Defaults in deduktiven Datenbanken

5.3. WEITERE SEMANTIKEN 113Die modifizierte CWA ist für praktische Zwecke wohl auch nicht viel besser geeignetals die naive CWA, da sich die Vervollständigung beim Einfügen einer Disjunktion sodrastisch ändert. Zwar ist sie konsistenzerhaltend, kumulierend und hat die Expansions-Eigenschaft, aber sie hat nicht die Eigenschaft DDIS (als einzige der betrachteten Vervollständigungen).Satz 5.3.4: Die modifizierte CWA ist konsistenzerhaltend, kumulierend, und hat dieExpansions-Eigenschaft.Beweis:CWA.mcwa (∆,❁) bezeichne hier die modelltheoretische Entsprechung der modifizierten• (CON): Die Konsistenzerhaltung folgt direkt aus der Definition.• (CUM): Zu zeigen ist:mcwa (∆,❁) (I 1 ) ⊆ I 2 ⊆ I 1 =⇒ mcwa (∆,❁) (I 1 ) = mcwa (∆,❁) (I 2 ).Diese Eigenschaft ist schon für min (∆,❁) bewiesen, es braucht also nur noch der Fall betrachtetzu werden, daß I 1 oder I 2 nicht-äquivalente minimale Modelle enthalten. EnthältI 1 nicht-äquivalente Modelle, so gilt mcwa (∆,❁) (I 1 ) = I 1 und daher I 2 = I 1 . Sonst giltmcwa (∆,❁) (I 1 ) = min (∆,❁) (I 1 ), also min (∆,❁) (I 1 ) ⊆ I 2 ⊆ I 1 . Da min (∆,❁) kumulierendist, folgt min (∆,❁) (I 1 ) = min (∆,❁) (I 2 ) und damitmcwa (∆,❁) (I 2 ) = min (∆,❁) (I 2 ) = mcwa (∆,❁) (I 1 ).• (EXP): Zu zeigen istmcwa (∆,❁) (I 1 ) ∩ mcwa (∆,❁) (I 2 ) ⊆ mcwa (∆,❁) (I 1 ∪ I 2 ).Die Behauptung gilt natürlich auf jeden Fall, wenn I 1 ∪ I 2 nicht-äquivalente minimaleModelle hat. Sei I ∉ mcwa (∆,❁) (I 1 ∪ I 2 ). Falls I in dem Schnitt auf der linken Seiteenthalten ist, muß I ∈ I 1 und I ∈ I 2 gelten. Eine dieser Teilmengen, etwa I 1 , enthält aberein minimales Modell aus I 1 ∪ I 2 , das kleiner als alle nicht-minimalen Modelle ist. Daherkommen in I 1 keine neuen minimalen Modelle gegenüber I 1 ∪ I 2 hinzu, die minimalenModelle sind also untereinander äquivalent. Nach Definition der modifizierten CWA istdann I ∉ mcwa (∆,❁) (I 1 ).✷Beispiel 5.3.5: Die modifizierte CWA hat nicht die Eigenschaft DDIS, und damit erstrecht nicht die Deduktions-Eigenschaft. Verwendet man die normalen Negations-Defaultsohne Prioritäten, so wird sowohl in Φ 1 := { p(a), q(a) } als auch in Φ 2 := { p(b), q(a) } derDefault ¬q(b) angenommen, nicht aber in Φ := { p(a) ∨ p(b), q(a) } .✷Beispiel 5.3.6: Die modifizierte CWA kann mit der vorsichtigen CWA simuliert werden,wenn das auch sehr aufwendig ist. In dem Standard-Beispiel ∆ := {¬p, ¬q} würde manfür die vorsichtige CWA folgende Defaults wählen:¬p ∧ ¬q, ¬p ∧ q, p ∧ ¬q, p ∧ q.Im allgemeinen wählt man alle Konjunktionen von Defaults und negierten Defaults, sodaß der Wahrheitwert jedes Defaults bestimmt ist. Die Prioritäten dieser neuen Defaultswählt man so, wie es gerade den entsprechenden minimalen Modellen entspricht, also etwa