Defaults in deduktiven Datenbanken

2.1. DIE VERWENDETE LOGIK 17Definition 2.1.6 (Redukt von Herbrand-Interpretationen): Seien Σ ⊆ Σ ′ zweiSignaturen und I ′ eine Σ ′ -Herbrand-Interpretation. Das Σ-Redukt von I ′ ist die Σ-Herbrand-Interpretation I mitI [p] := { (c 1 , . . . , c n ) ∣ c i ∈ C, γ(c i ) = s i , (c 1 , . . . , c n ) ∈ I ′ [p] }für alle p ∈ P und s 1 . . . s n = π(p).Bei der Erweiterung der Individuenbereiche bzw. der Signatur werden dagegen nicht unbedingtaus Modellen wieder Modelle. Bei bereichsbeschränkten Formeln (s.u.) gilt diesaber, wenn man die positiv bindenden Prädikate für neue Konstanten als falsch und dienegativ bindenden Prädikate als wahr interpretiert.Definition 2.1.7 (Erweiterung von Herbrand-Interpretationen): Seien Σ ⊆ Σ ′zwei Signaturen und I eine Σ-Herbrand-Interpretation. Ein Σ ′ -Herbrand-Interpretation I ′heißt Σ ′ -Erweiterung von I genau dann, wenn das Σ-Redukt von I ′ gerade I ist.Eine Σ ′ -Erweiterung I ′ heißt Standard-Erweiterung genau dann, wenn für alle Predikatep ′ ∈ P ′ mit β ′ (p) = + und sortengerechte Konstanten c ′ 1, . . . , c ′ n ∈ C ′ gilt:c ′ i ∉ C für mindestens ein i =⇒ (c ′ 1, . . . , c ′ n) ∉ I ′ [p ′ ]und entsprechend für alle p ′ ∈ P ′ mit β ′ (p ′ ) = −:c ′ i ∉ C für mindestens ein i =⇒ (c ′ 1, . . . , c ′ n) ∈ I ′ [p ′ ].Natürlich sollten alle Interpretationen die Datentyp-Prädikate richtig interpretieren. Dazusei eine Σ D -Herbrand-Interpretation I D gegeben, die gerade die übliche Interpretationdieser Symbole beschreibt (bzw. ein isomorphes Bild). Es kann im folgenden von allenΣ-Herbrand-Interpretationen I vorausgesetzt werden, daß das Σ ∩ Σ D -Redukt von I mitdem Σ ∩ Σ D -Redukt von I D übereinstimmt.FormelnFormeln treten in deduktiven Datenbanken als Axiome (Fakten und Regeln), Defaults,Anfragen und Integritätsbedingungen auf.Es werden hier beliebige quantorenfreie Formeln zugelassen. Dies ist einerseits vonpraktischem Nutzen, andererseits aber auch für die in Kapitel 4 betrachteten Eigenschaftennötig (insbesondere die Umrechnung zwischen modelltheoretischer und syntaktischerFormulierung wäre sonst nicht möglich).Für die Algorithmen wird natürlich wird die übliche Klausel-Darstellung angestrebt,dazu ist allerdings bei Anfragen und Defaults eine Erweiterung der Signatur nötig (s.u.).Die Definitionen von Formeln und Klauseln folgen dem üblichen Aufbau. Dabei wirdversucht, zwischen der mathematischen Struktur ( ”abstrakte Syntax“) und der Repräsentationals Zeichenkette ( ”konkrete Syntax“) zu unterscheiden.Definition 2.1.8 (Variablendeklaration): Eine Variablendeklaration für X ⊆ A Veine Abbildung Ξ: X → S. Dabei sei X endlich.ist