Defaults in deduktiven Datenbanken

108 KAPITEL 5. SEMANTIK VON DEFAULTSBeweis: Sei δ 1 , . . . , δ n eine topologische Sortierung von (∆ ∗ − ∆ ∗ 0 , ❁), die zuerst alle Defaultsaus ∆ 1 enthält. Sei{E i−1 ∪ {δ i } falls Φ ∪ E i−1 ∪ {δ i } konsistentE i :=sonst.E i−1Sei E := E n . Dann gilt E 0 ∪ ∆ 1 ⊆ E nach Konstruktion.Es wird jetzt mit Induktion über i gezeigt, daß E i eine maximale (∆ ∗ 0 ∪ {δ 1, . . . , δ i }, ❁)-Extension von Φ ist. Falls es ∆ ′ i gäbe, das zeigt, daß E i keine maximale Extension ist, so würde∆ ′ i−1 := ∆′ i − {δ i} zeigen, daß E i−1 keine maximale Extension ist (denn kein Default in E i−1hat geringere Priorität als δ i ).✷Die hier angegebene Definition von maximaler Extension ist neu und nicht äquivalentzu der in [Bre91] angebenen ”konstruktiven“ Definition. Auf den Unterschied und denVorteil dieser Definition wird unten noch näher eingegangen.Maximale Extensionen und minimale ModelleEs gibt nun eine sehr enge Beziehung zwischen minimalen Modellen und maximalen Extensionen,und zwar ist ein Modell genau dann minimal, wenn es Modell einer maximalenExtension ist. Damit gibt es zwar noch keine bijektive Abbildung zwischen minimalenModellen und maximalen Extensionen (weil eine maximale Extension mehrere Modellehaben kann), aber die ∼ = ∆ ∗-Äquivalenzklassen der minimalen Modelle entsprechen genauden maximalen Extensionen.Satz 5.2.15:• Wenn E eine maximale (∆, ❁)-Extension von Φ ist, dann ist jedes Modell I von Φ∪Eein ≺ (∆,❁) -minimales Modell von Φ.• Wenn I ein ≺ (∆,❁) -minimales Modell von Φ ist, dann ist E := { δ ∈ ∆ ∗ ∣ ∣ I |= δ }eine maximale (∆, ❁)-Extension von Φ.Beweis:• Wäre I nicht minimal, so würde es also ein Modell I 0 von Φ geben mit I 0 ≺ (∆,❁) I. Sei∆ ′ die Menge aller ❁-minimalen Defaults unter denen, die nicht denselben Wahrheitswertin beiden Modellen haben. Nach Definition von ≺ (∆,❁) ist ∆ ′ nicht leer, und alle δ ′ ∈ ∆ ′sind in I 0 wahr und in I falsch. Das bedeutet aber, daßΦ ∪ {δ ∈ E | es gibt nicht δ ′ ∈ ∆ ′ mit δ ′ ❁ δ} ∪ ∆ ′konsistent ist (I 0 ist ein Modell), im Widerspruch zur Voraussetzung, daß E eine maximaleExtension ist.• Wäre E keine maximale Extension, dann müßte es ∆ ′ ⊆ ∆ ∗ − E, ∆ ′ ≠ ∅ geben, so daßΦ ∪ {δ ∈ E | es gibt nicht δ ′ ∈ ∆ ′ mit δ ′ ❁ δ} ∪ ∆ ′konsistent ist. Sei also I 0 ein Modell. Nun sei δ ein beliebiger Default, der in I gilt, abernicht in I 0 . Wegen I |= δ ist δ ∈ E, andererseits ist I 0 ein Modell der obigen Menge, und