Defaults in deduktiven Datenbanken

6.1. BOTTOM-UP 133folgen ja wirklich die 2 n disjunktiven Fakten, mit der Optimierung folgen aber nur nochDisjunktionen der Formq 1 ∨ · · · ∨ q i ∨ p i+1 ∨ · · · ∨ p n(wenn die p i kleiner als die q j sind). Tatsächlich braucht man für die Anfragebearbeitungnur solche Disjunktionen, die nur aus Literalen mit den Prädikaten answer und defaultbestehen. Diese Prädikate kommen in Φ nur positiv (answer) bzw. negativ vor (default).Wenn sie in einem disjunktiven Faktum enthalten sind, können sie also nie wieder wegresolviertwerden. Daher liegt es nahe, sie gerade als maximal in der Ordnung einzustufen,also als ”am wenigsten aktive Literale“ Λ 0 . Dafür gilt folgende Vollständigkeitsaussage:Lemma 6.1.10:Seien folgende Voraussetzungen erfüllt:• Λ 0 ist eine Menge von Fakten mit: Wenn λ ∈ Λ 0 und λ < λ ′ , dann λ ′ ∈ Λ 0 (Abschlußunter >).• In den Grundbeispielen der Regeln aus ¯Φ taucht kein λ ∈ Λ 0 als Rumpf-Literal auf.• ˆϕ besteht nur aus Λ 0 -Literalen.• Es gilt Φ ⊢ ˆϕ und ˆϕ ist minimal mit dieser Eigenschaft.Dann ist ˆϕ aus ¯Φ mittels Hyperresolution ableitbar.Beweis: Der Beweis verläuft ganz analog zum Beweis von Lemma 6.1.8, es ist nur sicherzustellen,daß man die von der Induktionsannahme gelieferten Ableitungen auch mit der ursprünglichenKlauselmenge ¯Φ nachvollziehen kann.Im ersten Teil des Induktionsschrittes folgt dies direkt aus den Voraussetzungen: Da dasneue Literal λ 0 in ˆϕ vorkommt, ist es also Element von Λ 0 . Daher ist in keinem der verwendetendisjunktiven Fakten das neue Literal λ 0 das aktive Literal, es sei denn ganz zum Schluß, wennohnehin keine weiteren Ableitungsschritte mehr möglich sind (wenn λ 0 das aktive Literal ist,kann die ganze Klausel nur noch aus Λ 0 -Literalen bestehen).Im zweiten Teil des Induktionsschrittes ( ˆϕ = ✷) wähle man ein