Defaults in deduktiven Datenbanken

82 KAPITEL 4. EIGENSCHAFTEN VON VERVOLLSTÄNDIGUNGENBeweis:• Habe comp die Expansions-Eigenschaft und gelte Φ ∪ {ϕ 1 ∨ ϕ 2 } ⊢ comp ψ. Dies bedeutetdefinitionsgemäß comp ( Φ ∪ {ϕ 1 ∨ ϕ 2 } ) ⊢ ψ. Dann gilt natürlichcomp ( Φ ∪ {ϕ 1 } ) ∪ comp ( Φ ∪ {ϕ 2 } ) ⊢ ψ,und ψ folgt schon aus einer endlichen Teilmenge. Sei ψ i ′ die Konjunktion der benötigtenFormeln aus comp ( Φ ∪ {ϕ i } ) (i = 1, 2). Dann gilt Φ ∪ {ϕ 1 } ⊢ c ψ 1 ′ , Φ ∪ {ϕ 2} ⊢ c ψ 2 ′ und{ψ 1 ′ ∧ ψ′ 2 } ⊢ ψ. Die Behauptung folgt nun für ψ i := ψ i ′ ∨ ψ.Habe umgekehrt ⊢ comp die Eigenschaft EXP und sei ψ ∈ comp ( Φ∪{ϕ 1 ∨ϕ 2 } ) beliebig.Dann gilt Φ ∪ {ϕ 1 ∨ ϕ 2 } ⊢ comp ψ und daher gibt es ψ 1 und ψ 2 mit Φ ∪ {ϕ 1 } ⊢ comp ψ 1 ,Φ ∪ {ϕ 2 } ⊢ comp ψ 2 und ψ 1 ∧ ψ 2∼ = ψ, also comp(Φ ∪ {ϕ1 } ) ∪ comp ( Φ ∪ {ϕ 2 } ) ⊢ ψ.• Habe sel die Expansions-Eigenschaft und gelte Φ ∪ {ϕ 1 ∨ ϕ 2 } ⊢ sel ψ. Sei zur AbkürzungI Φ := Mod(Φ), I 1 := Mod(ϕ 1 ), I 2 := Mod(ϕ 2 ) und I ψ := Mod(ψ). Damit bedeutet dieVoraussetzung:sel ( I Φ ∩ (I 1 ∪ I 2 ) ) = sel ( (I Φ ∩ I 1 ) ∪ (I Φ ∩ I 2 ) ) ⊆ I ψ .Nach der Expansionseigenschaft ist nunsel(I Φ ∩ I 1 ) ∩ sel(I Φ ∩ I 2 ) ⊆ sel ( (I Φ ∩ I 1 ) ∪ (I Φ ∩ I 2 ) ) ⊆ I ψ .Daher gilt die Behauptung für ψ i := th ( sel(I Φ ∩ I i ) ) (i = 1, 2).Habe umgekehrt ⊢ sel die Expansions-Eigenschaft. Trivialerweise gilt für Φ := ∅,ϕ 1 := th(I 1 ), ϕ 2 := th(I 2 ) und ψ := th ( sel(I 1 ∪ I 2 ) ) , daß Φ ∪ {ϕ 1 ∨ ϕ 2 } ⊢ sel ψ. NachVoraussetzung gibt es nun ψ 1 und ψ 2 mitΦ ∪ {ϕ 1 } ⊢ sel ψ 1 , Φ ∪ {ϕ 2 } ⊢ sel ψ 2 , {ψ 1 ∧ ψ 2 } ⊢ ψ.Dann gilt aber sel(I 1 ) ∩ sel(I 2 ) ⊆ Mod(ψ 1 ) ∩ Mod(ψ 2 ) ⊆ sel(I 1 ∪ I 2 ).✷Die Expansions-Eigenschaft ist wichtig, weil sie es gestattet, von der Auswahl eines Modellsin kleineren Modellmengen auf die Auswahl des Modells in größeren Mengen zuschließen. Die Deduktions-Eigenschaft leistet gerade das Umgekehrte, zusammen hatman:sel(I 1 ) ∩ sel(I 2 ) ⊆ sel(I 1 ∪ I 2 ) ⊆ sel(I 1 ) ∪ sel(I 2 ),also eine obere und eine untere Schranke für sel(I 1 ∪ I 2 ).Vergleich der Stärke von VervollständigungenNatürlich ist es auch wichtig, das Verhalten verschiedener Default-Semantiken für dieselbeDefault-Spezifikation zu vergleichen.Ein einfacher Zusammenhang ist hier, daß die intendierten Modelle bezüglich der einenVervollständigung immer eine Teilmenge der intendierten Modelle bezüglich der anderenVervollständigung sind: