Defaults in deduktiven Datenbanken

6.1. BOTTOM-UP 143Beispiel 6.1.26: In Beispiel 6.1.11 gibt es zwei Konflikte: {¬p(a)} und {¬p(b), ¬p(c)},entsprechend den beiden Formeln p(a) und p(b) ∨ p(c) in Φ. Dies bedeutet, daß der Default¬p(a) sicher nicht angenommen werden kann, während die Defaults ¬p(b) und ¬p(c)nur nicht zusammen angenommen werden können.✷Lemma 6.1.27:Eine Menge Ω = {δ 1 , . . . , δ m } ⊆ ∆ ∗ ist genau dann ein Konflikt, wenn¬default[δ 1 ] ∨ · · · ∨ ¬default[δ m ]ein minimales, von ¯Φ impliziertes disjunktives Faktum ist.Beweis: Es reicht, zu zeigen, daß Φ ∪ {δ 1 , . . . , δ m } genau dann inkonsistent ist, wenn¯Φ ⊢ ¬default[δ 1 ] ∨ · · · ∨ ¬default[δ m ]. Die beiden Minimalitätsforderungen entsprechen sichdann gerade.• Sei also Φ ∪ {δ 1 , . . . , δ m } inkonsistent. Würde ¯Φ ⊢ ¬default[δ 1 ] ∨ · · · ∨ ¬default[δ m ] nichtgelten, so gäbe es ein Modell Ī von ¯Φ mit Ī |= default[δ i], daraus erhielte man nachLemma 6.1.1 ein Modell I von Φ ∪ Ω (im Widerspruch zur vorausgesetzten Inkonsistenz).• Gelte umgekehrt ¯Φ ⊢ ¬default[δ 1 ]∨· · ·∨¬default[δ m ]. Wäre Φ∪{δ 1 , . . . , δ m } konsistent, sokönnte man aus einem Modell I nach Lemma 6.1.2 ein Modell Ī von ¯Φ mit Ī ̸|= ¬default[δ i]konstruieren (Widerspruch zur Voraussetzung).✷Damit ist gezeigt, daß die erste Phase der Anfragebearbeitung alle Konflikte vollständigberechnet hat.Es fehlt nun nur noch die Beziehung zwischen Konflikten und widersprechendenBegründungen. Im wesentlichen entsprechen die widersprechenden Begründungen zu Dgerade den Konflikten, mit denen D einen nichtleeren Schnitt hat:Lemma 6.1.28:• Ist Ω ein Konflikt und D eine Menge von Default-Ausprägungen mit D ∩ Ω ≠ ∅, soist ˆD := Ω − D eine widersprechende Begründung zu D.• Ist ˆD eine widersprechende Begründung zu D, so gibt es einen Konflikt Ω mitΩ ⊆ D ∪ ˆD, Ω ∩ D ≠ ∅ und Ω ∩ ˆD ≠ ∅.Beweis:• Da Φ ∪ Ω inkonsistent ist, ist wegen Ω ⊇ D ∪ ˆD natürlich erst recht Φ ∪ ˆD ∪ D inkonsistent.Andererseits ist ˆD ⊂ Ω (wegen D ∩ Ω ≠ ∅), aus der Minimalität von Ω folgt also dieKonsistenz von Φ ∪ ˆD.• Da ˆD eine widersprechende Begründung ist, ist Φ ∪ ˆD ∪ D inkonsistent. Man wähle nuneine minimale Teilmenge Ω ⊆ ˆD ∪ D, so daß Φ ∪ Ω inkonsistent ist. Nach Konstruktionist Ω ein Konflikt. Weil Φ ∪ D und Φ ∪ ˆD konsistent sind, gilt Ω ⊈ D und Ω ⊈ ˆD, Ω mußalso mit beiden einen nichtleeren Schnitt haben.✷Damit hat man jetzt also einen Algorithmus zur Anfragebeantwortung unter der vorsichtigenCWA: Man testet einfach für jede potentielle Antwort, ob ihre Begründungein gemeinsames Element mit einem Konflikt hat. Die übrigen Antworten können dannausgegeben werden (nach der Eliminierung nicht-minimaler Antworten).