Defaults in deduktiven Datenbanken

6.1. BOTTOM-UP 139Die Disjunktion answer(a)∨¬default(a) ist nicht minimal (¬default(a) ist schon bekannt),also wird auch sie gelöscht. Eine weitere Anwendung der Regeln liefert keine neuendisjunktiven Fakten.✷Von den erzeugten disjunktiven Fakten sind natürlich solche am interessantesten, die nurdas Prädikat answer enthalten. Solche Disjunktionen entsprechen disjunktiven Antworten,die schon logisch korrekt sind, also ohne Verwendung von Defaults ableitbar sind. Indem Beispiel ist das nur answer(d), und tatsächlich ist 〈X ⊳ d〉 eine korrekte Antwort.Nützlich sind aber auch Disjunktionen, die answer und default enthalten. Sie entsprechen”potentiellen Antworten“, die von der Anwendbarkeit der betreffenden Defaultsabhängen:answer(b) ← default(b), answer(c) ← default(c), answer(e) ← default(e).Definition 6.1.12 (Begründung): Eine Menge von Default-Ausprägungen D ⊆ ∆ ∗heißt Begründung für eine Formel ψ ′ genau dann, wenn• Φ ∪ D ⊢ ψ ′ .• Φ ∪ D ist konsistent.Definition 6.1.13 (Potentielle Antwort): Eine potentielle Antwort ist eine Mengevon Substitutionen {θ 1 , . . . , θ k } für die Variablen einer Anfrage ψ, so daß es für die Formelψθ 1 ∨ · · · ∨ ψθ keine Begründung D ⊆ ∆ ∗ gibt.Aus dieser Definition von potentieller Antwort folgt nun sofort, daß eine potentielle Antwortim leichtgläubigen Sinne korrekt ist:Lemma 6.1.14:• Ist {θ 1 , . . . , θ k } eine potentielle Antwort mit Begründung D, so gibt es eine maximale∆-Extension E von Φ mit Φ ∪ E ⊢ ψθ 1 ∨ · · · ∨ ψθ k .• Gilt umgekehrt Φ ∪ E ⊢ ψθ 1 ∨ · · · ∨ ψθ k für eine maximale ∆-Extension E von Φ,so ist {θ 1 , . . . , θ k } eine potentielle Antwort mit Begründung E.Beweis:• Nach Lemma 5.2.14 kann D zu einer maximalen ∆-Extension E erweitert werden. Dannfolgt die Behauptung aus der Monotonie der logischen Folgerung ⊢.• Die Umkehrung folgt direkt aus der Definition.Im folgenden ist nun die Beziehung zwischen potentiellen Antworten und den Disjunktionenaus answer- und default-Literalen nachzuweisen:✷