Defaults in deduktiven Datenbanken

80 KAPITEL 4. EIGENSCHAFTEN VON VERVOLLSTÄNDIGUNGEN(wegen sel(I 1 ∩ I 2 ) ⊆ I 2 kann der entsprechende Teilterm entfallen).• ”DED =⇒ DIS“: Zwei Spezialfälle der Eigenschaft DED sind:sel(I 1 ∪ I 2 ) ∩ I 1 ⊆ sel ( (I 1 ∪ I 2 ) ∩ I 1 ) ) ,sel(I 1 ∪ I 2 ) ∩ I 2 ⊆ sel ( (I 1 ∪ I 2 ) ∩ I 2 ) ) .Vereinigt man die linken und rechten Seiten und nimmt die offensichtlichen Vereinfachungenvor, so erhält mansel(I 1 ∪ I 2 ) ∩ (I 1 ∪ I 2 ) ⊆ sel(I 1 ) ∪ sel(I 2 ).Nun ist aber ohnehin sel(I 1 ∪ I 2 ) ⊆ I 1 ∪ I 2 , man kann die linke Seite also noch weiter zusel(I 1 ∪ I 2 ) vereinfachen und erhält damit gerade die Eigenschaft DIS.✷Ein Spezialfall der Eliminierung der Disjunktion ist das Beweisschema der Fallunterscheidung.Tatsächlich ist es aber im Kontext von Vervollständigungen sogar äquivalent zurDeduktions-Eigenschaft:Satz 4.1.18: Eine Vervollständigung ⊢ c hat die Deduktions-Eigenschaft genau dann,wennΦ ∪ {ϕ} ⊢ c ψ, Φ ∪ {¬ϕ} ⊢ c ψ =⇒ Φ ⊢ c ψ(dabei sei ϕ wieder eine vriablenfreie Formel).Beweis:• Offensichtlich impliziert die Eigenschaft DIS diese Folgerungsregel (für ϕ 1ϕ 2 := ¬ϕ gilt trivialerweise Φ ⊢ c ϕ 1 ∨ ϕ 2 ).:= ϕ und• Übersetzt man diese Folgerungsregel in die modelltheoretische Sprechweise, so erhält mansel(I Φ ∩ I ϕ ) ⊆ I ψ , sel(I Φ ⊆ I ϕ ) ⊆ I ψ=⇒ sel(I Φ ) ⊆ I ψ .Für I ψ := sel(I Φ ∩ I ϕ ) ∪ sel(I Φ ⊆ I ϕ ) sind die Voraussetzungen trivialerweise erfüllt, undes ergibt sichsel(I Φ ) ⊆ sel(I Φ ∩ I ϕ ) ∪ sel(I Φ ∩ I ϕ ).Schneidet man nun auf beiden Seiten mit I ϕ , so ergibt sichsel(I Φ ) ∩ I ϕ ⊆ sel(I Φ ∩ I ϕ ),also die Deduktions-Eigenschaft.✷Wieder wird also die Information beschränkt, die verloren geht, wenn eine Formel aus derDatenbank gelöscht wird: Wenn es für eine Anfrage ψ keinen Unterschied macht, ob dieFormel ϕ oder ihre Negation ¬ϕ in der Datenbank enthalten sind, dann sollte es auchmöglich sein, diese Formel ganz zu löschen.Es gibt noch eine ganze Reihe weiterer äquivalenter Formulierungen. So kann manetwa die Eigenschaft DIS vereinfachen zuΦ ∪ {ϕ 1 } ⊢ c ψ, Φ ∪ {ϕ 2 } ⊢ c ψ =⇒ Φ ∪ {ϕ 1 ∨ ϕ 2 } ⊢ c ψ.