI), 463–467, 1989.Diese Arbeit enthält einen Vorschlag für einen Beweiser, der Defaults mitPrioritätsstufen berücksichtigt. Interessant ist auch der Vergleich mit zweiKontrahenten, die sich auf jeder Prioritätsstufe widersprechende Argumentepräsentieren. Der wesentliche Unterschied zu dem hier vorgeschlagenen topdownBeweiser ist die mehrphasige Vorgehensweise, die die Anwendbarkeitder Defaults erst ganz zum Schluß prüft (5 Seiten).N. Bidoit, R. Hull: Positivism vs. minimalism in deductive databases. InProc. of the 5th ACM Symp. on Principles of Database Systems (PODS’86),123–132, 1986.In diesem Artikel wird versucht, Clark’s CDB und die minimalen Modellezu integrieren, um eine Semantik für disjunktive Regeln zu haben. Besondershilfreich ist aber vor allem die Idee der kausalen Modelle, die äquivalent zurCDB sind, aber viel übersichtlicher (10 Seiten).[BL89] S. Brass, U. W. Lipeck: Specifying closed world assumptions for logicdatabases. In J. Demetrovics, B. Thalheim (eds.), 2nd Symposiumon Mathematical Fundamentals of Database Systems (MFDBS’89), 68–84,LNCS 364, Springer-Verlag, Berlin, 1989.[BL91]In dieser Arbeit wird die parametrisierte CWA definiert, modelltheoretischcharakterisiert, und gezeigt, wie sich die verschiedenen Varianten der CWA indiesem Rahmen repräsentieren lassen (17 Seiten).S. Brass, U. W. Lipeck: Semantics of inheritance in logical object specifications.In C. Delobel, M. Kifer, Y. Masunaga (eds.), Deductive andObject-Oriented Databases, 2nd Int. Conf. (DOOD’91), 411–430, LNCS 566,Springer-Verlag, Berlin, 1991.Diese Arbeit enthält einen Vorschlag für die Semantik objekt-orientierterSpezifikationen mit abgeleiteten Attributen, die über Regeln definiert werden.Das Überschreiben ererbter Regeln wird dabei mit hierarchischen Defaultsdefiniert. Es wird hier insbesondere auch die Lokalitätsforderung objektorientierterSpezifikationen berücksichtigt (20 Seiten).[BL92] S. Brass, U. W. Lipeck: Generalized bottom-up query evaluation.In Advances in Database Technology — EDBT’92, 3rd Int. Conf., 88–103,LNCS 580, Springer-Verlag, 1992.In dieser Arbeit wird der ”Bottom-Up“ Ansatz zur Anfrage-Auswertung aufallgemeine Klauseln und allgemeine Defaults erweitert. Zur Darstellung disjunktiverInformation werden dabei NF 2 -Relationen benutzt (16 Seiten).[BN77] E. Bergmann, H. Noll: Mathematische Logik mit Informatik-Anwendungen.Heidelberger Taschenbücher 187. Springer-Verlag, Berlin, 1977.Ein ausführliches Lehrbuch über die Prädikatenlogik, mit einem Kapitel überautomatisches Beweisen (324 Seiten).

LITERATURVERZEICHNIS 177[BR86][Bra88]F. Bancilhon, R. Ramakrishnan: An amateur’s introduction to recursivequery processing. In C. Zaniolo (ed.), Proc. of SIGMOD’86, 16–52, 1986.Diese Arbeit gibt einen Überblick über verschiedene Anwortalgorithmen fürHornklausel-Datenbanken, auch die ”magic set“ Techniken. Es werden detaillierteEffizienzvergleiche durchgeführt (37 Seiten).S. Brass: Vervollständigungen für Logikdatenbanken. Diplomarbeit, Informatik,Techn. Univ. Braunschweig, 1988. Überarbeitete Version erschienenals Forschungsbericht 315/1989, Informatik, Univ. Dortmund.Dieser Bericht enthält eine vergleichende Literaturübersicht über die ”minimaleModelle“ Vervollständigungen, die CWAs (Closed World Assumptions),die Circumscriptions und die CDB (Completed Data Base) (230 Seiten).[Bra90a] S. Brass: Beginnings of a theory of general database completions. InS. Abiteboul, P. C. Kanellakis (eds.), Third International Conferenceon Database Theory (ICDT’90), 349–363, LNCS 470, Springer-Verlag, Berlin,1990.[Bra90b]In dieser Arbeit sind Vervollständigungen aus dem Blickwinkel der mathematischenTheorie der Wahlverfahren untersucht worden. Insbesondere konntendadurch die Vervollständigungen der Klasse der minimalen Modelle charakterisiertwerden. Außerdem wurde die Ausdrucksfähigkeit der verschiedenenRepräsentationen von Vervollständigungen verglichen (15 Seiten).S. Brass: Remarks on first order circumscription. Unveröffentliches Manuskript,1990.In dieser Arbeit wird gezeigt, daß die First Order Circumscription nicht kumulierendist. Außerdem wird auf die Frage überzähliger freier Variablen inden λ-Ausdrücken eingegangen, die in das Formelschema der Circumscriptioneingesetzt werden. Es wird gezeigt, daß sie selbst im nicht-rekursivenFall die Konsistenz der Circumscription zerstören können, und daß sie beiHorn-Klauseln nicht nötig sind (13 Seiten).[Bra92a] S. Brass: CWA Prover 1.1 User Manual, 1992.Dies ist die Anleitung zu einer Prototyp-Implementierung des in [Bra92b]vorgeschlagenen ”top-down“ Beweisers. Das in Prolog geschriebene Programmist mit anonymem ftp von “wega.informatik.uni-hannover.de” (130.75.26.1)erhältlich.[Bra92b] S. Brass: Deduction with supernormal defaults. In K. P. Jantke,G. Brewka, P. H. Schmitt (eds.), Nonmonotonic and Inductive Logics,2nd International Workshop (NIL’91), LNAI, Springer-Verlag, Berlin, 1992.In dieser Arbeit wird ein ”Top-Down“ Antwortalgorithmus für allgemeineCWAs entwickelt. Daneben enthält sie Material zur Semantik partiell geordneterDefaults, insbesondere zur Unterscheidung zwischen maximalen Extensionenund konstruktiven Extensionen (22 Seiten).[Bre91] G. Brewka: Nonmonotonic Reasoning: Logical Foundations of Commonsense.Cambridge University Press, Cambridge, 1991.

178 LITERATURVERZEICHNISDieses Lehrbuch gibt einen umfassenden Überblick über die verschiedenenAnsätze zum nichtmonotonen Schließen und ist nicht so technisch wie mancheder anderen Lehrbücher (168 Seiten).[Bri92] A. Brinkmann: Verallgemeinerte Bottom-Up Auswertung. Diplomarbeit,Inst. für Informatik, Universität Hannover, 1992.[BRL91][Bry90][BS85]In dieser Arbeit ist der Bottom-Up Ansatz zur Anfrageauswertung mit allgemeinenKlauseln und beliebigen Defaults programmiert worden (in ”C“). Dakein NF 2 -Datenbanksystem zur Verfügung stand, wurde die Datenbank imHauptspeicher simuliert.S. Brass, M. Ryan, U. W. Lipeck: Hierarchical defaults in specifications.In G. Saake, A. Sernadas (eds.), Information Systems — Correctness andReusability, Workshop IS-CORE ’91, 179–201, Informatik-Bericht 91-03, TUBraunschweig, 1991.Diese Arbeit definiert die Semantik hierarchischer Defaults für allgemeine Logikenund insbesondere für die Aktions-Logik des IS-CORE Projekts. Es wirddabei der Instanziierungsmechanismus als Parameter der Vervollständigungeingeführt (23 Seiten).F. Bry: Query evaluation in recursive databases: bottom-up and top-downreconciled. Data & Knowledge Engineering 5 (1990), 289–312.In dieser Arbeit wird gezeigt, daß die ”magic set“ Techniken zur Integrationvon ”top-down“ und ”bottom-up“ Ansätzen sich am besten als eine Formvon Metainterpreter verstehen lassen. Dadurch wird tatsächlich eine überraschendeVereinfachung erreicht (24 Seiten).G. Bossu, P. Siegel: Saturation, non-monotonic reasoning and the closedworldassumption. Artificial Intelligence 25 (1985), 13–63.Die minimale Modelle Semantik hat bei unendlichen Modellen das Problem,daß sie aufgrund unendlicher absteigender Ketten nicht immer konsistenzerhaltendist. In dieser Arbeit wird nun eine modifizierte Definition angegeben,die immer konsistenzerhaltend ist. Außerdem enthält die Arbeit noch einigeallgemeine Bemerkungen zu nichtmonotonen Folgerungsrelationen und einenAntwortalgorithmus (51 Seiten).[Bur91] W. Burgard: Efficiency considerations on goal-directed forward chainingfor logic programs. In E. Börger, H. Kleine Büning, M. M. Richter,W. Schönfeld (eds.), Computer Science Logic, 4th Workshop, CSL’90, 80–94, LNCS 533, Springer Verlag, 1991.In dieser Arbeit wird eine Resolventenmethode für Hornklauselprogrammeeingeführt, die von den Fakten ausgehend ”bottom-up“ arbeitet, aber trotzdemzielgerichtet vorgeht (mit Hilfe sogenannter ”link“ Klauseln). Die Korrektheitund Vollständigkeit wird bewiesen und die Effizienz mit der SLD-Resolventhenmethode verglichen (15 Seiten).[BW91] F. L. Bauer, M. Wirsing: Elementare Aussagenlogik. Springer-Verlag,Berlin, 1991.

LITERATURVERZEICHNIS 179In diesem Lehrbuch der Reihe ”Mathematik für Informatiker“ wird die Aussagenlogikausführlich behandelt, inklusive Normalformen, Ableitungsregelnund modallogischen Erweiterungen (228 Seiten).[CGS89] M. A. Casanova, R. Guerreiro, A. Silva: Logic programming withgeneral clauses and defaults based on model elimination. In Proc. 11th InternationalJoint Conference on Artificial Intelligence (IJCAI), 395–400, Detroit,1989.Diese Arbeit enthält einen Vorschlag für einen Antwortalgorithmus für allgemeineKlauseln und normale Defaults, der allerdings auf der leichtgläubigenSemantik mehrerer Extensionen basiert (6 Seiten).[CGT90] S. Ceri, G. Gottlob, L. Tanca: Logic Programming and Databases.Surveys in Computer Science. Springer-Verlag, Berlin, 1990.In diesem Lehrbuch werden folgende Themen behandelt: Kopplung von Prologund Datenbanken, die Sprache Datalog, Anfrageoptimierungs-Techniken fürDatalog, Erweiterungen von Datalog, Datenbank-Projekte in diesem Bereich(284 Seiten).[CL73] C.-L. Chang, R. C.-T. Lee: Symbolic Logic and Mechanical TheoremProving. Academic Press, New York, 1973.Ein klassisches Lehrbuch über automatisches Beweisen, das sehr verbreitet ist(331 Seiten).[Cla78] K. L. Clark: Negation as failure. In H. Gallaire, J. Minker (eds.),Logic and Data Bases, 293–322, Plenum, New York, 1978.[Con88][Con89][Dav80]In dieser Arbeit wurde der ”negation as failure“ Ansatz zur Auswertung derNegation in Prolog eingeführt, sowie die ”completed data base“ (CDB) alsSemantik der Negation. Auch die UNA-Axiome und ihre Beziehung zur Unifikationwurden hier untersucht (30 Seiten).B. Convent: Deciding finiteness, groundness and domain independence ofpure datalog queries. Hildesheimer Informatik-Berichte II/1988, HochschuleHildesheim, 1988.In dieser Arbeit werden die verschiedenen Probleme bei nicht bereichsbeschränktenKlauseln in Beziehung zueinander gesetzt, und es wird gezeigt,daß sie in dem betrachteten Rahmen entscheidbar sind — ein recht überraschendesErgebnis (19 Seiten).B. Convent: Datenbankschemaentwurf für ein logikorientiertes Datenmodell.Dissertation, Hochschule Hildesheim, 1989.Gegenstand dieser Arbeit ist der Datenbankentwurf für deduktive Datenbanken.Bei relationalen Datenbanken gibt es dafür ja schon eine umfangreicheTheorie, bei deduktiven Datenbanken scheint dies die erste Arbeit zu sein.Diese Arbeit enthält auch die Ergebnisse aus [Con88] und [BC89] (146 Seiten).M. Davis: The mathematics of non-monotonic reasoning. Artificial Intelligence13 (1980), 73–80.

180 LITERATURVERZEICHNISIn dieser Arbeit wurde eine modelltheoretische Formulierung der ”domaincircumscription“ gegeben, und damit ein Vorläufer der minimalen Modelle imheutigen Sinn. McCarthy bedankt sich in [McC80] auch ausdrücklich fürdiese Idee bei Davis (8 Seiten).[DDFM90] J. Dix, A. Dold, T. Fuchß, M. Müller: “Theorist” und “MVL”: Erfahrungenund Hinweise im Umgang mit nichtmonotonen Beweissystemen.Praktikumsbericht, Institut für Logik, Komplexität und Deduktionssysteme,Universität Karlsruhe, 1990.In dieser Arbeit werden Implementierungen zweier nichtmonotoner Beweissystemeuntersucht, und zwar handelt es sich um das System aus [Poo88]und den Beweiser, auf dem der in [Gin89] vorgeschlagene Antwortalgorithmusaufbaut. Beide Systeme scheinen nicht unwesentliche Mängel zu haben(33 Seiten).[Dec91] H. Decker: On the declarative, operational and procedural semantics ofdisjunctive computational theories. In A. Olivé (ed.), Proc. of the SecondInt. Workshop on the Deductive Approach to Information Systems and Databases,149–173, Report de recerca LSI/91/30, Departament de Llenguatgesi Sistemes Informatics, Universitat Politecnica de Catalunya, Barcelona(Espana), 1991.In dieser Arbeit werden Modelle und Fixpunkte von disjuktiven logischenProgrammen untersucht und eine auf der SL-resolution basierende abduktiveBeweisprozedur vorgestellt (25 Seiten).[Dix91] J. Dix: Classifying semantics of logic programs. In Proc. of the 1stInt. Conf. on Logic Programming and Non-Monotonic Reasoning, WashingtonDC, 1991.In dieser Arbeit werden Semantiken für logische Programme in dem allgemeinenRahmen nichtmonotoner Folgerungsrelationen untersucht. Unter anderemwird gezeigt, daß die dreiwertige ”well-founded“ Semantik kumulierendist (13 Seiten).[DW91] J. Doyle, M. P. Wellman: Impediments to universal preference-baseddefault theories. Artificial Intelligence 49 (1991), 97–128.[EFT86]In dieser Arbeit wird der bekannte Satz von Arrow verwendet, um zu zeigen,daß keine Defaultsemantik, die auf minimalen Modellen basiert, allenwünschenswerten Anforderungen gerecht werden kann. Dabei erscheinen diestarken Anforderungen an die Vergleichbarkeit zweier Modelle aber etwasfragwürdig (32 Seiten).H.-D. Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas: Einführung in die mathematischeLogik, zweite Auflage. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt,1986.Ein empfehlenswertes Lehrbuch der mathematischen Logik (308 Seiten).[EMR85] D. W. Etherington, R. E. Mercer, R. Reiter: On the adequacy of

LITERATURVERZEICHNIS 181[Ern92][ESS92]predicate circumscription for closed-world reasoning. Computational Intelligence1 (1985), 11–15.In dieser Arbeit wird die Konsistenzerhaltung der Prädikat-Circumscriptionuntersucht. Außerdem wird bewiesen, daß sie keine neue Information über dasGleichheitsprädikat liefert (5 Seiten).W. Ernst: Automatisches Beweisen mit Defaults. Diplomarbeit, Inst. fürInformatik, Universität Hannover, 1992.In dieser Arbeit ist der ”Top-Down“ Ansatz nach [Bra92b] programmiert worden(in Prolog).H.-D. Ehrich, G. Saake, A. Sernadas: Concepts of object-orientation.In R. Studer (ed.), Informationssysteme und Künstliche Intelligenz, ZweiterWorkshop, 1–19, Springer-Verlag, Berlin, 1992.In dieser Arbeit wird eine systematische Übersicht über objekt-orientierteKonzepte gegeben. Außerdem wird die Spezifikationssprache Troll kurz vorgestellt(19 Seiten).[Eth88] D. W. Etherington: Reasoning with Incomplete Information. Pitman,London, 1988.[FM91][Gab85]Dieses Lehrbuch behandelt die Default Logik, Vererbungsnetze mit Ausnahmenund verschiedene Varianten der Circumscription (240 Seiten).J. Fiadeiro, T. Maibaum: Towards object calculi. In G. Saake, A. Sernadas(eds.), Information Systems — Correctness and Reusability, WorkshopIS-CORE ’91, 129–178, Informatik-Bericht 91-03, TU Braunschweig, 1991.In dieser Arbeit wird eine Logik mit Zustands- und Aktionsbegriff definiert,und Ableitungsregeln dafür angegeben (50 Seiten).D. M. Gabbay: Theoretical foundations for non-monotonic reasoning in expertsystems. In K. R. Apt (ed.), Logics and Models of Concurrent Systems,439–457, Springer, Berlin, 1985.Diese Arbeit ist eine der ersten, die allgemeine nichtmonotone Folgerungsrelationenuntersuchen. Insbesondere legt sie die Grundlagen für den Begriff derKumulierung (19 Seiten).[GB84] J. Goguen, R. Burstall: Introducing institutions. In E. Clarke,D. Kozen (eds.), Logics of Programs — Proc. 1983, 221–255, LNCS 164,Springer-Verlag, Berlin, 1984.[Ger91]In dieser Arbeit wird ein allgemeiner kategorieller Rahmen zum Studium unterschiedlicherLogiken eingeführt (35 Seiten).M. Gertz: Transformation von Integritätsbedingungen in Transaktionsspezifikationen.Diplomarbeit, Informatik, Universität Dortmund, 1991.Aufbauend auf dem Ansatz von [Lip89] wird hier ein Verfahren angegeben, mitdem die Überwachung von (temporalen) Integritätsbedingungen in Transaktionsspezifikationeneingebaut werden kann. Besonderes Schwergewicht liegt

182 LITERATURVERZEICHNISdabei auf der Berechnung von Formeln, die unter der Transaktion invariantsind (es wird gewissermaßen eine Extension der ”minimale Änderung“-Defaults berechnet). Die Implementierung ist Bestandteil des ICE-Projektes(157 Seiten).[Gin89] M. L. Ginsberg: A circumscriptive theorem prover. Artificial Intelligence39 (1989), 209–230.[GL89][GL90][GMN84][Gog90]In dieser Arbeit wird ein Beweiser für die Circumscription vorgeschlagen,auch die Erweiterung auf allgemeine Defaults wird diskutiert. Dagegen wirddie Erweiterung auf Prioritäten und Formeln mit Variablen nur grob skizziert.Außerdem wird das Verständnis durch die Bezugnahme auf Truth-Maintenance-Systeme und vielwertige Logiken erschwert (22 Seiten).M. Gelfond, V. Lifschitz: Compiling circumscriptive therories into logicprograms. In Non-Monotonic Reasoning (2nd International Workshop), 74–99, LNAI 346, Springer-Verlag, Berlin, 1989.In dieser Arbeit wird versucht, allgemeine Klauseln mit Circumscription inlogische Programme zu übersetzen. Allerdings ist dies nur unter großen Einschränkungenmöglich (26 Seiten).U. Griefahn, S. Lüttringhaus: Top-down integrity constraint checkingfor deductive databases. In D. H. D. Warren, P. Szeredi (eds.), LogicProgramming, Proc. of the Seventh International Conference, 130–144, MITPress, 1990.In dieser Arbeit ein Algorithmus zur Überprüfung von Integritätsbedingungenin deduktiven Datenbanken vorgeschlagen, der Teile früherer SLDNF-Beweisein und/oder-Bäumen abspeichert, um so die Erfüllung der Bedingung vor derÄnderung auszunutzen (15 Seiten).H. Gallaire, J. Minker, J.-M. Nicolas: Logic and databases: A deductiveapproach. Computing Surveys 16 (1984), 153–185.Dies ist der klassische Übersichtsartikel zu deduktiven Datenbanken. Die Autorenhaben das Gebiet ja auch durch die von ihnen organisierten Konferenzenwesentlich beeinflußt. Inzwischen gibt es natürlich eine ganze Reihe neuererEntwicklungen (33 Seiten)M. Gogolla: Datalog — Eine deduktive Datenbanksprache. Skript, Informatik,Techn. Univ. Braunschweig, 1990.Dieses Vorlesungsskript enthält eine Einführung in deduktive Datenbankenmit den logischen Grundlagen, den Antwortalgorithmen und Optimierungen(z.B. ”magic sets“) (98 Seiten).[GP86] M. Gelfond, H. Przymusinska: Negation as failure: Careful closureprocedure. Artificial Intelligence 30 (1986), 273–287.In dieser Arbeit wird eine Vervollständigung vorgeschlagen, die im wesentlicheneine Erweiterung der GCWA um variable Prädikate ist (entsprechendder Variablen-Circumscription). Der Antwortalgorithmus beruht auf der Zer-

LITERATURVERZEICHNIS 183legung einer beliebigen Klauselmenge in mehrere Hornklauselmengen. Allerdingsist der Algorithmus im allgemeinen unvollständig (15 Seiten).[GPP86] M. Gelfond, H. Przymusinska, T. Przymusinski: The extended closedworld assumption and its relationship to parallel circumscription. InProc. of the Fifth ACM SIGACT-SIGMOD Symp. on Principles of DatabaseSyst. (PODS’86), 133–139, 1986.In dieser Arbeit wird eine Variante der CWA eingeführt, die unter der Annahmevon UNA und DCA der Variablen-Circumscription entspricht (7 Seiten).[Gre69] C. C. Green: Theorem-proving by resolution as a basis for questionansweringsystems. In B. Meltzer, D. Michie (eds.), Machine Intelligence,volume 4, 183–205. Edinburgh University Press, 1969.[GZC89][HK89][HM87]In dieser Arbeit wird erklärt, wie man aus einem Resolutionsbeweis Antwortenextrahieren kann. Insbesondere wird auch der Begriff der disjunktiven Antworteingeführt (23 Seiten).R. H. Güting, R. Zicari, D. M. Choy: An algebra for structured officedocuments. acm Transactions on Information Systems 7:2 (1989), 123–157.In dieser Arbeit wird eine Algebra zur Manipulation genesteter Listen vonTupeln definiert. Auch die Bedeutung von Nullwerten wird untersucht (35 Seiten).D. Hofbauer, R.-D. Kutsche: Grundlagen des maschinellen Beweisens.Vieweg, Braunschweig, 1989.Besondere Merkmale dieses Lehrbuchs über automatisches Beweisen sind, daßes versucht, etwas Ordnung in die zahlreichen Möglichkeiten zur Verbesserungder Resolventenmethode zu bringen, daß es auch nicht-Resolventenverfahrenkurz skizziert, und daß es einen längeren Abschnitt über Termersetzungenthält. Allerdings wird für einige Beweise auf [CL73] verwiesen (172 Seiten).S. Hanks, D. McDermott: Nonmonotonic logic and temporal projection.Artificial Intelligence 33 (1987), 379–412.Dies ist die klassische Arbeit über das ”Yale shooting problem“ im Zusammenhangmit minimalen Änderungen bei Zustandsfolgen. In der Arbeit werdenauch eine ganze Reihe von Lösungsvorschlägen unterschiedlicher Autorenbesprochen (34 Seiten).[HPRV89] G. Hulin, A. Pirotte, D. Roelants, M. Vauclair: Logic and databases.In A. Thayse (ed.), From Modal Logic to Deductive Databases —Introducing a Logic Based Approach to Artificial Intelligence, volume 2, 279–350. Wiley, 1989.In dieser Arbeit wird die modelltheoretische und die beweistheoretische Sichtfür relationale Datenbanken, Hornklauseldatenbanken, Datenbanken mit Negationund mit unvollständiger Information erläutert (72 Seiten).[HS90] A. Heuer, P. Sander: Semantics and evaluation of rules over complexobjects. In W. Kim, J.-M. Nicolas, S. Nishio (eds.), Deductive and Object-

184 LITERATURVERZEICHNIS[IL84]Oriented Databases, First International Conference, 1989, 473–492, North-Holland, 1990.In dieser Arbeit wird eine regelbasierte Sprache zur Formulierung von Anfrageneine Datenbank mit komplexen Objekten eingeführt. Für die Auswertungwird eine Übersetzung in verschiedene Algebren vorgeschlagen (20 Seiten).T. Imielinski, W. Lipski: Incomplete information in relational databases.Journal of the ACM 31 (1984), 761–791.Diese Arbeit enthält einen Vorschlag für die Semantik von Nullwerten in relationalenDatenbanken. In [Kle91] wird eine Korrektur angegeben (31 Seiten).[KL89] M. Kifer, G. Lausen: F-logic: A higher-order language for reasoningabout objects, inheritance, and scheme. In J. Clifford, B. Lindsay,D. Maier (eds.), Proceedings of the 1989 ACM SIGMOD International Conferenceon the Management of Data, 134–146, 1989.[Kle91][KLM90][KLW90]Die F-Logik ist ein Vorschlag zur Integration von Logik und Objekt-Orientierung. Ein besonderes Merkmal ist, daß nicht zwischen Klassen und Instanzenunterschieden wird, sondern nur eine Verbandsstruktur benutzt wird,die den Informationsgehalt ausdrückt (13 Seiten).H.-J. Klein: Bemerkungen zur korrekten Auswertung von Anfragen an relationaleDatenbanken mit partiellen Relationen. In M. H. Scholl (ed.),Grundlagen von Datenbanken Kurzfassungen des 3. GI-Workshops, 52–56,1991. Erschienen als Bericht 158 des Departement Informatik der ETHZürich.In dieser Arbeit wird ein Fehler in der relationalen Algebra von [IL84] fürRelationen mit Nullwerten aufgedeckt und korrigiert (5 Seiten).S. Kraus, D. Lehmann, M. Magidor: Nonmonotonic reasoning, preferentialmodels and cumulative logics. Artificial Intelligence 44 (1990), 167–207.In dieser Arbeit wird versucht, nichtmonotone Logiken von einem ganzabstrakten Ausgangspunkt zu untersuchen. Insbesondere enthält diese Arbeitauch eine Charakterisierung der Logiken, die sich über minimale Modellebeschreiben lassen. Diese Charakterisierung stimmt aber nicht mit derin [Bra90a] überein, denn hier wird auch der Modellbegriff als Parameter angesehen,während in [Bra90a] die Prädikatenlogik zugrunde gelegt wird (41 Seiten).M. Kifer, G. Lausen, J. Wu: Logical foundations of object-oriented andframe-based languages. Technical report, SUNY at Stony Brook / UniversiätMannheim, 1990.Dieser Forschungsbericht beschreibt eine neue Version der objekt-orientiertenF-Logik, die sich von der aus [KL89] deutlich unterscheidet. Insbesonderewird jetzt auch die nichtmonotone Vererbung betrachtet. Die Semantik derVererbung ist auch deutlich verschieden von der in [BL91] vorgeschlagenen.Im wesentlichen werden hier Werte vererbt und nicht Formeln (84 Seiten).

LITERATURVERZEICHNIS 185[KNN90]W. Kim, J.-M. Nicolas, S. Nishio (eds.): Deductive and Object-OrientedDatabases, Proceedings of the First International Conference (DOOD89).North-Holland Publ.Co., Kyoto, Japan, 1990. See also: Special Issue onDeductive and Object-Oriented Databases of Data & Knowledge Engineering5(4), (Okt. 1990).Diese Tagung bringt den allgemeinen Wunsch zum Ausdruck, deduktive undobjekt-orientierte Datenbanken zu integrieren. Viele der Arbeiten waren abernoch dem einen oder anderen Lager zuzurechnen (607 Seiten).[Kon88] K. Konolige: On the relation between default and autoepistemic logic.Artificial Intelligence 35 (1988), 343–382.[Kos90][KRS88]In dieser Arbeit wird gezeigt, daß Reiter’s Default Logik und Moore’s AutoepistemischeLogik in einem gewissen Sinn äquivalent sind. Eine Korrekturvon Konolidge selbst wird in [Bre91] angegeben (40 Seiten).G. Koschorreck: Kalküle für Anfragen und Deduktionen über komplexenObjekten. Diplomarbeit, Informatik, Universität Dortmund, 1990.In dieser Arbeit wird eine Übersicht über verschiedene Algebren, Kalküle undlogische Anfragesprachen für komplexe Objekte gegeben, insbesondere hinsichtlichihrer Ausdrucksfähigkeit (178 Seiten).M. Kifer, R. Ramakrishnan, A. Siberschatz: An axiomatic approachto deciding query safety in deductive databases. In Proc. of the Seventh ACMSIGACT-SIGMOD-SIGART Symposium on Principles of Database Systems(PODS’88), 52–60, 1988.In dieser Arbeit wird ein Vorschlag für die Überprüfung der Sicherheit vonAnfragen gemacht, der auch unendliche Relationen zulässt (etwa eingebautePrädikate) und auf ähnlichen Einschränkungen wie funktionalen Abhängigkeitenbasiert. Da das eigentliche Problem nicht entscheidbar ist, wird derBegriff der ”Supersafety“ eingeführt (9 Seiten).[KW91] M. Kifer, J. Wu: A first-order theory of types and polymorphism in logicprogramming. In Sixth Annual IEEE Symposium on Logic in ComputerScience (LICS’91), 310–321, 1991.[Lif85]In dieser Arbeit wird eine neue Logik, der getypte Prädikatenkalkül, eingeführt,und auf die Typisierung logischer Programme angewendet. Die Logikunterstützt insbesondere alle üblichen Arten von Polymorphismus (12 Seiten).V. Lifschitz: Computing circumscription. In Proc. 9th International JointConference on Artificial Intelligence (IJCAI), 121–127, Los Angeles, 1985.In dieser Arbeit wird die priorisierte Circumscription definiert. Der Ansatz zurBerechnung der Circumscription besteht in einer syntaktischen Transformationin eine Formel erster Stufe, auf die dann ein normaler Beweiser anwendbarist (im wesentlichen wird wie bei der CDB aus ← ein ↔ gemacht). Dies istnatürlich nur in Spezialfällen möglich (7 Seiten).[Lip89] U. W. Lipeck: Dynamische Integrität von Datenbanken. Informatik-Fachberichte 209. Springer-Verlag, Berlin, 1989.

186 LITERATURVERZEICHNISGegenstand dieses Buches sind Spezifikation und Überwachung von Integritätsbedingungenin temporaler Logik. Insbesondere wird gezeigt, wiediese Integritätsbedingungen in Transaktionspezifikationen hineintransformiertwerden können, um so eine effiziente Überwachung zu ermöglichen(140 Seiten).[Llo87] J. W. Lloyd: Foundations of Logic Programming, 2nd edition. Springer-Verlag, Berlin, 1987.[LNP + 89][LT84]Dies ist das klassische Lehrbuch zu den theoretischen Grundlagen von Prolog,also der SLDNF-Resolventenmethode und der CDB-Semantik der Negation.In dieser neuen Auflage werden auch stratifizierte Klauselmengen, Regeln mitallgemeinen Formeln im Rumpf und typisierte Regeln besprochen (212 Seiten).E. Lambrichts, P. Nees, J. Paredaens, P. Peelman, L. Tanca: Integrationof functions in the fixpoint semantics of rule-based systems. InJ. Demetrovics, B. Thalheim (eds.), Second Symposium on MathematicalFundamentals of Database Systems (MFDBS’89), 301–316, LNCS 364,Springer-Verlag, Berlin, 1989.In dieser Arbeit wird eine Erweiterung von Datalog um (nicht-generierende)Funktionen und komplexe Objekte vorgestellt. Die Funktionen werden wieRelationen mit einer funktionalen Abhängigkeit behandelt. Es wird ein Algorithmuszur Konsistenzprüfung im nicht-rekursiven Fall angegeben (16 Seiten).J. W. Lloyd, R. W. Topor: Making prolog more expressive. The Journalof Logic Programming 1 (1984), 225–240.In dieser Arbeit wurde gezeigt, wie man allgemeine Formeln im Rumpf vonProlog-Regeln in normale Prolog-Regeln übersetzten kann (16 Seiten).[LU92] G. Lausen, H. Uphoff: Nicht-monotone vererbung in f-logik. In U. W.Lipeck, R. Manthey (eds.), Kurzfassungen des 4. GI-Workshops “Grundlagenvon Datenbanken”, 105–109, ECRC technical report 92-13, 1992.[̷Luk90][LV91]In dieser Arbeit wird die Vererbung logischer Formeln auf der Grundlage desAnsatzes aus [KLW90] untersucht. Es wird vorgeschlagen, das Programm umzuschreiben,und im wesentlichem jeden Faktum noch die Klasse mitzugeben,aus der diese Information stammt. Dann kann unter gewissen Einschränkungeneine Regel der folgenden Art verwendet werden: “wenn aus der Klasse Cdie Information I stammt, und aus keiner tieferliegenden Klasse eine widersprechendeInformation ableitbar ist, dann gilt I”. Es werden auch Überlegungenzu “ISA-Stratifizierungen” angestellt (5 Seiten).W. ̷Lukaszewics: Non-Monotonic Reasoning. Ellis Horwood, Chichester,1990.Eine Monographie über nichtmonotones Schließen, das mit großer Vollständigkeitalle vorgeschlagenen Formalismen abhandelt (328 Seiten).E. Laenens, D. Vermeir: On the relationship between well-founded andstable partial models. In B. Thalheim, J. Demetrovics, H.-D. Ger-

LITERATURVERZEICHNIS 187[Mak89]hardt (eds.), MFDBS 91 (3rd Symposium on Mathematical Fundamentalsof Database Systems), 59–73, LNCS 495, Springer-Verlag, Berlin, 1991.Gegenstand dieser Arbeit ist die Semantik von “geordneten logischen Programmen”,d.h. partiell geordneten Mengen von logischen Programmen. Essind dabei auch negative Literale im Regelkopf erlaubt. Für die Semantikwerden Methoden der “well-founded” und “stable model” Semantik für klassischelogische Programme herangezogen. Die Semantik berücksichtigt sehrstark die Schreibweise der Regeln. Zentral ist hier der Begriff der “competitors”zu einer Regel-Instanz, d.h. Regel-Instanzen mit inversem Kopfliteral,die nicht weiter oben in der Hierarchie stehen (15 Seiten).D. Makinson: General theory of cumulative inference. In Non-MonotonicReasoning (2nd International Workshop), 1–18, LNAI 346, Springer-Verlag,Berlin, 1989.In dieser Arbeit wird der Begriff der Kumulierung eingeführt, und es werdendie bekannten Vervollständigungen auf diese Eigenschaft hin untersucht(18 Seiten).[Mak92] D. Makinson: General patterns in nonmonotonic reasoning. In D. Gabbay(ed.), Handbook of Logic in Artificial Intelligence and Logic Programming,volume 2. Oxford University Press, 1992.[Mar91][MB88]In dieser Arbeit wird der aktuelle Stand der Forschung in der Theorie dernichtmonotonen Folgerungsrelationen dargestellt. Die allgemeinen Begriffewerden unter anderem auf Vererbungs-Netze, Reiter’s Default Logik, maximaleExtensionen und minimale Modelle angewendet (79 Seiten).W. Marek: Semantical description of stability. Vorgestellt auf: Nonmonotonicand Inductive Logics, 2nd International Workshop, 1991.In diesem eigeladenen Vortrag wurden verschiedene Axiomsysteme für dieautoepistemische Logik diskutiert und auf die Semantik logischer Programmeangewendet.R. Manthey, F. Bry: SATCHMO: a theorem prover implemented in prolog.In E. Lusk, R. Overbeek (eds.), 9th Conference on Automated Deduction(CADE-9), 415–434, LNCS 310, Springer-Verlag, Berlin, 1988.In dieser Arbeit wird ein vorwärts schließender Beweiser vorgestellt, der inProlog implementiert ist. Dabei werden Disjunktionen durch Fallunterscheidungenaufgelöst, ansonsten wird soweit wie möglich der unterliegende Prolog-Interpreter ausgenutzt. Diese Arbeit enthält auch ausführliche Angaben zuden Erfahrungen bei einigen Benchmark-Beispielen (20 Seiten).[McC80] J. McCarthy: Circumscription — a form of non-monotonic reasoning.Artificial Intelligence 13 (1980), 27–39.Dies ist der klassische Artikel über die (Prädikat-) Circumscription, der sowohldie intuitiven Hintergrund, als auch die formale Definition mit Formelschemataund minimalen Modellen behandelt (23 Seiten).

188 LITERATURVERZEICHNIS[McC86]J. McCarthy: Applications of circumscription to formalizing common-senseknowledge. Artificial Intelligence 28 (1986), 86–116.In diesem Artikel faßt McCarthy verschiedenen Entwicklungen zusammen,die seit [McC80] eingetreten sind. Er definiert u.a. die Formelcircumscription,die die wesentlich bekanntere Variablencircumscription als Spezialfall enthält.Er definiert aber auch eine Art Normalform für Theorien mit Ausnahmen(31 Seiten).[Min82] J. Minker: On indefinite databases and the closed world assumption. InD. W. Loveland (ed.), 6th Conference on Automated Deduction, 292–308,LNCS 138, Springer-Verlag, Berlin, 1982.[Moo85][Mou85]In dieser Arbeit wurde die GCWA-Vervollständigung eingeführt, um die Konsistenzerhaltungzu garantieren. Damit machten die Annahmen der geschlossenenWelt noch einmal einen deutlichen Fortschritt. Insbesondere wurde auchdie Äquivalenz von syntaktischer und semantischer Definition gezeigt, diein [BL89] auf beliebige Defaults verallgemeinert wurde (17 Seiten).R. C. Moore: Semantical considerations on nonmonotonic logic. ArtificialIntelligence 25 (1985), 75–94.Mit dieser Arbeit wurde die autoepistemische Logik eingeführt (20 Seiten).H. Moulin: Choice functions over a finite set: A summary. Social Choiceand Welfare 2 (1985), 147–160.Dies ist ein gut verständlicher Übersichtsartikel über die mathematische Theorieder Auswahlfunktionen (14 Seiten).[MP84] J. Minker, D. Perlis: Applications of protected circumscription. In R. E.Shostak (ed.), 7th International Conference on Automated Deduction, 414–425, LNCS 170, Springer-Verlag, Berlin, 1984.In der ”Protected Circumscription“ kann die Annahme von Negationen gezieltverhindert werden, um unvollständige Information darzustellen. Im wesentlichenwird für jedes Prädikat p ein Prädikat e p eingeführt, das dieseAusnahmen enthält (12 Seiten).[MWW89] J.-J. Meyer, H. Weigand, R. Wieringa: A specification languagefor static, dynamic and deontic integrity constraints. In J. Demetrovics,B. Thalheim (eds.), 2nd Symposium on Mathematical Fundamentals of DatabaseSystems (MFDBS’89), 347–366, LNCS 364, Springer-Verlag, Berlin,1989.In dieser Arbeit wird eine Sprache für Integritätsbedingungen eingeführt, dieauf einer dynamischen Logik mit deontischen Konstrukten basiert (20 Seiten).[NM90] U. Nilsson, J. Ma̷luszyński: Logic, Programming and Prolog. Wiley,Chichester, 1990.Dieses ist ein Prolog-Lehrbuch, was auch die logischen Grundlagen beschreibtund auch alternative logische Programmiersprachen behandelt (289 Seiten).[NT89] S. Naqvi, S. Tsur: A Logical Language for Data and Knowledge Bases.Computer Science Press, New York, 1989.

LITERATURVERZEICHNIS 189[Plü90]Dieses Lehrbuch ist eine umfassende Einführung in neuere deduktive Datenbankenam Beispiel der Sprache LDL (288 Seiten).L. Plümer: Termination Proofs for Logic Programs. LNAI 446. Springer-Verlag, Berlin, 1990.In diesem Buch wird ein Verfahren zur automatischen Herleitung von Terminierungsbeweisenfür logische Programme vorgestellt (142 Seiten).[Poo88] D. Poole: A logical framework for default reasoning. Artificial Intelligence36 (1988), 27–47.[Prz89][Prz91][Pup91][Rei78]In dieser Arbeit wurden die einfachen Defaults eingeführt, die also nur aus einerprädikatenlogischen Formel bestehen. Allerdings definiert Poole nur diemaximalen Extensionen, und nicht, was bei mehreren maximalen Extensionenzu geschehen hat. Auch betrachtet er keine Prioritäten. Dafür führt er ”Constraints“ein, die die Anwendbarkeit der Defaults beschränken (21 Seiten).T. C. Przymusinski: An algorithm to compute circumscription. ArtificialIntelligence 38 (1989), 49–73.In dieser Arbeit schlägt Przymusinski einen Antwortalgorithmus für dieVariablen-Circumscription vor, der auf der OL-Resolventenmethode basiert.Allerdings wird nicht herausgestellt, welche Defaults verwendet werden, undder Algorithmus wird nur für Klauseln ohne Variablen angegeben. Er ist demAlgorithmus in [Gin89] recht ähnlich und arbeitet wie dieser mehrphasig (imUnterschied zu dem Algorithmus in [Bra92b]) (25 Seiten).T. C. Przymusinski: Semantics of disjunctive logic programs and deductivedatabases. In C. Delobel, M. Kifer, Y. Masunaga (eds.), Deductive andObject-Oriented Databases, 2nd Int. Conf. (DOOD’91), 85–107, LNCS 566,Springer-Verlag, Berlin, 1991.In dieser Arbeit wird gezeigt, daß die stationäre Semantik logischer Programme,die als Verallgemeinerung der well-founded Semantik eigentlich einedreiwerige Semantik ist, sich auch in der Prädikatenlogik beschreiben läßt,wenn man neue Prädikatsymbole not p einführt (23 Seiten).F. Puppe: Einführung in Expertensysteme, zweite auflage edition. StudienreiheInformatik. Springer-Verlag, Berlin, 1991.Dieses Buch gibt eine umfassende Einführung in Expertensysteme (215 Seiten).R. Reiter: On closed world data bases. In H. Gallaire, J. Minker (eds.),Logic and Data Bases, 55–76, Plenum, New York, 1978.In dieser Arbeit wurde die originale CWA eingeführt. Daneben enthält sieaber auch einige Gedanken zur Anfrageauswertung und zur Übersetzung vonlogischen Formeln in Ausdrücke der Relationenalgebra (22 Seiten).[Rei80] R. Reiter: A logic for default reasoning. Artificial Intelligence 13 (1980),81–132.

190 LITERATURVERZEICHNIS[Rei84]In dieser Arbeit wurde die Default-Logik eingeführt. Für normale Defaultswird auch ein erster Ansatz für einen Antwortalgorithmus angegeben (allerdingsmit der leichtgläubigen Sichtweise) (52 Seiten).R. Reiter: Towards a logical reconstruction of relational database theory.In M. L. Brodie, J. Mylopoulos, J. W. Schmidt (eds.), On ConceptualModelling, 191–238, Springer-Verlag, Berlin, 1984.In dieser Arbeit wird der beweistheoretische Ansatz für relationale Datenbankenausgearbeitet (im Unterschied zum üblichen modelltheoretischen Ansatz).Dabei werden insbesondere auch Nullwerte betrachtet (48 Seiten).[Rei85] M. Reinfrank: An introduction to non-monotonic reasoning. TechnicalReport MEMO-SEKI-85-02, Informatik, Universität Kaiserslautern, 1985.[Rei88][Rei92][RT88][Rya91][Sch87]In diesem Bericht wird ein Überblick über verschiedene Formalismen des nichtmononotonenSchließens gegeben, es werden aber insbesondere auch die Anwendungenin der künstlichen Intelligenz beschrieben (127 Seiten).R. Reiter: What should a database know? In Proc. of the Seventh ACMSIGACT-SIGMOD-SIGART Symposium on Principles of Database Systems(PODS’88), 302–304, 1988.In dieser Zusammenfassung seines eingeladenen Vortrags argumentiert Reiter,daß Anfragen an Datenbanken und Integritätsbedingungen in einer epistemischenLogik formuliert werden sollten (3 Seiten).R. Reiter: On formalizing database updates — preliminary report. In Advancesin Database Technology — EDBT’92, 3rd Int. Conf., 10–20, LNCS 580,Springer-Verlag, 1992.In diesem eingeladenen Vortrag schlägt Reiter eine Formalisierung vonDatenbank-Änderungen in der Logik erster Stufe vor, bei der die Extensionenaller Relationen explizit durch die Extension im vorausgegangenen Zustanddefiniert werden. Dies ist zwar nur für deterministische Transaktionen möglich,erspart aber Defaults und ähnliche Mechanismen zur Lösung des ”frame problem“(11 Seiten).K. A. Ross, R. W. Topor: Inferring negative information from disjunctivedatabases. Journal of Automated Reasoning 4 (1988), 397–424.Diese Arbeit enthält einen Vorschlag für die Semantik der Negation bei logischenProgrammen mit Disjunktionen (28 Seiten).M. Ryan: Defaults and revision in structured theories. In Proceedings of theIEEE Symposium on Logic in Computer Science (LICS’91), 362–373, 1991.In dieser Arbeit wird die Semantik von partiell geordneten Defaults definiert,wobei die ”natural consequences“ als Ausprägungs-Mechanismus besondersinteressant sind (12 Seiten).U. Schöning: Logik für Informatiker. Reihe Informatik 56. BI, Mannheim,1987.

LITERATURVERZEICHNIS 191[She88]Dies ist ein erfreulich knappes Lehrbuch der mathematischen Logik, in deminsbesondere auch die Grundlagen von Resolventen-Beweisern und von Prologbehandelt werden (172 Seiten).J. C. Shepherdson: Negation in logic programming. In J. Minker (ed.),Foundations of Deductive Databases and Logic Programming, 19–88, MorganKaufmann Publishers, Los-Altos (Calif.), 1988.Diese Arbeit enthält einen Überblick über Vorschläge für die Semantik derNegation aus der Zeit vor den stabilen und wohlfundierten Modellen. Ausführlichbehandelt werden die CWA, die CDB, ihre Beziehung zu einander und zurNegation as Failure“-Regel, sowie Ansätze in dreiwertiger Logik (70 Seiten).”[Sho87] Y. Shoham: Nonmonotonic logics: Meaning and utility. In Proc. 10thInternational Joint Conference on Artificial Intelligence (IJCAI), 388–393,Milan, 1987.In dieser Arbeit wurden allgemeine nicht-monotone Logiken untersucht, dieauf minimalen Modellen basieren (6 Seiten).[SS86] H.-J. Schek, M. H. Scholl: The relational model with relation-valuedattributes. Information Systems 11 (1986), 137–148.[SS91]Diese Arbeit enthält einen Vorschlag für eine Algebra zur Manipulation geschachtelterRelationen, wobei alle Operatoren auch formal definiert sind(12 Seiten).G. Saake, A. Sernadas (eds.): Information Systems — Correctness andReusability, Workshop IS-CORE ’91, London, Sept. 1991, Selected Papers,Informatik-Bericht 91-03. TU Braunschweig, September 1991.Dieser Tagungsband gibt einen Überblick über die Forschungsaktivitäten imRahmen des IS-CORE Projekts ( ”Information Systems — COrrectness andREusability“). Ziel ist dabei ein objekt-orientierter Ansatz mit formaler Semantik,die auf dem ”event sharing“ der einzelnen Objekte aufbaut (265 Seiten).[Ull88] J. D. Ullman: Principles of Database and Knowledge-Base Systems, Vol. 1.Computer Science Press, Rockville, 1988.In dieser neuen Auflage eines klassischen Lehrbuchs über Datenbanksystemewerden jetzt auch deduktive Datenbanken ausführlich behandelt (631 Seiten).[Ull89] J. D. Ullman: Principles of Database and Knowledge-Base Systems, Vol. 2.Computer Science Press, Rockville, 1989.Der zweite Band behandelt insbesondere Verbesserungen bei der Anfrageauswertung,so etwa die ”magic set“ Techniken zur Integration von ”top-down“und ”bottom-up“ Auswertung (505 Seiten).[VGRS91] A. Van Gelder, K. A. Ross, J. S. Schlipf: The well-founded semanticsfor general logic programs. Journal of the Association for ComputingMachinary (JACM) 38 (1991), 620–650.

192 LITERATURVERZEICHNISDiese Arbeit beschreibt die dreiwertige ”well-founded“ Semantik für die Negationin logischen Programmen. Es werden auch Vergleiche zu den übrigenProlog-Semantiken angegeben (31 Seiten).[Wüt91] B. Wüthrich: Semantic improvement of deductive databases. InB. Thalheim, J. Demetrovics, H.-D. Gerhardt (eds.), MFDBS 91 (3rdSymposium on Mathematical Fundamentals of Database Systems), 216–229,LNCS 495, Springer-Verlag, Berlin, 1991.[YH85][YS91]Diese Arbeit enthält einen Vorschlag für die Ausnutzung von Integritätsbedingungenzur Optimierung von Anfragen (Semantische Anfrageoptimierung).Die Methode wird auch auf die Vereinfachung von Integritätsbedingungen undRegeln angewendet (14 Seiten).A. Yahya, L. J. Henschen: Deduction in non-horn databases. Journal ofAutomated Reasoning 1 (1985), 141–160.Diese Arbeit führt eine Version der CWA ein, die unter UNA und DCA äquivalentzur Prädikat-Circumscription ist. Der angegebene Antwortalgorithmusenthält allerdings einen Fehler, wie in Band 4, 1988, 109–111 gezeigt wurde(20 Seiten).E. Yardeni, E. Shapiro: A type system for logic programs. The Journalof Logic Programming 10 (1991), 125–153.In dieser Arbeit wird ein Typsystem für logische Programme entwickelt,Typ-Inferenz und Compilezeit- sowie Laufzeit-Typprüfung werden diskutiert(29 Seiten).

IndexAbleitungsregeln 72Änderungsoperationen 64äquivalent 19Äquivalenzbezüglich Defaults 84Alphabet 14Anfrage 39Anfrageauswertung 125Annahmeder eindeutigen Namen 29der geschlossenen Welt 101, 103bei partiell geordneten Defaults 106mit Prioritäten 104AntwortBerechnung 125definite 40erzeugte 43korrekte 40minimale 40potentielle 139Antwortklausel 140Antwortmengeendliche 43Anzahlvon Vervollständigungen 32Argumentsorten 14Ausdrucksfähigkeit 89Ausprägung 29, 30Axiom 26, 27Begründung 139widersprechende 142Bereichsbeschränkung 21für Klauseln 26beschränkt monoton 75CD 84Circumscription 35, 74, 77CON 73CUM 76CWA 35, 101, 103modifizierte 112naive 86originale 74, 86starke 114vorsichtige 101, 103mit partiell geordneten Defaults 106mit Prioritäten 104Datenbankdeduktive 11, 12, 26relationale 12Datenbankentwurf 169Datenbankschema 14Datenbankzustand 15DatenmodellER 14relationales 14, 169Datentyp 12, 14DED 78Deduktions-Eigenschaft 78Deduktionstheorem 77Default 28, 29Ausprägung 29, 30Default-Logik 74Default-Semantik 39Default-Spezifikation 38Defaultlogik 27DefaultsReiter’s 27stark verträglich mit 86verträglich mit 84193

194 INDEXDIS 79Disjunktions-Eigenschaftfür Defaults 87Umformulierung von DED 79EigenschaftCD 84CON 73CUM 76DDIS 87DED 78DIS 79EXP 81NCWA 87RCUT 75RMON 75SCD 86EinführungImplikation 78Ergebnisvariablen 39Erhaltung der Konsistenz 73EXP 81Expansions-Eigenschaft 81Expertensystem 3Extensionkonstruktive 116maximalebei partiell geordneten Defaults 106mit Prioritätsstufen 104ohne Prioritäten 102Faktum 129Folgerungsregeln 72Folgerungsrelationdurch Vervollständigung gegeben 37logische 19vervollständigte 36folgt logisch 19Formel 18atomare 18bereichsbeschränkt 13bereichsbeschränkte 21Funktionssymbol 12Gleichheit 12Herbrand-Interpretation 16Erweiterung 17Redukt 17Herbrandmodell 13Hyperresolution 132, 133einfache 129, 130ImplikationEinführung 78konstruktive 116Integritätsbedingung 13, 47, 48Interpretation 16Herbrand 16Klausel 25bereichsbeschränkte 26konsistent 19konsistenzerhaltend 73Konsistenzerhaltung 32Konstante 14Kopf-Literal 129kumulierend 76Lernen, maschinelles 33linksstabil 72Literal 24auswertbares 129Kopf- 129negatives 24positives 24Rumpf- 129Logik 11, 13allgemeine 12autoepistemische 28Default 74Default- 27deontische 11dynamische 11epistemische 11temporale 11logisch äquivalent 19

INDEX 195Modell 19Herbrand- 13intendiertes 30minimales 31, 89Modell-Beziehung 19, 25Monotonie 74beschränkte 75Nameneindeutige 16, 29NCWA-Eigenschaft 87Nullwerte 3, 16, 50, 58Objektekomplexe 11OL-Resolution 151ORACLE 135Ordnung, partielle 89Prädikat 14eingebautes 12Priorität 28, 29von Default-Ausprägungen 30Prolog 35, 40, 43Rahmenregel 64RCUT 75Regel 129RMON 75Rumpf-Literal 129SCD 86Schema 14Schlüssel 13Schnittregel 75beschränkte 75schwächer als 83Semantikvon Defaults 39Signatur 13, 14Semantik 15unabhängig von 42skeptisch 116Sorte 14SQL 136stärker als 83Standardprädikat 12stratifiziert 52String 14Substitution 20Symbol 14Teilsignatur 15Term 18TermeAuswertung 19Testdatengenerierung 33Typisierung 11Typprädikat 12Typprüfung 12, 14UNA 16, 29Unabhängigkeit von der Signatur 42Updates 64Variablenbelegung 18Variablendeklaration 17verträglichmit Defaults 84mit Prioritätsrelation 114Vervollständigung 30, 34modelltheoretische 12, 30schwächste 83stärkste 83syntaktische 35Wissenserwerb 33Zahl 14Zeichen 14logische 14Zeichenkette 14Zustand 15Zweierpotenzen 43

196

LEBENSLAUF 197LebenslaufName:Stefan BraßGeburtsdatum:09.08.1964Geburtsort:HannoverKonfession:evangelisch-lutherischFamilienstand:ledigEltern:Prof. Dr. Helmut BraßGisela Braß, geb. LüderGeschwister:Peter ( ∗ 28.11.1967)Schulausbildung:1970–1974 Grundschule Bremerhöhe, Clausthal–Zellerfeld1974–1978 Graf-Stauffenberg-Gymnasium, Osnabrück1978–1983 Gaußschule, Braunschweig09.05.1983 Abitur (Gesamtzensur 1.0)Mitarbeit im Katastrophenschutz:1982–1991 Helfer beim Technischen HilfswerkStudium:01.10.1983 Immatrikulation an der TU Braunschweigim Diplom-Studiengang Informatik24.09.1985 Diplom-Vorprüfung (Gesamtnote ”Sehr gut“)02.09.1988 Diplom (Gesamtnote ”Mit Auszeichnung“)Berufstätigkeit:03.10.1988 Wissenschaftlicher Mitarbeiter am Lehrstuhl VI–31.07.1990 des Fachbereichs Informatik der Universität Dortmundseit 01.08.1990 Wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut für Informatikder Universität Hannover