Defaults in deduktiven Datenbanken

96 KAPITEL 5. SEMANTIK VON DEFAULTSerhält man:¬p ∧ ¬p ′ ∧ ¬q, ¬p ∧ (¬p ′ ∨ q), ¬p ′ ∧ (¬p ∨ q), ¬p, ¬p ′ , ¬p ∨ ¬p ′ ∨ q.Diese Konstruktion wird also schnell sehr aufwendig. Wenn man natürlich anhand dermöglichen Axiomenmengen Φ weiß, daß ein Konflikt zwischen p ′ und q nicht auftretenkann, dann bekommt man wieder die obigen Defaults (plus ¬p ′ ). Wenn man zusätzlichweiß, daß p und q immer im Konflikt stehen, so kann man auch den Default ¬p ∧ ¬q weglassen.In jedem Fall sind Prioritäten aber wesentlich natürlicher als die so konstruiertenDefaults.✷Exkurs: Iterative Minimale Modelle SemantikEine andere naheliegende Möglichkeit, Defaults mit Prioritäten eine Semantik zuzuordnen,ist eine iterative Konstruktion: Es werden erst die minimalen Modelle bezüglich derDefaults höchster Priorität gebildet, dann unter diesen die minimalen bezüglich der Defaultsder nächsten Stufe ausgewählt, und so weiter. Dieses Vorgehen ist natürlich nichtnur für minimale Modelle möglich, sondern für beliebige Vervollständigungen.Mindestens im Fall der minimalen Modelle ist die so konstruierte Vervollständigungallerdings nicht äquivalent zur Verwendung der obigen Ordnungsrelation, sondern ist echtstärker:Satz 5.1.14: Sei ∆ eine Menge von Defaults und l eine Einteilung von ∆ in n Stufen.Sei ∆ i := {δ ∈ ∆ | l(δ) = i} für i = 1, . . . , n. Dann gilt für jede Menge I vonInterpretationen:min (∆,l) (I) ⊇ min ∆n(. . . ( min ∆1 (I) ) ). . . .Beweis: Sei also I ∈ min ∆n (. . .). Angenommen, I ∉ min (∆,l) (I). Dann gibt es I 0 mitI 0 ≺ (∆,l) I, d.h. für ein i ∈ IN ist{δ ∈ ∆∗ ∣ ∣ l(δ) < i, I 0 |= δ } = { δ ∈ ∆ ∗ ∣ ∣ l(δ) < i, I |= δ } ,{δ ∈ ∆∗ ∣ ∣ l(δ) = i, I 0 |= δ } ⊃ { δ ∈ ∆ ∗ ∣ ∣ l(δ) = i, I |= δ } .Da I ∈ min ∆i−1 (. . .), und sich I 0 von I nicht in der Interpretation dieser Defaults unterscheidet,gilt natürlich I 0 ∈ min ∆i−1 (. . .). Nun erfüllt I 0 aber echt mehr Defaults der Stufe i, d.h. es giltI 0 ≺ ∆i I. Dann ist aberI ∉ min ∆i (. . .),und damit I ∉ min ∆n (. . .) im Widerspruch zur Voraussetzung.✷Der Grund für die stärkere Einschränkung der intendierten Modelle bei der iterativenKonstruktion ist, daß hier bei der Auswahl von Defaults niedrigerer Priorität auch Modelleverglichen werden, die schon bei den Defaults höherer Priorität unvergleichbar waren: