Defaults in deduktiven Datenbanken

114 KAPITEL 5. SEMANTIK VON DEFAULTS¬p∧¬q ❁ ¬p∧q. Die neuen Defaults sind paarweise inkonsistent, jede maximale Extensionbesteht also aus einem einzigen Default. Falls es mehr als eine maximale Extension gibt,ist der Schnitt folglich leer. Beispielsweise würde es bei Φ := {p∨q} die beiden maximalenExtensionen E 1 := {¬p∧q} und E 2 := {p∧¬q} geben (p∧q scheidet aus, weil es geringerePriorität hat). Im Endeffekt würde also kein Default angenommen.✷In der Literatur wurde diese Default-Semantik noch nicht untersucht. Sie ist ja im wesentlichenauch nur deswegen interessant, weil sie eine einfache ”Rettung“ der naiven CWAist.Eine starke CWAEs gibt noch eine andere einfache Möglichkeit, die naive CWA konsistenzerhaltend zumachen. Die Probleme treten ja genau dann auf, wenn mehrere Defaults im Konfliktmiteinander stehen, für die aber keine Priorität spezifiziert wurde.Eine einfache Lösung ist nun, ❁ zu einer linearen Ordnung zu erweitern, indem mansich etwa im Zweifelsfall immer für den lexikographisch kleineren Default entscheidet.Das ähnelt dem Ansatz mit einer durch die Implementierung festgelegten Auswahlder Extension. Typischerweise werden sich die Implementierungen aber nicht nur an derSchreibweise der Defaults orientieren, sondern auch an der Schreibweise und Anordnungder Axiome, so daß es sich dann nicht mehr um eine Vervollständigung in dem hierbetrachteten Sinn handelt.Wenn man von einer lexikographischen oder ähnlichen Ordnung ausgeht, kann manfesthalten, daß diese Default-Semantik im Gegensatz zu allen anderen hier untersuchtenVorschlägen nicht äquivalenzerhaltend bezüglich der Defaults ist.Definition 5.3.7 (Starke CWA): Sei δ 1 , δ 2 , . . . , δ n die Aufzählung von ∆ ∗ , die mit❁ verträglich ist, d.h. δ i ❁ δ j =⇒ i < j, und unvergleichbare Defaults lexikographischanordnet. Sei E 0 := ∅ und{Ei−1 ∪ {δE i :=i } falls Φ ∪ E i−1 ∪ {δ i } konsistent istsonst.E i−1Dann ist die starke CWA definiert durch:scwa (∆,❁) (Φ) := Φ ∪ E n .Es werden also alle Defaults der Reihe nach ausprobiert, ob sie zu der aktuellen Extensionhinzugenommen werden können, ohne die Konsistenz zu zerstören. Dabei wird einetopologische Sortierung von (∆ ∗ , ❁) zugrunde gelegt, d.h. die höher priorisierten Defaultsbekommen ihre Chance zuerst.Bei der starken CWA handelt es sich tatsächlich um eine Form von minimalen Modellen,nur die Ordnungsrelation ist ungewöhnlich: