Defaults in deduktiven Datenbanken

84 KAPITEL 4. EIGENSCHAFTEN VON VERVOLLSTÄNDIGUNGENkann ihn entweder als einen weiteren Parameter der Eigenschaften ansehen, oder einenfesten Ausprägungs-Mechanismus (die Grundbeispiel-Bildung) zugrunde legen.Defaults als einziges UnterscheidungskriteriumSei eine Menge ∆ ∗ von Default-Ausprägungen gegeben (die Prioritätsrelation spielt indiesem Unterabschnitt keine Rolle). Man kann nun zwei Modelle als äquivalent ansehen,wenn sie sich nicht in den Wahrheitswerten der δ ∈ ∆ ∗ unterscheiden:Definition 4.3.1 (Äquivalenz bezüglich Defaults): Zwei Interpretationen I 1 und I 2heißen äquivalent bezüglich ∆ ∗ (I 1∼ =∆ ∗ I 2 ) genau dann, wennI 1 |= δ ⇐⇒ I 2 |= δfür alle δ ∈ ∆ ∗ gilt.Wenn eine Vervollständigung auf ∆ ∗ basiert, so wird man erwarten, daß sie mit dieserÄquivalenzrelation verträglich ist, also äquivalente Modelle entweder beide auswählt oderbeide ausscheidet.Diese Forderung ist modelltheoretisch sehr einleuchtend. Bezogen auf syntaktischeVervollständigungen besagt sie, daß die Vervollständigung durch eine aussagenlogischeVerknüpfung von Default-Ausprägungen geschieht:Definition 4.3.2 (Verträglich mit Defaults): Eine Vervollständigung comp/⊢ c /selheißt verträglich mit Default-Ausprägungen ∆ ∗ ( compatible with defaults“, CD) genau”dann, wenn• Für alle Φ gibt es eine Menge E(Φ) von aussagenlogischen Verknüpfungen von Elementenaus ∆ ∗ , so daß comp(Φ) ∼ = Φ ∪ E(Φ).• Für alle Φ gibt es eine Menge E(Φ) von aussagenlogischen Verknüpfungen von Elementenaus ∆ ∗ , so daß Φ ⊢ c ψ ⇐⇒ Φ ∪ E(Φ) ⊢ ψ.• Für alle I 1 , I 2 ∈ I: I 1∼ =∆ ∗ I 2 =⇒ ( I 1 ∈ sel(I) ⇐⇒ I 2 ∈ sel(I) ) .Lemma 4.3.3: Eine syntaktische bzw. modelltheoretische Vervollständigung ist genaudann verträglich mit ∆ ∗ , wenn dies auch für die zugehörige vervollständigte Folgerungsrelationgilt.Beweis: Die Äquivalenz zwischen der Formulierung für syntaktische Vervollständigungen undvervollständigte Folgerungsrelationen ist offensichtlich.• Sei ⊢ sel verträglich mit ∆ ∗ , und seien I 1 , I 2 ∈ I mit I 1∼ =∆ ∗ I 2 . Es gibt nun eine aussagenlogischeVerknüpfung der Defaults E ( Th(I) ) , so daßTh(I) ⊢ sel ψ ⇐⇒ Th(I) ∪ E ( Th(I) ) ⊢ ψ.Sei ψ i := th ( I Σ − {I i } ) für i = 1, 2. Dann giltTh(I) ⊢ sel ψ i⇐⇒ I i ∉ sel(I).