Defaults in deduktiven Datenbanken

4.3. VERVOLLSTÄNDIGUNGEN ALS SEMANTIK VON DEFAULTS 87einen Default weniger enthält (δ), ist ncwa (∆ ∗δ ,❁ δ ) schon definiert. Nun seincwa (∆ ∗ ,❁)(Φ) := Φ ∪ {δ ∈ ∆ ∗ | ncwa (∆ ∗δ ,❁ δ ) ⊬ ¬δ}.Schließlich sei ncwa (∆,❁) := ncwa (∆ ∗ ,❁).Falls es keine Prioritäten gibt, ist ∆ ∗ δncwa ∆ (Φ) := Φ ∪ {δ ∈ ∆ ∗ | Φ ⊬ ¬δ}leer, und die Definition vereinfacht sich zu(wie bereits in Kapitel 3 angegeben). Es ist auch möglich, die naive CWA modelltheoretischzu definieren, zur Vereinfachung wird hier nur die Version ohne Prioritäten angegeben:⋂ncwa ∆ (I) := I ∩Mod(δ).{δ∈∆ ∗ |Mod(δ)∩I≠∅}In Ab-Die Äquivalenz und die Verallgemeinerung auf Prioritäten sind offensichtlich.schnitt 5.1 wird eine Charakterisierung mittels minimaler Modelle angegeben.Definition 4.3.8 (NCWA-Eigenschaft): Eine Vervollständigung comp/⊢ c /sel hat fürgegebenes (∆, ❁) die NCWA-Eigenschaft genau dann, wenn• Ist ncwa (∆,❁) (Φ) konsistent, so gilt comp(Φ) ∼ = ncwa (∆,❁) (Φ).• Ist ncwa (∆,❁) (Φ) konsistent, so gilt Φ ⊢ c ψ ⇐⇒ ncwa (∆,❁) (Φ) ⊢ ψ.• Ist ncwa (∆,❁) (I) ≠ ∅, so gilt sel(I) = ncwa (∆,❁) (I).Die Äquivalenz der verschiedenen Formulierungen ist offensichtlich.Disjunktions-Eigenschaft für DefaultsMan kann die in Abschnitt 4.1 angegebenen Eigenschaften abschwächen, indem mansie nicht für beliebige Formeln ψ fordert, sondern nur für Defaults. Die Deduktions-Eigenschaft läßt sich etwa äquivalent in der folgenden Form aufschreiben:Φ ∪ {ϕ 1 } ⊢ ψ, Φ ∪ {ϕ 2 } ⊢ ψ =⇒ Φ ∪ {ϕ 1 ∨ ϕ 2 } ⊢ ψ.Die vorsichtige CWA hat diese Eigenschaft nicht. Setzt man jedoch zusätzlich ψ ∈ ∆ ∗voraus, so erhält man die folgende Eigenschaft, die auch von der vorsichtigen CWA erfülltwird (siehe Kapitel 5):Definition 4.3.9 (Eigenschaft DDIS): Eine Vervollständigung comp/⊢ c /sel hat dieDisjunktions-Eigenschaft für ∆ ∗ (Eigenschaft DDIS) genau dann, wenn• comp ( Φ ∪ {ϕ 1 } ) ⊢ δ, comp ( Φ ∪ {ϕ 2 } ) ⊢ δ =⇒ comp ( Φ ∪ {ϕ 1 ∨ ϕ 2 } ) ⊢ δ.• Φ ∪ {ϕ 1 } ⊢ c δ, Φ ∪ {ϕ 2 } ⊢ c δ =⇒ Φ ∪ {ϕ 1 ∨ ϕ 2 } ⊢ c δ.• sel(I 1 ) ⊆ Mod(δ), sel(I 2 ) ⊆ Mod(δ) =⇒ sel(I 1 ∪ I 2 ) ⊆ Mod(δ).