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4.1. FOLGERUNGSREGELN 75Es ist dagegen möglich und sehr sinnvoll, die folgende beschränkte Version der Monotoniezu fordern:Definition 4.1.7 (beschränkt monoton): Eine Vervollständigung comp/⊢ c /sel istbeschränkt monoton (RMON) genau dann, wenn• comp(Φ) ⊢ ϕ, comp(Φ) ⊢ ψ =⇒ comp(Φ ∪ {ϕ}) ⊢ ψ,• Φ ⊢ c ϕ, Φ ⊢ c ψ =⇒ Φ ∪ {ϕ} ⊢ c ψ,• sel(I 1 ) ⊆ I 2 ⊆ I 1 =⇒ sel(I 1 ) ⊇ sel(I 2 ).Die Beschränkung besteht hier also darin, daß nur solche Formeln zu den VoraussetzungenΦ hinzugenommen werden dürfen, die ohnehin schon vervollständigt aus ihnen folgen.Lemma 4.1.8: Eine syntaktische bzw. modelltheoretische Vervollständigung ist genaudann beschränkt monoton, wenn die zugehörige vervollständigte Folgerungsrelationbeschränkt monoton ist.Beweis: Im Falle der syntaktischen Vervollständigung ist die Übereinstimmung offensichtlich.Zu zeigen ist also nur noch: sel beschränkt monoton ⇐⇒ ⊢ ” sel beschränkt monoton“.• ”=⇒ “: Gelte also Φ ⊢ sel ϕ und Φ ⊢ sel ψ, und sei zur Abkürzung I Φ := Mod(Φ),I ϕ := Mod(ϕ) und I ψ := Mod(ψ). Dann gilt sel(I Φ ) ⊆ I Φ ∩I ϕ ⊆ I Φ (wegen sel(I Φ ) ⊆ I ϕ ).Also folgt sel(I Φ ) ⊇ sel(I Φ ∩ I ϕ ). Nun gilt aber nach Voraussetzung sel(I Φ ) ⊆ I ψ , damitgilt erst recht sel(I Φ ∩ I ϕ ) ⊆ I ψ , d.h. Φ ∪ {ϕ} ⊢ sel ψ.• ⇐= “: Gelte sel(I ” 1 ) ⊆ I 2 ⊆ I 1 . Für Φ := Th(I 1 ), ϕ := th(I 2 ) und ψ := th ( sel(I 1 ) ) giltdann gerade Φ ⊢ sel ϕ und Φ ⊢ sel ψ, also Φ ∪ {ϕ} ⊢ sel ψ, d.h. sel(I 1 ∩ I 2 ) ⊆ sel(I 1 ), alsoschließlich sel(I 2 ) ⊆ sel(I 1 ).✷Die teilweise Umkehrung der beschränkten Monotonie ist folgende Schlußregel:Φ ⊢ c ϕ, Φ ∪ {ϕ} ⊢ c ψ =⇒ Φ ⊢ c ψ.Sie ist ein Spezialfall der bekannten Schnittregel:Φ 1 ⊢ c ϕ ′ ∨ ϕ, Φ 2 ∪ {ϕ} ⊢ c ψ =⇒ Φ 1 ∪ Φ 2 ⊢ c ϕ ′ ∨ ψ(für Φ 1 := Φ 2 := Φ und ϕ ′ := false). Die allgemeine Schnittregel kann man nicht erwarten,denn sie impliziert die Monotonie (für ϕ := false und ψ := false)Φ 1 ⊢ c ϕ ′ =⇒ Φ 1 ∪ Φ 2 ⊢ c ϕ ′ ,gilt also nach Satz 4.1.6 nur für die logische Folgerung ⊢. Die beschränkte Schnittregelist dagegen eine sinnvolle Eigenschaft von Vervollständigungen:Definition 4.1.9 (Beschränkte Schnittregel): Eine Vervollständigung comp/⊢ c /selerfüllt die beschränkte Schnittregel (RCUT) genau dann, wenn• comp(Φ) ⊢ ϕ, comp(Φ ∪ {ϕ}) ⊢ ψ =⇒ comp(Φ) ⊢ ψ,• Φ ⊢ c ϕ, Φ ∪ {ϕ} ⊢ c ψ =⇒ Φ ⊢ c ψ,• sel(I 1 ) ⊆ I 2 ⊆ I 1 =⇒ sel(I 1 ) ⊆ sel(I 2 ).