Defaults in deduktiven Datenbanken

76 KAPITEL 4. EIGENSCHAFTEN VON VERVOLLSTÄNDIGUNGENLemma 4.1.10: Eine syntaktische bzw. modelltheoretische Vervollständigung erfüllt diebeschränkte Schnittregel genau dann, wenn die zugehörige vervollständigte Folgerungsrelationsie erfüllt.Beweis: Im Falle der syntaktischen Vervollständigung ist die Übereinstimmung wieder offensichtlich.Zu zeigen ist also nur noch: sel erfüllt RCUT ⇐⇒ ⊢ ” sel erfüllt RCUT“.• ”=⇒ “: Aus Φ ⊢ sel ϕ folgt mit den üblichen Abkürzungen wieder sel(I Φ ) ⊆ I Φ ∩ I ϕ ⊆ I Φ .Da sel die Eigenschaft RCUT nach Voraussetzung erfüllt, gilt also sel(I Φ ) ⊆ I Φ ∩ I ϕ .Zusammen mit Φ ∪ {ϕ} ⊢ sel ψ, d.h. sel(I Φ ∩ I ϕ ) ⊆ I ψ , folgt sel(I Φ ) ⊆ I ψ , d.h. Φ ⊢ sel ψ.• ⇐= “: Gelte sel(I ” 1 ) ⊆ I 2 ⊆ I 1 und sei Φ := Th(I 1 ), ϕ := th(I 2 ) und ψ := th ( sel(I 2 ) ) .Dann folgt Φ ⊢ sel ϕ. Außerdem gilt wegen I 1 ∩ I 2 = I 2 trivialerweise Φ ∪ {ϕ} ⊢ sel ψ. Da⊢ sel die Eigenschaft RCUT hat, folgt Φ ⊢ sel ψ, d.h. sel(I 1 ) ⊆ sel(I 2 ).✷Die beschränkte Schnittregel impliziert übrigens die Idempotenz von sel, d.h.sel ( sel(I) ) = sel(I)(man setze I 2 := sel(I 1 )). Es ist ja auch sehr naheliegend, zu fordern, daß nach Auswahlder intendierten Modelle eine weitere Anwendung von sel wirkungslos bleiben sollte.Eine Verallgemeinerung davon, die Zusammenfassung der beschränkten Monotonieund der beschränkten Schnittregel ergibt nun die Kumulierung. Sie ist eine grundlegendeund sehr nützliche Eigenschaft von Vervollständigungen:Eine Vervollständigung comp/⊢ c /sel ist kumulie-Definition 4.1.11 (kumulierend):rend (CUM) genau dann, wenn• comp(Φ) ⊢ ϕ =⇒ comp(Φ ∪ {ϕ}) ∼ = comp(Φ),• Φ ⊢ c ϕ =⇒ ( Φ ∪ {ϕ} ⊢ c ψ ⇐⇒ Φ ⊢ c ψ ) ,• sel(I 1 ) ⊆ I 2 ⊆ I 1 =⇒ sel(I 1 ) = sel(I 2 ).Aus der modelltheoretischen Sicht bedeutet diese Eigenschaft, daß sich die Menge derintendierten Modelle nicht dadurch ändern sollte, daß ohnehin nicht intendierte Modelleexplizit ausgeschlossen werden.Bei Datenbanken entspricht das der ”Materialisierung einer Sicht“: Wenn einige Folgerungenaus der vervollständigten Axiomenmenge sehr häufig berechnet werden, bietetes sich an, sie in der Datenbank explizit abzuspeichern. Die Kumulation besagt nun, daßdies möglich ist, ohne das Antwortverhalten der Datenbank zu ändern.Die Kumulation ist also ähnlich wie die Konsistenzerhaltung eine Eigenschaft, die einegute Vervollständigung unbedingt haben sollte.Lemma 4.1.12: Eine syntaktische bzw. modelltheoretische Vervollständigung ist genaudann kumulierend, wenn die zugehörige vervollständigte Folgerungsrelation kumulierendist.Beweis: Da die Kumulation eine offensichtliche Zusammensetzung der Eigenschaften RMONund RCUT ist, folgt die Behauptung direkt aus Lemma 4.1.8 und Lemma 4.1.10.✷