Defaults in deduktiven Datenbanken

106 KAPITEL 5. SEMANTIK VON DEFAULTSErweiterung auf partiell geordnete DefaultsNun sollen maximale Extensionen in dem allgemeinsten Fall definiert werden, nämlich fürpartiell geordnete Defaults. Es ist dabei nicht mehr ausreichend, nur einzelne fehlendeDefaults zu betrachten:Beispiel 5.2.10:Seien folgende Defaults gegeben:∆ := {¬p, ¬q, p, q}, ¬p ❁ q, ¬q ❁ p.Man kann die Prioritäten auch folgendermaßen graphisch darstellen:✓ ✏ ✓ ✏q p✒ ✑ ✒ ✑✓¬p✒✏✑✓¬q✒✏✑Falls die Defaults nicht durch Axiome eingeschränkt sind (Φ := ∅), sollten natürlich diebeiden höher priorisierten Defaults angenommen werden, d.h. E := {¬p, ¬q} sollte dieeinzige maximale Extension sein.Also müßte das Maximalitätskriterium insbesondere in der Lage sein, E ′ := {p, q}auszuscheiden. Versucht man nun aber ¬p hinzuzunehmen, und läßt dafür den schwächerpriorisierten Default q weg, so erhält man {p, ¬p}, was natürlich inkonsistent ist. Ebensokann man auch nicht ¬q hinzunehmen. Das Problem ist hier, daß die Konflikte geradeKreuz“ zu den Prioritäten bestehen.”überDagegen kann man die beiden fehlenden Defaults ¬p und ¬q gemeinsam hinzunehmen,denn nun sind p und q beide schwächer als einer dieser Defaults, werden also beideeliminiert.✷Definition 5.2.11 (Maximale Extension, allgemeiner Fall):heißt maximale (∆, ❁)-Extension von Φ genau dann, wenn• Φ ∪ E konsistent ist und• für alle ∆ ′ ⊆ ∆ ∗ − E, ∆ ′ ≠ ∅, die folgende Menge inkonsistent ist:Φ ∪ {δ ∈ E | es gibt nicht δ ′ ∈ ∆ ′ mit δ ′ ❁ δ} ∪ ∆ ′ .Eine Menge E ⊆ ∆ ∗Die durch (∆, ❁) gege-Definition 5.2.12 (Vorsichtige CWA, allgemeiner Fall):bene vorsichtige CWA istcwa (∆,❁) (Φ) := Φ ∪ { δ ∈ ∆ ∗ ∣ ∣ δ ∈ E für jede maximale (∆, ❁)-Extension von Φ } .Es ist nun zu zeigen, daß es sich tatsächlich um eine Verallgemeinerung der vorangegangenenDefinitionen handelt: