Defaults in deduktiven Datenbanken

5.1. MINIMALE MODELLE 99Lemma 5.1.19:dann, wennFür alle ∆ und ❁ und beliebige I 1 , I 2 ∈ I Σ gilt I 1 ≺ (∆,❁) I 2 genau• Sei ∆ ′ die Menge der Defaults, in denen sich I 1 und I 2 unterscheiden, d.h.∆ ′ := { δ ∈ ∆ ∗ ∣ ∣ I 1 |= δ, I 2 ̸|= δ oder I 1 ̸|= δ, I 2 |= δ } .Dann gilt I 1 |= δ für jedes ❁-minimale Element δ ∈ ∆ ′ . Außerdem ist ∆ ′ ≠ ∅.Beweis: Die Zusatzforderungen (die Interpretationen unterscheiden sich im Wahrheitswertwenigstens eines Defaults) sind offensichtlich äquivalent. Zu zeigen ist also nur die Äquivalenzder Haupteigenschaften:• Gelte I 1 ≺ (∆,❁) I 2 . Angenommen, I 1 ̸|= δ für ein ❁-minimales Element δ ∈ ∆ ′ . Dann mußnach Konstruktion von ∆ ′ gelten: I 2 |= δ. Nach der Definition von ≺ (∆,❁) müßte es jetztaber einen Default δ 1 geben mit I 1 |= δ 1 , I 2 ̸|= δ 1 und δ 1 ❁ δ. Das ist aber ein Widerspruchzur Minimalität von δ in ∆ ′ .• Gelte umgekehrt die Eigenschaft des Lemmas. Dann kann kein Default δ 2 ∈ ∆ ∗ mit I 1 ̸|= δ 2und I 2 |= δ 2 minimal in ∆ ′ sein, denn jeder solche Default müßte in I 1 gelten. Also gibtes einen Default δ 1 ∈ ∆ ′ mit δ 1 ❁ δ 2 , der zudem ❁-minimal gewählt werden kann. Danngilt aber I 1 |= δ 1 und nach Konstruktion von ∆ ′ auch I 2 ̸|= δ 1 .✷Zu zeigen ist natürlich noch, daß es sich bei ≺ (∆,❁) überhaupt um eine partielle Ordnunghandelt:Lemma 5.1.20: Die Relation ≺ (∆,❁) ist eine partielle Ordnung, d.h. transitiv undirreflexiv.Beweis: Die Irreflexivität ist gerade durch die Zusatzforderung sichergestellt, es ist also nurdie Transitivität zu zeigen: Gelte I 1 ≺ (∆,❁) I 2 und I 2 ≺ (∆,❁) I 3 . Sei nun δ 3 ∈ ∆ ∗ mit I 3 |= δund I 1 ̸|= δ.• Gilt I 2 ̸|= δ 3 , so muß es δ 2 ∈ ∆ ∗ mit δ 2 ❁ δ 3 , I 2 |= δ 2 und I 3 ̸|= δ 2 geben.• Andernfalls muß es δ 1 ∈ ∆ ∗ geben mit δ 1 ❁ δ 3 , I 1 |= δ 1 , I 2 ̸|= δ 1 .Man wähle nun einen ❁-minimalen Default δ 12 unter denen, die eine dieser beiden Bedingungenerfüllen.• Gilt I 2 |= δ 12 , I 3 ̸|= δ 12 , so muß auch I 1 |= δ 12 gelten, denn I 1 ≺ (∆,❁) I 2 und wegen derMinimalität von δ 12 kann es keinen höher priorisierten Default mehr geben, der in I 1 gilt,aber nicht in I 2 .• Gilt I 1 |= δ 12 , I 2 ̸|= δ 12 , so muß auch I 3 ̸|= δ 12 gelten, denn I 2 ≺ (∆,❁) I 3 und wegen derMinimalität von δ 12 kann es keinen höher priorisierten Default mehr geben, der in I 2 gilt,aber nicht in I 3 .Insgesamt hat man also δ 12 ❁ δ 3 , I 1 |= δ 12 und I 3 ̸|= δ 12 .Schließlich ist noch zu zeigen, daß sich I 1 und I 3 in dem Wahrheitswert von mindestenseinem Default unterscheiden. Natürlich müssen sich I 1 und I 2 in mindestens einem Defaultunterscheiden, und auch I 2 und I 3 . Man wählt nun wieder einen ❁-minimalen Default, für deneine der beiden Bedingungen gilt. Er ist in I 1 wahr und in I 3 falsch.✷