Defaults in deduktiven Datenbanken

5.2. DIE VORSICHTIGE CWA 107Lemma 5.2.13:• E ⊆ ∆ ∗ ist genau dann eine maximale ∆-Extension von Φ, wenn es eine maximale(∆, ❁)-Extension bezüglich ❁ = ∅ ist.• E ⊆ ∆ ∗ ist genau dann eine maximale (∆, l)-Extension, wenn es eine maximale(∆, ❁)-Extension ist bezüglich der durch δ 1 ❁ δ 2 :⇐⇒ l(δ 1 ) < l(δ 2 ) gegebenenPrioritätsrelation.Beweis:• Sei E eine maximale ∆-Extension. Angenommen, es gäbe ∆ ′ ⊆ ∆ ∗ − E, so daßΦ ∪ {δ ∈ E | es gibt nicht δ ′ ∈ ∆ ′ mit δ ′ ❁ δ} ∪ ∆ ′konsistent ist. Da ❁ leer ist, ist diese Menge einfach Φ ∪ E ∪ ∆ ′ . Damit ist natürlichΦ ∪ E ∪ {δ ′ } konsistent für jeden Default δ ′ ∈ ∆ ′ im Widerspruch zur Voraussetzung.Die Umkehrung ist noch einfacher, hier wählt man ∆ ′ := {δ ′ }.• Sei E eine maximale (∆, l)-Extension. Zu zeigen ist, daß es nicht ∆ ′ ⊆ ∆ ∗ − E gibt, sodaßΦ ∪ {δ ∈ E | es gibt nicht δ ′ ∈ ∆ ′ mit δ ′ ❁ δ} ∪ ∆ ′konsistent ist. Angenommen, dies wäre doch der Fall. Sei δ ′ ein Default minimaler Stufeaus ∆ ′ , dann ist nach Konstruktion von ❁ diese Menge gleichΦ ∪ {δ ∈ E | l(δ) ≤ l(δ ′ )} ∪ ∆ ′ .Ist diese Menge konsistent, so ist natürlich erst recht die Teilmenge konsistent, in der dieübrigen Defaults aus ∆ ′ weggelassen sind. Das kann aber nicht sein, da E dann keinemaximale (∆, l)-Extension wäre.Für die Umkehrung wählt man wieder ∆ ′ := {δ ′ }, dann gilt{δ ∈ E | es gibt nicht δ ′ ∈ ∆ ′ mit δ ′ ❁ δ} = {δ ∈ E | l(δ) ≤ l(δ ′ )}nach Definition von ❁.✷Mit dem folgenden Lemma können maximale Extensionen entsprechend der Default-Hierarchie aufgebaut werden. Hat man schon eine maximale Extension E 0 bis zu einergewissen Prioritätsgrenze, so kann man direkt darüber eine Schicht weiterer Defaults ∆ 1vorschreiben, und das ganze zu einer vollständigen maximalen Extension E ausbauen.Als Spezialfall kann also jede konsistente Menge von Defaults zu einer (∆, ∅)-Extensionerweitert werden.Lemma 5.2.14:Sei ∆ ∗ 0 ⊆ ∆ ∗ nach unten abgeschlossen, d.h. gelte:δ ∈ ∆ ∗ , δ 0 ∈ ∆ ∗ 0, δ ❁ δ 0 =⇒ δ ∈ ∆ ∗ 0.Sei E 0 eine maximale (∆ ∗ 0, ❁)-Extension von Φ und ∆ 1 ein Menge ❁-minimaler Elementevon ∆ ∗ − ∆ ∗ 0. Ist Φ ∪ E 0 ∪ ∆ 1 konsistent, so gibt es eine maximale (∆, ❁)-Extension Evon Φ mit E 0 ∪ ∆ 1 ⊆ E.