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94 KAPITEL 5. SEMANTIK VON DEFAULTSBeweis:werden:Die Ordnungsrelation ≺ kann einfach aus den Zweiervergleichen von sel abgeleitetI 1 ≺ I 2 :⇐⇒ sel ( {I 1 , I 2 } ) = {I 1 }, I 1 ≠ I 2(falls sel ( {I 1 , I 2 } ) = {I 1 , I 2 }, sind I 1 und I 2 also unvergleichbar). Zunächst ist zu zeigen, daß essich dabei überhaupt um eine partielle Ordnung handelt. Die Irreflexivität folgt direkt aus derKonstruktion, es fehlt also nur noch die Transitivität:• Gelte I 1 ≺ I 2 und I 2 ≺ I 3 , d.h. sel ( {I 1 , I 2 } ) = {I 1 } und sel ( {I 2 , I 3 } ) = {I 2 }. Nach derEigenschaft DED in der Formulierung nach Satz 4.1.17 gilt einerseitssel ( {I 1 , I 2 , I 3 } ) ⊆ sel ( {I 1 , I 2 } ) ∪ sel ( {I 2 , I 3 } ) = {I 1 , I 2 }und andererseitssel ( {I 1 , I 2 , I 3 } ) ⊆ sel ( {I 1 , I 2 } ) ∪ sel ( {I 3 } ) = {I 1 , I 3 },also folgt sel ( {I 1 , I 2 , I 3 } ) = {I 1 }. Dann ist aber sel ( {I 1 , I 2 , I 3 } ) ⊆ {I 1 , I 3 } ⊆ {I 1 , I 2 , I 3 }und mit der Kumulierung folgt direkt sel ( {I 1 , I 3 } ) = {I 1 }, d.h. I 1 ≺ I 3 .Es ist jetzt natürlich noch zu zeigen, daß min ≺ = sel:• ⊆“: Sei I ” 0 ∈ min ≺ (I). Dann gilt für jedes I ∈ I, daß I 0 ∈ sel ( {I 0 , I} ) ist, denn sonstwäre I ≺ I 0 . Die Expansions-Eigenschaft liefert dannI 0 ∈ ⋂ sel ( {I 0 , I} ) ( ⋃ )⊆ sel {I 0 , I} = sel(I).I∈II∈I• ⊇“: Sei I ” 0 ∈ sel(I). Nach der Eigenschaft DED (in der Formulierung nach Satz 4.1.17)gilt für jedes I ∈ I:(I 0 ∈ sel(I) = sel {I 0 , I} ∪ ( I − {I 0 } )) ⊆ sel ( {I 0 , I} ) ∪ sel ( I − {I 0 } ) .Da aber I 0 ∉ sel ( I − {I 0 } ) , muß I 0 ∈ sel ( {I 0 , I} ) gelten. Das bedeutet aber I ⊀ I 0 . Dadas für jedes I gilt, ist I 0 minimal und es folgt I 0 ∈ min ≺ (I).✷Die Umkehrung dieses Satzes (jede mit einer Präferenzrelation darstellbare Vervollständigunghat die vier Eigenschaften) gilt auch, siehe Satz 5.1.8.Wegen Lemma 5.1.3 gibt es natürlich zu der Ordnung auch eine passende Menge vonDefaults:Korollar 5.1.10: Sei sel eine Vervollständigung mit den Eigenschaften CON, CUM,DED und EXP. Dann gibt es eine Menge ∆ von Defaults, so daß min ∆ = sel.Satz 5.1.9 [Bra90a] ist eine Übersetzung eines entsprechenden Ergebnisses der Theorieder Wahlverfahren [Mou85]. Auf diese Weise zahlt sich die in dieser Arbeit eingeführtesystematische Übersetzung der untersuchten Eigenschaften aus.Eine ähnliche Fragestellung wurde in [KLM90] untersucht, dort wird aber ein eigenszu diesem Zweck konstruierter Modellbegriff verwendet, daher wird eine Charakterisierungdurch die drei Eigenschaften CON, CUM und DED erreicht. Diese Eigenschaftenimplizieren nicht EXP.