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140 KAPITEL 6. BERECHNUNG VON ANTWORTENDefinition 6.1.15 (Antwortklausel): Eine Antwortklausel ist eine minimale Disjunktionder Formanswer[θ 1 ] ∨ · · · ∨ answer[θ k ] ∨ ¬default[δ 1 ] ∨ · · · ∨ ¬default[δ m ],die aus ¯Φ folgt (k > 0, m ≥ 0).Lemma 6.1.16: Ist answer[θ 1 ] ∨ · · · ∨ answer[θ k ] ∨ ¬default[δ 1 ] ∨ · · · ∨ ¬default[δ m ] eineAntwortklausel, so ist {θ 1 , . . . , θ k } eine potentielle Antwort mit Begründung {δ 1 , . . . , δ m }.Beweis: Sei D := {δ 1 , . . . , δ m }. Angenommen, {θ 1 , . . . , θ k } wäre keine potentielle Antwortmit dieser Begründung. Dann müßte eine der beiden Bedingungen aus Definition 6.1.12 verletztsein.Gilt Φ ∪ D ⊬ ψθ 1 ∨ · · · ∨ ψθ k , so gibt es also ein Σ-Modell I von Φ ∪ D mit I ̸|= ψθ i .Für die Interpretation Ī nach Lemma 6.1.2 gilt nun: Ī |= Φ, Ī ̸|= answer[θ i ] (i = 1, . . . , k).Ī |= default[δ j ] (j = 1, . . . , m), Das bedeutet aberΦ ⊬ answer[θ 1 ] ∨ · · · ∨ answer[θ k ] ∨ ¬default[δ 1 ] ∨ · · · ∨ ¬default[δ m ]im Widerspruch zur Voraussetzung.Die zweite Bedingung an eine potentielle Antwort ist, daß ihre Begründung D konsistentmit Φ ist. Wäre dies nicht erfüllt, so würde schon¯Φ ⊢ ¬default[δ 1 ] ∨ · · · ∨ ¬default[δ m ]gelten, denn andernfalls müßte es ein ¯Σ-Modell Ī von ¯Φ geben mitĪ ̸|= ¬default[δ 1 ] ∨ · · · ∨ ¬default[δ m ],d.h. Ī |= default[δ i] (i = 1, . . . , k), dies liefert aber nach Lemma 6.1.1 ein Modell I von Φ∪D. Daalso schon die echte Teildisjunktion aus den default-Literalen aus ¯Φ folgt, ist die Antwortklauselnicht minimal.✷Lemma 6.1.17: Sei {θ 1 , . . . , θ k } eine potentielle Antwort mit Begründung {δ 1 , . . . , δ n }und minimal in dem Sinn, daß keine der beiden Mengen verkleinert werden kann, ohnedie andere zu vergrößern. Dann istanswer[θ 1 ] ∨ · · · ∨ answer[θ k ] ∨ ¬default[δ 1 ] ∨ · · · ∨ ¬default[δ n ]eine Antwortklausel.Beweis:Zunächst ist zu zeigen:¯Φ ⊢ answer[θ 1 ] ∨ · · · ∨ answer[θ k ] ∨ ¬default[δ 1 ] ∨ · · · ∨ ¬default[δ n ].Wäre dies nicht der Fall, so gäbe es ein Modell Ī von ¯Φ mit Ī ̸|= answer[θ i] (i = 1, . . . , m) undĪ |= default[δ j ] (j = 1, . . . , k). Hierzu erhält man nach Lemma 6.1.1 ein Σ-Herbrandmodell Ivon Φ mit I ̸|= ψθ i und I |= δ j . Also istΦ ∪ {δ 1 , . . . , δ n } ⊢ ψθ 1 ∨ · · · ∨ ψθ mnicht erfüllt.Nun ist noch die Minimalität der Antwortklausel zu zeigen. Würde eine echte Teildisjunktionebenfalls aus ¯Φ folgen, so würde die nach Lemma 6.1.16 konstruierte potentielle Antwort dievorausgesetzte Minimalität von ( {θ 1 , . . . , θ k }, {δ 1 , . . . , δ n } ) widerlegen. (Die Teildisjunktion mußnoch mindestens ein answer-Literal enthalten, da Φ ∪ {δ 1 , . . . , δ n } konsistent ist.)✷