Defaults in deduktiven Datenbanken

146 KAPITEL 6. BERECHNUNG VON ANTWORTENDamit wäre also folgender Algorithmus korrekt und vollständig, aber sehr aufwendig:In der ersten Phase der Anfragebeantwortung wurden die potentiellen Antworten{θ i,1 , . . . , θ i,ki } mit ihren Begründungen D i berechnet, und auch die Konflikte Ω j . Nachder Methode von Lemma 6.1.28 kann man nun zu jeder Begründung D i eine vollständigeMenge widersprechender Begründungen berechnen. Nach Lemma 6.1.34 kann man fürjede Teilmenge der potentiellen Antworten die vollständigen Mengen widersprechenderBegründungen zusammensetzen. Nach Lemma 6.1.30 und Lemma 6.1.32 sind geradedie zusammengesetzten Antworten korrekt, deren vollständige Menge widersprechenderBegründungen leer ist.Dieser Algorithmus ist aber bei einer größeren Menge potentieller Antworten nichtpraktisch durchführbar, weil exponentiell viele Teilmengen betrachtet werden müssen.Man möchte natürlich nur solche potentiellen Antworten zusammensetzten, die etwas zudem Ziel beitragen, alle Extensionen zu überdecken. Hier hilft das folgende Lemma:Lemma 6.1.35: Seien { ˆD i,1 , . . . , ˆD i,mi } (i = 1, . . . , n) vollständige Mengen widersprechenderBegründungen zu D i mit(| ˆD1,1 | ∪ · · · ∪ | ˆD 1,m1 | ) ∩ · · · ∩ ( | ˆD n,1 | ∪ · · · ∪ | ˆD n,mn | ) = ∅.Sei n > 1 und D i nötig in dem Sinn, daß sonst der entsprechende Schnitt nicht leerwäre. Dann gibt es ein i ′ ≠ i sowie j und j ′ und einen Konflikt Ω mit Ω ∩ ˆD i,j ≠ ∅ undΩ ∩ ˆD i ′ ,j ′ ≠ ∅.Beweis: Wenn man(| ˆD1,1 | ∪ · · · ∪ | ˆD 1,m1 | ) ∩ · · · ∩ ( | ˆD n,1 | ∪ · · · ∪ | ˆD n,mn | ) (∗)ausmultipliziert, erhält man eine Vereinigung von Schnitten, von der jeder einzelne leer seinmuß, d.h. für jede Auswahl von j 1 , . . . , j n gilt:| ˆD 1,j1 | ∩ · · · ∩ | ˆD n,jn | = ∅.Andererseits ist (∗) ohne | ˆD i,1 | ∪ · · · ∪ | ˆD i,mi | nicht leer, man kann also j 1 , . . . , j n so wählen, daß| ˆD 1,j1 | ∩ · · · ∩ | ˆD i−1,ji−1 | ∩ | ˆD i+1,ji+1 | ∩ · · · ∩ | ˆD n,jn | ≠ ∅.Also ist Φ∪ ˆD 1,j1 ∪· · ·∪ ˆD n,jn inkonsistent und es gibt einen Konflikt Ω mit Ω ⊆ ˆD 1,j1 ∪· · ·∪ ˆD n,jn .Andererseits istΦ ∪ ˆD 1,j1 ∪ · · · ∪ ˆD i−1,ji−1 ∪ ˆD i+1,ji+1 ∪ · · · ∪ ˆD n,jnkonsistent, Ω kann also keine Teilmenge hiervon sein, d.h. Ω ∩ ˆD i,ji ≠ ∅. Es ist aber natürlichauch Φ ∪ ˆD i,ji konsistent, also Ω ⊈ ˆD i,ji , es muß daher ein i ′ ≠ i geben mit Ω ∩ ˆD i ′ ,j i ′≠ ∅.Damit ist die Behauptung für j := j i und j ′ := j i ′ gezeigt. ✷Dies führt zu folgendem Algorithmus: Man berechne wieder die potentiellen Antworten{θ i,1 , . . . , θ i,ki } und jeweils eine vollständige Menge widersprechender Begründungen{ ˆD i,1 , . . . , ˆD i,mi }. Falls ein m i = 0 ist, kann man die Antwort {θ i,1 , . . . , θ i,ki } ausgebenund sie von den noch zu überprüfenden Antworten streichen. Sonst setzt man jeweils zweipotentielle Antworten {θ i,1 , . . . , θ i,ki } und {θ i ′ ,1, . . . , θ i ′ ,k i ′ } zusammen, für die es j, j ′ undeinen Konflikt Ω mit Ω ∩ ˆD i,j ≠ ∅ und Ω ∩ ˆD i ′ ,j′ ≠ ∅ gibt. Diese Zusammensetzung liefert