Defaults in deduktiven Datenbanken

164 KAPITEL 6. BERECHNUNG VON ANTWORTENDer Schlüssel zu einer inkrementellen Berechnung partieller Extensionen ist nun folgenderBegriff von stabiler Extension“, bei der jeder Default δ ∈ D gegen widersprechende” ”Begründungen“ aus ∆ ∗ l(δ)−1 durch andere Defaults aus D geschützt“ ist:”Definition 6.2.8 (Stabile Extension): D = {δ 1 , . . . , δ n } heißt stabile (∆, l)-Extensiongenau dann, wenn es für kein i ∈ {1, . . . , n} ein ˆD i ⊆ ∆ ∗ l(δ i )−1gibt mit• Φ ∪ {δ 1 , . . . , δ i−1 } ∪ ˆD i ist konsistent, und• Φ ∪ {δ 1 , . . . , δ i−1 } ∪ ˆD i ⊢ ¬δ i .Satz 6.2.9: Sei D eine stabile (∆, l)-Extension. Dann gibt es eine maximale (∆, l)-Extension E mit D ⊆ E.Beweis: Die Behauptung wird mit Induktion über der Anzahl n der in D vorkommendenDefaults bewiesen. Im Fall n = 0 ist die Behauptung trivial, denn es gibt mindestens einemaximale Extension.Sei die Behauptung nun für n − 1 bewiesen und ein neuer Default δ n in D einzufügen,d.h. D = {δ 1 , . . . , δ n }. Nach Induktionsannahme gibt es eine maximale Extension E ′ mit{δ 1 , . . . , δ n−1 } ⊆ E ′ . Sei nunˆD n := E ′ ∩ ∆ ∗ l(δ n)−1 .Natürlich ist Φ ∪ {δ 1 , . . . , δ n−1 } ∪ ˆD n konsistent, also ist nach der Voraussetzung auchkonsistent.Φ ∪ {δ 1 , . . . , δ n−1 } ∪ ˆD n ∪ {δ n }Man konstruiert nun E, indem man hiervon ausgehend auf jeder Stufe eine maximale Mengevon Defaults hinzunimmt, so daß die Konsistenz erhalten bleibt: Sei E 0 := {δ 1 , . . . , δ n } ∪ ˆD nDamit istD ⊆ E 0 und E 0 ∩ ∆ ∗ l(δ n)−1 = E′ ∩ ∆ ∗ l(δ n)−1 .Sei nun δ 1 ′ , . . . , δ′ m eine Aufzählung der Defaults aus ∆ ∗ − ∆ ∗ l(δ n)−1, die verträglich mit denPrioritätsstufen ist (Defaults mit niedrigerem l-Wert kommen zuerst). Dann sei{E i−1 ∪ {δ j ′ E i :=} falls Φ ∪ E i−1 ∪ {δ j ′ } konsistent istsonst.E i−1Schließlich sei E := E m .Nach Konstruktion ist Φ ∪ E konsistent und es gilt D ⊆ E. Zu zeigen ist noch die Maximalitätsforderung.Da E in den Defaults der Stufen < l(δ n ) mit E ′ übereinstimmt, kann dieMaximalitätsforderung höchstens durch einen der Defaults δ ′ 1 , . . . , δ′ m verletzt werden. Angenommen,für ein δ ′ j ∉ E wäreΦ ∪ {δ ∈ E | l(δ) ≤ l(δ ′ j)} ∪ {δ ′ j}konsistent. Nach Konstruktion istΦ ∪ {δ ∈ E | l(δ) ≤ l(δ ′ j)} ∪ {δ ′ j} ∪ {δ 1 , . . . , δ n−1 }inkonsistent. Sei i nun minimal, so daßΦ ∪ {δ ∈ E | l(δ) ≤ l(δ ′ j)} ∪ {δ ′ j} ∪ {δ 1 , . . . , δ i }