Defaults in deduktiven Datenbanken

6.1. BOTTOM-UP 147die potentielle Antwort {θ i,1 , . . . , θ i,ki , θ i ′ ,1, . . . , θ i ′ ,k i ′ }. Die zugehörige vollständige Mengewidersprechender Begründungen ist entsprechend Lemma 6.1.34:{ˆDi,ν ∪ ˆD i ′ ,ν ′ ∣ ∣ es gibt keinen Konflikt Ω ′ mit Ω ′ ⊆ ˆD i,ν ∪ ˆD i ′ ,ν ′ }.Falls die Menge leer ist, kann man die Antwort ausgeben und braucht sie nicht weiterzu berücksichtigen. Man iteriert diese paarweise Zusammensetzung, bis sich nichts mehrändert.Beispiel 6.1.36: Im laufenden Beispiel sind die Mengen widersprechender Begründungenzu {¬p(d)} und {¬p(e)} leer, die Antworten 〈X ⊳ d〉 und 〈X ⊳ e〉 können also sofortausgegeben werden. Dagegen hat {¬p(b)} die widersprechende Begründung {¬p(c)}und umgekehrt. Weil die beiden widersprechenden Begründungen sich mit dem Konflikt{¬p(b), ¬p(c)} überlappen, werden sie zusammengesetzt, das Ergebnis enthält aber geradediesen Konflikt, so daß es gelöscht wird. Das bedeutet, daß die Antwort {〈X⊳ b〉, 〈X⊳ c〉}keine widersprechender Begründungen hat, und ausgegeben werden kann. Damit ist dieMenge der noch zu überprüfenden potentiellen Antworten leer, die Iteration endet alsoschon nach dem ersten Schritt.✷Beispiel 6.1.37: Es soll jetzt noch ein etwas komplizierteres Beispiel betrachtet werden.Die Defaults seien∆ := {p 1 , . . . , p 4 , q 1 , . . . , q 5 }.Als Axiome seien nun einerseits solche gegeben, die eine Begründung für die Antwort ”ja“auf die Anfrage r liefern:r ← p 1 , r ← p 2 ∧ p 3 , r ← p 4 .Andererseits seien Axiome gegeben, die gerade den Konflikten entsprechen:¬p 1 ∨ ¬q 1 , ¬p 1 ∨ ¬q 2 ∨ ¬q 3 , ¬p 2 ∨ ¬q 4 , ¬p 4 ∨ ¬q 4 , ¬q 1 ∨ ¬q 4 ∨ ¬q 5 , ¬q 3 ∨ ¬q 5 .Es gibt also folgende Begründungen und widersprechende Begründungen:θ D ˆD” ja“ {p 1} {q 1 }, {q 2 , q 3 }” ja“ {p 2, p 3 } {q 4 }” ja“ {p 4} {q 5 }Im ersten Iterationsschritt läßt sich nun jede Zeile mit jeder anderen zusammensetzen undman erhält:θ D ˆD” ja“ {p 1}, {p 2 , p 3 } {q 1 , q 4 }, {q 2 , q 3 , q 4 }” ja“ {p 1}, {p 4 } {q 1 , q 5 }, [{q 2 , q 3 , q 5 }]” ja“ {p 2, p 3 }, {p 4 } {q 4 , p 5 }Die in eckigen Klammern angegebene Menge von Defaults enthält einen Konflikt und wirdgelöscht. Im zweiten Iterationsschritt ergibt sich:θ D ˆD” ja“ {p 1}, {p 2 , p 3 }, {p 4 } [{q 1 , q 4 , q 5 }], [{q 1 , q 2 , q 3 , q 4 , q 5 }]