Defaults in deduktiven Datenbanken

36 KAPITEL 2. DEDUKTIVE DATENBANKENwerden, die eigentlich auf einer dreiwertigen Logik basieren.Ein technischer Grund für die Forderung nach Äquivalenzerhaltung ist schließlichnoch, daß nur so die syntaktischen Vervollständigungen äquivalent zu den modelltheoretischensind: Die modelltheoretischen Vervollständigungen bekommen die Axiome Φ jagar nicht mehr zu sehen, sondern nur ihre Modelle. Daher können sie natürlich keinenUnterschied zwischen logisch äquivalenten Formulierungen machen.Die dritte Art von Vervollständigungen sind schließlich die vervollständigten Folgerungsrelationen⊢ c . Ihnen liegt der Gedanke zugrunde, daß Vervollständigungen ja eigentlichnur dazu verwendet werden, die korrekten Antworten zu bestimmen. Für boolesche Anfragenψ (eine variablenfreie Formel) wird man die Antwort ja“ als logisch korrekt ansehen,”wenn Φ ⊢ ψ gilt. Nun berücksichtigt dies freilich noch nicht die Defaults, so daß dieAntwort ja“ häufig intuitiv korrekt, aber nicht logisch korrekt ist. Da beliebige Anfragen”auf solche booleschen Anfragen zurückgeführt werden können (s.u.), liegt es nahe, einfachden Begriff der Folgerungsrelation zu verallgemeinern. Dafür gibt es eine ganze Reihe vonVorschlägen [Gab85, KLM90]. Die hier angegebene Definition hat den Vorteil, äquivalentzu den anderen Arten von Vervollständigungen zu sein:Definition 2.2.10 (Vervollständigte Folgerungsrelation):Folgerungsrelation ist eine Relation ⊢ c ⊆ 2 L Σ× L ∗ Σ mit• Φ ⊢ ψ =⇒ Φ ⊢ c ψ ( kein Informationsverlust“),”• Φ ⊢ c ψ 1 , Φ ⊢ c ψ 2 =⇒ Φ ⊢ c ψ 1 ∧ ψ 2 ( Abschluß unter ∧“),”• Φ ⊢ c ψ, {ψ} ⊢ ψ ′ =⇒ Φ ⊢ c ψ ′ ( Abschluß unter ⊢“),”• Φ 1 ⊢ c ψ, Φ 1∼ = Φ2 =⇒ Φ 2 ⊢ c ψ ( Äquivalenzerhaltung“).”Eine vervollständigteAls Folgerungen sind hier nur Formeln ohne Variablen interessant, da Antworten immeralle Variablen der Anfragen binden sollen (aufgrund der Bereichsbeschränkung könntenandere Antworten zumindest niemals logisch korrekt sein, siehe Korollar 2.1.23). Eswürden sich auch wesentliche technische Schwierigkeiten ergeben, da es zur Folgerungvon Formeln mit Variablen nicht mehr ausreicht, nur Herbrand-Modelle zu betrachten.Die Forderungen kein Informationsverlust“ und Äquivalenzerhaltung“ wurden oben” ”schon kommentiert.Die Forderung nach dem Abschluß unter ∧“ ist eigentlich auch sehr naheliegend:”Wenn ψ 1 und ψ 2 einzeln mit ja“ beantwortet werden, dann sollte auch ψ ” 1 ∧ ψ 2 mit ja“ ”beantwortet werden — dies ist schließlich die intuitive Semantik der Konjunktion. DieseForderung wurde schon in [BS85] aufgestellt.Sie gilt aber nicht für alle in der Literatur vorgeschlagenen Default-Semantiken. Sonimmt der leichtgläubige“ ( credulous“) Ansatz einfach eine konsistente Menge von” ”Default-Ausprägungen an, mit der er die Anfrage herleiten kann. Falls es Konfliktezwischen Defaults gibt, kann es durchaus passieren, daß sowohl p als auch ¬p mit ja“ ”beantwortet wird, aber nicht p ∧ ¬p (d.h. false).Der Abschluß unter logischen Folgerungen impliziert u.a. die Umkehrung: Wennψ 1 ∧ ψ 2 mit ja“ beantwortet wird, sollten natürlich auch ψ ” 1 und ψ 2 einzeln mit ja“ ”