Defaults in deduktiven Datenbanken

102 KAPITEL 5. SEMANTIK VON DEFAULTSDefinition 5.2.1 (Maximale Extension):∆-Extension von Φ genau dann, wenn• Φ ∪ E konsistent ist und• Φ ∪ E ∪ {δ ′ } inkonsistent ist für alle δ ′ ∈ ∆ ∗ − E.Eine Teilmenge E ⊆ ∆ ∗ heißt maximaleDiese Definition läßt verschiedene Umformulierungen zu. Beispielsweise ist eine maximaleExtension einfach ein ⊆-maximales Element unter allen Teilmengen von ∆ ∗ , die mit Φkonsistent sind. Die zweite Bedingung kann man auch als Φ ∪ E ⊢ ¬δ schreiben. Indieser Hinsicht ähnelt eine maximale Extension der naiven CWA, nur werden auch dieanderen bereits angenommenen Defaults berücksichtigt, um die Konsistenz zu garantieren.Tatsächlich kann man auch maximale Extensionen auf diese Weise konstruieren:Man betrachtet eine Aufzählung δ 1 , δ 2 , . . . , δ n der Defaults und probiert für jeden Defaultder Reihe nach aus, ob man ihn zu den bisher angenommenen Defaults hinzunehmenkann, ohne die Konsistenz zu zerstören. Diese Konstruktion wird unten noch genaueruntersucht.Beispiel 5.2.2: Es seien wieder die typischen Negations-Defaults bei disjunktiver Informationbetrachtet, also∆ := {¬p, ¬q},Φ := {p ∨ q}.Hier gibt es zwei maximale Extensionen, nämlich E 1 := {¬p} und E 2 := {¬q}. Siesind zusammen mit Φ konsistent, aber würden inkonsistent, wenn man noch den jeweilsanderen Default hinzunehmen würde. Man kann diese maximalen Extensionen geradeaus den beiden möglichen Reihenfolgen der Defaults konstruieren (¬p, ¬q und ¬q, ¬p):Aufgrund des Axioms p ∨ q wird jeweils der erste Default angenommen und der zweitezurückgewiesen. Es ist übrigens kein Zufall, daß die maximalen Extensionen gerade denminimalen Modellen entsprechen. Dies gilt allgemein und wird unten noch bewiesen. ✷Mit den maximalen Extensionen hat man natürlich noch keine Vervollständigung definiert,da es davon mehrere geben kann, eine Vervollständigung aber eindeutig bestimmt seinmuß. Das Problem mehrerer Extensionen läßt sich etwa auf folgende Arten lösen:Erstens gibt es die leichtgläubige Sicht“. Sie erlaubt es, alles zu folgern, was aus”mindestens einer der maximalen Extensionen folgt. Eine Anfrage ψ wird also mit Ja“ ”beantwortet, wenn es eine maximale Extension E gibt mit Φ ∪ E ⊢ ψ. Dies ist allerdingskeine Vervollständigung in dem hier betrachteten Sinn, weil der Abschluß unterKonjunktion nicht gewährleistet ist.Zweitens kann man eine Extension auswählen (etwa über den Antwortalgorithmusdefiniert), und dann nur Folgerungen aus dieser Extension zulassen. Diese Idee wirdunten noch als starke CWA“ untersucht. Tatsächlich werden über eine Implementierung”definierte Extensionen aber meist von der Schreibweise der Axiome abhängen, so daß diegrundlegende Forderung der Äquivalenzerhaltung nicht erfüllt wird.Drittens kann man sich auch auf die Aussagen beschränken, die aus allen maximalenExtensionen folgen ( skeptische Sicht“). Es wird sich zeigen, daß dies gerade den”